МЭИ(ТУ) Физика

Законы Ньютона справедливы независимо от природы взаимодействия между телами. В рассматриваемых задачах встречаются только силы тяжести, упругости и трения.

Если высота подъема тела мала, силу тяжести fтяж можно считать постоянной, направленной вертикально вниз: fтяж = mg, где m – масса тела, и приложенной к центру масс.

Упругие силы возникают при деформации тел. При деформации, например растяжений нити, силы натяжения (реакция) направлены вдоль нити и одинаковы по модулю во всех ее точках. При соприкосновении твердых тел, при давлении одного тела на другое упругие силы исправлены по нормали к поверхностям тел в точке их соприкосновения. Это силы нормального давления и нормальной реакции.

Если соприкасающиеся тела движутся относительно друг друга, то возникают силы трения скольжения, направленные в сторону, противоположную относительной скорости данного тела, причем fтр = µN, где µ – коэффициент трения, зависящий от свойств поверхностей тел; N – сила нормальной реакции. Если тела не движутся относительно друг друга, но есть другие силы, которые могли бы вызвать такое движение, то в этом случае возникают силы трения покоя. Сила трения покоя направлена в сторону, противоположную относительной скорости, которую приобрело бы данное тело при отсутствии трения, и определяется соотношением 0 ≤ fтр п ≤ µN.

Анализ и решение задач проводят в такой последовательности:

1.Установить, движение какого тела рассматривается в задаче (в случае совместного движения нескольких тел каждое из них рассматривается отдельно).

2.Выяснить, что известно из условий задачи о движении данного тела: траектория, начальная скорость и т. п.

3.Найти тела, с которыми взаимодействует данное тело, выясняют природу, характер и направление сил, обусловленных этими взаимодействиями.

4.Показать на чертеже векторы сил, действующих со стороны других тел на данное тело, и обозначить эти силы.

5.Записать второй закон Ньютона в векторном виде (1.1), при этом в правую часть вписываются в явном виде все найденные силы.

6.Выбрать систему координат и записать скалярные соотношения в виде уравне-

ний (1.3).

При прямолинейном движении удобно одну из осей, например ось х, выбрать по направлению ускорения (тогда ось у будет перпендикулярна вектору a). В этом случае ax = a (или ax = –a), ay = 0.

При криволинейном движении одну из осей (например, ось х) направляют по касательной к траектории, вторую (ось у) – по нормали по направлению к центру кривизны. В этом случае ax = aτ = dv/dt (v – скорость точки) есть тангенциальное ускорение; ay = an

= v2/ρ = ω2ρ – нормальное ускорение, ρ – радиус кривизны траектории в данной точке;

ω– угловая скорость.

7.Полученные в п. 6 скалярные соотношения составят систему уравнений, решение которой даст искомые модули и направления ускорений и сил.

8.Если в задаче рассматривается совместное движение нескольких тел, то после п. 4 следует установить соотношения между ускорениями этих тел. При этом часто приходится накладывать дополнительные условия на свойства связей, например, нерастяжимость нити и т. п. Дальнейшие операции следует проводить для каждого тела в отдельности. Для записи скалярных соотношений оси координат можно выбирать для каждого тела отдельно.

Задача 1.1

К концам шнура, перекинутого через блок, подведены грузы m1 = 50 г и m2 = 75 г. Пренебрегая трением и массами шнура и блока, найти ускорения грузов, натяжение шнура и показания динамометра, к которому подвешен блок.

Грузы заданной массы движутся прямолинейно и равноускоренно, поскольку все силы, действующие на грузы и показанные на рис. 1, постоянны. Ускорения a1 и a2 грузов численно равны, если шнур нерастяжим.

Уравнения движения грузов:

По третьему закону Ньютона силы натяжения нити T1 = –T1', T2 = –T2' (см. рис. 1); T1 = T1' = T2 = T2', так как массами шнура и блока можно пренебречь. Из нерастяжимости нити следует, что a1 = a2 = a.

Для получения скалярных соотношений выберем для первого тела координатную ось, направленную вверх, для второго – вниз. В проекциях на эти оси уравнения (1) примут вид

m1a =T − m1 g ; m2 a = m2 g −T .

