МЭИ(ТУ) Физика

де всего использовать второй закон Ньютона, который для всех положений тела может быть записан одинаково в виде

ma = mg + T .

Решение целесообразно начинать с положения 3 (рис. 10), т. е. при произвольном угле α. Для перехода к скалярным соотношениям выберем, как обычно при криволинейном движении, координатные оси по касательной к траектории (ось х) и по нормали (ось у). В проекциях на эти оси ax = aτ, ay = an = v2/l и

Уравнение (2) содержит два неизвестных v и Т. Скорость v приобретена телом при перемещении из положения 1 в положение 3 под действием сил mg и Т, причем последняя работы не совершает, так как перпендикулярна перемещению. Поэтому, если рассмотреть систему тело-Земля, то сила mg будет внутренней и консервативной, следовательно, полная энергия этой системы не изменяется: W1 = W3. Выбрав начало отсчета потенциальной энергии в положении 2, запишем для положения 1

Wк1 = 0 , Wп1 = mgl ;

в положении 3

W к3 = m2v2 , Wп3 = mgh = mg(1 − cosα)

(рис. 10). Тогда согласно (2.8)

mgl = m2v2 + mgl (1−cosα),

откуда

v2 = 2gl cosα

и

Полное ускорение

Подставляя выражение для v2 в уравнение (2), найдем

Формулы (3)-(6) определяют значения искомых величин в положении 3. Подставляя в те же формулы значения угла α для положений 1 и 2 (соответственно π/2 и 0), найдем aτ1 = g, an1 = 0, a1 = aτ1 (направлено по касательной к траектории), T1 = 0; aτ2 = 0, an2 = 2g, a2 = an2 (направлено по нормали к точке подвеса), T2 = 3mg.

Как видно из полученных решений, при движении тела тангенциальное ускорение убывает от g до нуля, нормальное ускорение возрастает от нуля до 2g, полное ускорение изменяется по модулю и направлению, сила натяжения нити возрастает от 0 до

3mg.

3. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Вращательное движение происходит под действием моментов сил, определяемых формулой Mi = [ri, Fi], причем вектор ri проводится от оси вращения к точке приложения силы в плоскости, перпендикулярной оси вращения (если вектор силы не расположен в этой плоскости, момент создается составляющей силы, лежащей в этой плоскости). В предлагаемых задачах моменты сил рассчитываются лишь относительно закрепленной оси вращения.

Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид

где I = ∑mi ri2 – момент инерция тела относительно оси вращения; ε = dωdt – угло-

i

вое ускорение тела. Векторы ε, M1, M2, ... направлены по оси вращения, поэтому векторное уравнение (3.1) эквивалентно скалярному уравнению

где εz, M1z, M2z ... – проекции соответствующих векторов на ось вращения, которые могут быть как положительными, так и отрицательными.

Уравнение (3.1) может быть записано также в другом виде:

меняющей своего положения в пространстве, векторы момента силы М и углового перемещения dφ направлены по оси вращения в ту или другую сторону, в зависимости от этого работа будет положительной либо отрицательной.

Так как в предлагаемых задачах наряду с вращательным движением встречается также поступательное движение твердых тел и движение материальных точек, то при решении приходится пользоваться не только основным уравнением динамики вращательного движения и законом сохранения момента импульса, но и соответствующими формулами из разделов механики, рассмотренных ранее.

А. Движение одного тела, имеющего закрепленную ось вращения

1.Найти тела, с которыми взаимодействует рассматриваемое тело. Показать на чертеже векторы сил и точки их приложения. Выяснить, создают ли эти силы вращающие моменты относительно заданной оси.

2.Записать основное уравнение динамики вращательного движения в векторной форме (3.1), затем в проекциях на ось вращения (3.2). Иногда удобно пользоваться формой записи (3.3). В правой части этих уравнений следует записывать в явном виде сумму моментов сил, найденных в п. 1.

