МЭИ(ТУ) Физика
.pdf
Лабораторная работа № 2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ВЕЩЕСТВА И МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ЦИЛИНДРА И КОЛЬЦА
Цель работы: нахождение плотности вещества и расчет момента инерции тела простой формы.
1. Описание метода измерений
Плотностью вещества называют величину, равную
ρ = ∆∆Vm
или в случае однородного тела
ρ = m |
, |
(1) |
V |
|
|
где m – масса тела, V – объем этого тела. Следовательно, для определения ρ необходимо найти массу тела путем взвешивания и его объем, измерив линейные размеры тела.
Для цилиндра V1 = πD4 2 h (рис. 1), а для кольца V2 = π4 (D2 − d 2 ) h (рис. 2).
Рис. 1 |
Рис. 2 |
Таким образом, плотность вещества, из которого сделан цилиндр (или диск), можно найти по формуле
ρ |
1 |
= |
|
4m1 |
. |
(2) |
|
|
|||||
|
|
πD2 h |
|
|||
Аналогично для кольца (или трубы) получим
ρ2 = |
4m2 |
|
π(D2 − d 2 )h . |
(3) |
Мерой инертности тела в поступательном движении считается масса m, во вращательном же движении аналогичной мерой служит момент инерции, который можно вычислить по формуле
I = ∑∆mi ri2 ,
где ∆mi – малый элемент массы тела; ri – его расстояние до оси вращения. (Точнее мо-
мент инерции вычисляется с помощью интеграла I = ∫r2 dm .) Соответствующий рас-
|
|
|
|
|
|
|
|
( m) |
|
чет показывает, что момент инерции цилиндра (или диска) можно найти по формуле |
|
||||||||
I |
|
= |
1 |
m R2 |
= |
m D2 |
|
||
1 |
|
1 |
. |
(4) |
|||||
|
|
||||||||
|
|
2 |
1 |
1 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для кольца (или трубы) момент инерции может быть найден как разность моментов инерции большого и малого диска. В результате получим
I |
|
= |
m |
|
(R2 |
+ r2 ) = |
m |
(D2 + d 2 ) |
. |
(5) |
2 |
|
2 |
2 |
|
||||||
|
|
2 |
2 |
2 |
|
8 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Формула (5) создает ложное впечатление того, что I2 – это сумма моментов инерции двух дисков. На самом же деле в формуле (4) m1 – масса диска, а в формуле (5) m2 – это масса кольца, а не дисков радиуса R и r. Выведите формулу (5) самостоятельно, используя понятие плотности вещества ρ и убедитесь, что там должен стоять знак "плюс".
2. Порядок выполнения работы
1.Взвесить на технических весах цилиндр и кольцо. Для этого на левую чашу весов кладут груз, а на правую самую крупную гирю из набора разновесов. Осторожно приподняв коромысло весов, наблюдают за отклонением стрелки. Если перетягивает тело, то коромысло весов опускают (весы арретируют) и кладут на правую чашу весов следующую гирю. Вновь поднимают коромысло и если перетягивает чаша с гирями, то убирают последнюю гирю и кладут меньшую и т. д., пока не подойдет очередь разновеса 10 мг. На этом взвешивание прекращается. Каждое из тел взвесить один раз. В качестве предельной погрешности взять ∆m = 10 мг.
2.С помощью штангенциркуля измерить линейные размеры цилиндра. Для этого измерить его диаметр и высоту не менее трех раз. Данные занести в табл. 1.
3.Измерить внутренний и внешний диаметр цилиндра, а также его толщину. Каждое измерение провести три раза. Результаты измерений записать в табл. 2.
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Цилиндр m1 = |
|
|
|
∆m1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ п/п |
|
|
Di, мм |
|
∆Di, мм |
|
hi, мм |
|
|
∆hi, мм |
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее |
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
– |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆Dинс = |
|
|
|
|
|
∆hинс = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кольцо m2 = |
|
|
|
∆m2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
№ п/п |
|
Di, мм |
|
∆Di, мм |
di, мм |
∆di, мм |
|
hi, мм |
∆hi, мм |
|||||
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее |
|
|
|
|
– |
|
|
– |
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆Dинс = |
|
|
|
|
∆dинс = |
|
|
∆hинс = |
|
|
|
|
||
3. Обработка результатов измерений
1.Найти среднее значение диаметра цилиндра D .
2.Найти отклонение от среднего значения
∆Di = D − Di .
Данные занести в табл. 1.
3. Рассчитать случайную погрешность ∆Dсл. Найти суммарную погрешность
∆D = 
(∆Dсл )2 + (∆Dинс )2 .
4. Записать результат измерения диаметра цилиндра в виде
D1 = D1 ± ∆D1
сучетом правил округления.
5.Те же расчеты провести для высоты цилиндра h1.
6.По формуле (2) найти плотность материала цилиндра.
7.Рассчитать погрешность косвенных измерений по формуле
Контрольные вопросы
1.Что такое плотность вещества?
2.По какой формуле можно найти плотность однородного диска и кольца?
3.Что характеризует момент инерции тела I?
4.Вывести формулу (5) для момента инерции кольца, считая формулу (4) для момента инерции диска заданной.
Лабораторная работа № 3
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ПРИ СОУДАРЕНИИ ШАРОВ
Цель работы: изучение явления соударения тел, экспериментальное определение времени соударения, расчет средней силы взаимодействия при ударе.
1. Описание установки и метода измерений
Схема установки представлена на рис. 1. Два металлических шара с помощью бифилярных токопроводящих подвесов подвешены на вертикальной стойке. В положении равновесия они должны касаться друг друга. У основания стойки закреплены две шкалы, с помощью которых определяются углы отклонения шаров до и после удара. На правой шкале закреплен электромагнит 3, который удерживает шар 2 в выбранном начальном положении. Микросекундомер 4 предназначен для определения времени соударения шаров. В его корпусе смонтирован также блок питания электромагнита.
Включение электромагнита происходит после нажатия клавиши СЕТЬ. При нажатии на клавишу ПУСК Рис. 1
цепь электромагнита размыкается и шар начинает двигаться.
При этом микросекундомер переходит в режим ожидания. Измерение времени соударения происходит при наличии электрического контакта между шарами. Так как этот контакт зависит от состояния поверхности шаров и от точности установки шаров (центры их должны лежать на одной линии), то возможен существенный разброс между отдельными измерениями, проведенными в данной серии.
Для того чтобы избежать этого, нужно провести серию из большого числа измерений, а затем сделать выборку близких друг к другу значений. Микросекундомер фиксирует время только одного соударения. Клавишей СБРОС вновь включается электромагнит и прибор готов к новому измерению.
Зная угол отклонения шара 2 и длину подвеса l, найдем высоту h2, с которой начнет опускаться этот шар:
h2 = l − l cosα . |
(1) |
Время соударения τ измеряется с помощью микросекундомера. Среднюю силу взаимодействия можно найти, записав второй закон Ньютона для шара 1 в проекции на горизонтальную ось:
∆(m1v)= Fсрτ или m1 (vкон − vнач )= Fсрτ . |
(2) |
До взаимодействия шар 1 покоился и его начальная скорость vнач = 0. После удара он начнет двигаться со скоростью vкон, которую можно найти из закона сохранения ме-
ханической энергии, зная высоту h1, на которую поднимется шар (если пренебречь работой сил сопротивления):
|
m v2 |
= m gh , |
|
|
|
||||
|
1 |
кон |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h1 |
= l − l cos β . |
|
|
|
(3) |
|||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vкон = 2gl(1 − cos β ) = 2 |
|
gl sin |
β . |
(4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Подставив это значение в формулу (2), получим |
|
|
|
|
|
||||
Fср = |
2m1 |
gl |
sin |
β |
. |
|
(5) |
||
τ |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Угол отклонения β будет меньше, чем угол α. Это связано с тем, что, во-первых, удар не является абсолютно упругим и, во-вторых, массы шаров не равны, поэтому после удара шар 2 не останавливается. Оценим долю механической энергии, которая переходит в теплоту после удара:
η = |
Wнач −Wкон |
. |
(6) |
|
|||
|
Wнач |
|
|
Начальная энергия системы шаров определяется потенциальной энергией шара 2. Зная высоту h2 (см. формулу (1)), найдем
Wнач = m2 gh2 = m2 gl(1 − cosα). (7)
Конечная энергия системы тел после удара будет равна сумме кинетических энергий этих шаров
W = |
m v |
2 |
+ |
m |
u2 |
= m gh + |
m |
u2 |
, |
(8) |
1 |
кон |
2 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
кон |
2 |
|
|
2 |
1 1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
где u – скорость второго шара после удара.