3.Решение полученного уравнения позволяет найти искомую величину (ускорение, момент инерции, момент силы, силу).

4.Если требуется найти угловую скорость тела (либо линейные скорости отдельных его точек), то можно использовать энергетические соотношения, что особенно удобно в случае переменного углового ускорения (например, задача 3.3). Если к системе тело-Земля применим закон сохранения энергии, записать уравнение (2.9) для перехода из положения 1 в положение 2. При этом ∆Wп определяется изменением ∆h положения центра масс. Кинетические энергии выражаются по формуле (3.7). Это позволяет сразу найти угловую скорость, а затем линейные скорости интересующих точек.

5.Если действуют другие силы (внешние или диссипативные внутренние), совершающие работу, то по соотношению (2.7) можно найти изменение кинетической энергии и соответственно скорости тел. Это возможно, если работы упомянутых сил известны или могут быть непосредственно рассчитаны. Если, наоборот, известны скорости или кинетические энергии в двух положениях, это же соотношение позволяет рассчитать работу внешней или диссипативной внутренней силы.

Б. Движение системы тел

1.Установить наличие связей между телами и, если возможно, выяснить связь между кинематическими параметрами отдельных тел. При этом часто приходится накладывать дополнительные условия на связи: нерастяжимость нити, отсутствие скольжения нити по шкиву и т. п.

2.Найти тела, с которыми взаимодействует каждое из рассматриваемых тел, выяснить характер .этих взаимодействий и т. д., как в п. А.1.

3.Если силы, действующие на каждое из тел, постоянны или закон их изменения известен, то анализ и решение задачи о совместном движении тел проводится дальше так же, как в п. А. Динамические уравнения (1.1) и (3.1) записываются для каждого тела отдельно сначала в векторной форме, затем и проекциях на координатные оси. К полученным уравнениям должны быть добавлены условия связи между ускорениями отдельных тел и выражения для моментов инерции тел.

Если совместное движение тел происходит в конечном итоге под действием сил тяжести, то может быть использован энергетический метод, как в п. А.4. При этом учитывается изменение кинетической энергии всех тел системы (кроме Земли) и ее потенциальной энергии, обусловленной взаимодействием с Землей.

4.Если характер изменения сил при взаимодействиях не известен, то описанные выше методы не могут быть использованы. Однако, если в задаче требуется определить скорости тел до или после взаимодействия, то задача может быть решена с помощью законов сохранения. Для этого следует прежде всего выяснить, на какие отдельные процессы по характеру взаимодействий следует разбить весь процесс, а также установить, в каких процессах участвует каждое из тел и какие состояния должны быть рассмотрены.

5.Для каждого отдельного процесса выбрать тела, включаемые в систему. Тем самым устанавливается, какие силы, действующие на каждое тело, являются внутренними, а какие внешними.

6.Выяснить возможность применения к данной системе тел законов сохранения импульса и момента импульса и сделать дополнительные предположения, которые должны быть сделаны для выполнения этих законов, и оценить возможность таких предположений по условиям задачи.

7.Если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю или внешними силами можно пренебречь, для такой, системы можно записать уравнение (2.1). Если

сумма моментов внешних сил относительно некоторой оси, действующих на систему, равна нулю или моментами этих сил можно пренебречь, для такой системы можно записать уравнение (3.5).

8.Для получения скалярных соотношений законы сохранения (2.1) и (3.5) записать

впроекциях на координатные оси. Для скалярной записи закона сохранения момента импульса достаточно проекции на одну ось – ось вращения (уравнение (3.6)).

9.Если внутренние силы консервативны, а работой внешних сил можно пренебречь, возможно применение закона сохранения энергии в форме (2.8) или (2.9). Кинетическую энергию вращающихся тел найти по формуле (3.7).

Если. внешние или диссипативные внутренние силы совершают работу, то по величине этой работы в соответствии с выражением (2.7) может быть определено изменение энергии системы.

10.Скалярные уравнения (или система уравнений), полученные в пп. 8 и 9, позволяют рассчитать искомые скорости тел, их положения и т. д.

Задача 3.1

Блок в форме однородного диска (m0 = 0,2 кг) может вращаться вокруг горизонтальной оси. Через блок перекинута нить, к концам которой привязаны грузы массой m1 = 0,3 кг и m2 = 0,l кг. Найти ускорение грузов и силу давления блока на ось.

В движении участвуют три тела с заданными массами: два груза и блок, имеющий неподвижную ось вращения. Грузы движутся поступательно, блок вращается. Так как нить нерастяжима, ускорения обоих грузов одинаковы по модулю: a1 = a2 = a и равны ускорению любой точки нити. В предположении, что нить не проскальзывает по блоку, тангенциальное ускорение точек блока, соприкасающихся с нитью, равно по модулю ускорению нити и, следовательно, ускорению грузов. Поэтому, если радиус блока R, то

a = εR . (1)

Каждый из грузов взаимодействует (рис. 11) с Землей (силы m1g и m2g) и с нитью

(T1 и T2). Блок взаимодействует с Землей (m0g), с осью (N) и нитью ( T1′и T2′). Если нить считать невесомой, силы натяжения в любой ее точке остаются при движении по-

Заметим, что величина R (радиус блока), входящая в систему уравнений (1)-(3), при решении сокращается, т. е. ускорение грузов и силы натяжения нитей при заданных форме и массе блока не зависит от радиуса.

Задача 3.2

Маховик, жестко связанный со шкивом радиуса r = 0,1 м, может вращаться вокруг горизонтальной оси. Момент инерции системы относительно этой оси I = 0,2 кг·м2. На шкив навита нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 0,5 кг. Пренебрегая работой силы трения, найти: 1) скорость, которую приобретет груз, опустившись на расстояние h = 1 м; 2) силу натяжения нити при движении груза.

В движении участвуют два тела: маховик (со шкивом) и груз. Момент инерции маховика и масса груза заданы. В начальный момент времени тела покоятся. Маховик и груз связаны нитью. Так как нить нерастяжима, скорости и ускорения всех ее точек одинаковы. Отсутствие скольжения нити по шкиву позволяет считать, что линейная скорость и тангенциальное ускорение любой точки обода шкива равны по модулю соответственно скорости и ускорению нити, поэтому vгруза = vнити = ωr и aгруза = aнити = εr, где ω и ε – угловые скорость и ускорение маховика.

Рис. 12

Груз, который можно считать материальной точкой, взаимодействует с Землёй и нитью (силы mg и T на рис. 12). Силы тяжести и реакции оси, действующие на маховик, не создают вращающих моментов, так как точки приложения этих сил совпадают с осью вращения. Однако маховик взаимодействует также с нитью (сила Т' на рис. 12). Эта сила направлена по касательной к шкиву и создает вращающий момент

Так как нить невесома, сила натяжения нити остается постоянной во время движения и Т' = T.

Так как вся система движется вследствие действия на груз силы тяжести, для определения скорости груза можно воспользоваться энергетическим методом. Маховик, груз и Земля образуют систему тел, полная энергия которой при переходе из положения 1 в положение 2 (рис. 12) не изменяется, так как сила тяжести – внутренняя консервативная сила, трением по условию задачи пренебрегаем, сила реакции оси работы не совершает. Изменение потенциальной энергии, рассчитанное по формуле (2.7),

∆Wп = −mgh ;

Для нахождения силы натяжения нити запишем уравнения второго закона Ньютона (1.1) для груза и динамики вращательного движения (3.1) для маховика:

ma = mg + T , Iε = M .

В проекциях соответственно на оси у и z, показанные на рис. 12, с учетом (1)

ma = mg −T , Iε = Tr .

Решая эту систему совместно с условием связи a = εr, найдем силу натяжения нити