Скорость u, входящую во второе слагаемое, можно найти из закона сохранения импульса в момент удара
m2u2 = m1v − m2u . |
(9) |
Здесь u2 = 2gl(1 − cosα) (см. аналогичные формулы (3) и (4)), u2 – скорость второго шара до удара.
В результате после ряда преобразований формулу (6) можно привести к виду
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
(1 |
− cos β )(1 |
− cosα)− 1 |
+ |
(1 |
− cos β) |
|
|||||
|
|
|
|||||||||||
|
m |
|
|
|
|
m |
2 |
|
|
|
|
||
η = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(10) |
|
m2 |
|
|
1 − cosα |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. Порядок выполнения работы
1.Нажать на клавишу СЕТЬ, при этом должно заработать табло цифровой индикации на панели микросекундомера. Отклонить шар 2 на угол α до соприкосновения с электромагнитом. Нажать клавишу СБРОС. При этом табло цифровой индикации времени покажет нули.
2.Нажать клавишу ПУСК. Измерить время соударения τ и угол отклонения шар 1 после удара, т. е. угол β. Данные записать в табл. 1, после чего нажать клавишу СБРОС.
3.Измерения провести не менее десяти раз, после чего сделать выборку, состоящую из пяти наиболее совпадающих результатов. Эти данные занести в табл. 1. (Как указывалось выше, электрический контакт между шарами зависит также от состояния их поверхностей. Для того чтобы ослабить эту зависимость, предлагается сделать выборку из проведенной серии измерений.)
Данные установки |
|
|
|
α = |
|
∆α = |
|
m1 = |
∆m1 = |
m2 = |
∆m2 = |
l = |
|
∆l = |
|
Таблица 1
№ |
τi, мкс |
∆τi, мкс |
βi, град |
∆βi, град |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее |
|
– |
|
– |
|
|
|
|
|
3. Обработка результатов измерений
1.Найти среднее значение времени соударения τ .
2.Найти отклонение от среднего значения
∆τi =τ −τi .
Данные занести в табл. 1.
3. Рассчитать случайную погрешность ∆τсл. Найти суммарную погрешность
∆τ = 
(∆τсл )2 + (∆τинс )2 .
4.Записать результат измерения времени соударения
τ= τ ± ∆τ
сучетом правил округления.
5.Те же расчеты повторить для угла β.
6. По формуле (5) |
найти |
среднюю |
силу |
взаимодействия двух шаров |
F |
|||||||||
(g = 9,8156 м/с2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Рассчитать погрешность ∆F по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∆F = F |
1 |
ctg 2 |
β |
∆β 2 |
∆τ 2 |
|
∆m |
|
2 |
+ |
1 |
∆l 2 |
||
|
|
+ |
|
+ |
|
1 |
|
|
. |
|||||
ср |
4 |
|
2 |
|
τ |
|
|
|
|
|
4 l |
|||
|
|
|
|
m1 |
|
|||||||||
Рассчитать относительную погрешность δ = ∆F .
Fср
В этой формуле ∆β следует взять в радианах. Кроме того, можно пренебречь слагаемыми, величина которых много меньше остальных.
8. Записать окончательный результат расчетов в виде
F = Fср ± ∆F
сучетом правил округления.
9.Сравнить внутреннюю силу, т. е. силу взаимодействия F, с внешними силами, например с силой тяжести m1g. Для этого найти отношение F/m1g и убедиться, что оно много больше единицы.
10.По формуле (10) найти долю энергии, перешедшей в теплоту, и оценить степень упругости удара.
4. Дополнительное задание
По указанию преподавателя провести измерение силы взаимодействия шара и неподвижной стенки. В этом случае измеряются время соударения τ, углы отклонения шара до и после удара α1 и α2 соответственно. Сила взаимодействия рассчитывается по формуле
F = |
2m |
2 |
gl |
α |
1 |
+ sin |
α |
2 |
|
|
sin |
|
|
. |
|||||
|
|
τ |
|
2 |
|
2 |
|
||
Контрольные вопросы
1.Какой удар называется упругим?
2.Какие законы сохранения выполняются при упругом ударе?
3.Что называется неупругим ударом?
4.Найти долю энергии, которая переходит в тепло при упругом ударе.
5.Найти скорости шаров после упругого удара.