Решая эту систему относительно a и T, получим

Показание динамометра равно сумме сил натяжения двух концов шнура:

F = 2T = 4m1m2 g =11,8 Н . m1 + m2

a1

a2

Задача 1.2

К потолку вагона, движущегося горизонтально, поступательно и прямолинейно с ускорением a0 = 2 м/с2, подвешен на нити груз массой m = 200 г. Найти силу натяжения нити Т и угол α ее отклонения от вертикали.

Рассмотрим движение вагона и груза. Если считать, что груз неподвижен относительно вагона (установившееся состояние), то ускорение груза a = a0. Следовательно, груз движется прямолинейно с постоянным и известным ускорением.

Груз взаимодействует с Землей (сила тяжести mg направлена вертикально вниз) и с нитью (сила натяжения Т направлена вдоль нити вверх), как показано на рис. 2.

Второй закон Ньютона для груза запишется так:

ma = mg + T .

Так как действующие силы лежат в одной плоскости, но не коллинеарны, для получения скалярных соотношений следует выбрать две координатные оси, одна из кото-

рых х горизонтальна и направлена по ускорению, другая у направлена вертикально вниз. При таком выборе осей ax = a0, ay = 0 и в проекциях на координатные оси

ma0 =T sinα , 0 = mg −T cosα .

Решая эту систему, найдем

α = arctg ag0 = arctg 0,2 =11,5o ; T = m g2 + a02 = 2 Н .

Задача 1.3

Грузик массой m = 0,1 кг), подвешенный на нити длиной l = 1 м, движется в горизонтальной плоскости по окружности, при этом нить образует с вертикалью постоянный угол α = 37°. (Такая система называется коническим маятником, так как нить описывает коническую поверхность.) Найти угловую скорость ω груза и силу Т натяжения нити.

Рис. 3

Грузик движется по окружности, следовательно, обладает нормальным ускорением an = ω2R; радиус окружности R = l sin α (рис. 3). Грузик взаимодействует с Землей и нитью, причем векторы mg и Т расположены в вертикальной плоскости.

Второй закон Ньютона для груза запишется так:

ma = mg + T .

Так как вектор скорости v все время перпендикулярен вертикальной плоскости, в которой расположены оба вектора силы, для перехода к скалярным соотношениям нужно ввести три координатные оси: ось х – по касательной к траектории (перпендику-

Рассмотрим поступательное прямолинейное движение двух тел. Доска взаимодействует с Землей (сила тяжести m1g), со столом (сила нормальной реакции N1) и с грузом

(силы нормального давления Fд и трения fтр′ ). Груз взаимодействует с Землей (m2g) и

приложена горизонтальная сила F, направленная так, как показано на рис. 4 (вправо).

Сила трения f ′′ , действующая на груз независимо от того, движется он относительно

тр

доски или нет, направлена в сторону, противоположную его возможной относительной скорости, т. е. противоположно силе F (влево). Соответственно сила fтр′ , действующая

Уравнения второго закона Ньютона для каждого тела:

Для перехода к скалярным соотношениям достаточно двух координатных осей х и у, показанных на рис. 4.

В проекциях на ось х a1x = a1, a2x = a2 и

Величина fтр зависит от силы нормальной реакции N2, действующей на груз; последняя может быть найдена из уравнения для груза в проекциях на ось у. Так как

Сила F стремится вызвать движение груза относительно доски и в зависимости от величины этой силы возникающая между доской и грузом сила трения fтр будет либо силой трения покоя, либо силой трения скольжения. В соответствии с этим ускорения доски и груза а1 и а2 относительно стола будут либо одинаковыми, либо разными.

В первом случае (первый вопрос задачи) груз относительно доски не движется, следовательно, а1 = а2 = a, а сила трения является силой трения покоя, т. е. fтр ≤ µN2, причем из уравнения (2) N2 = m2g. Совместное решение уравнений (1) с учетом равенства ускорений дает

Подставляя максимальное значение силы трения покоя, найдем

т. е. груз не движется относительно доски при F ≤ Fmax = 1,2 Н.

Для ответа на второй вопрос задачи следует выяснить, удовлетворяет ли величина силы F последнему условию.

При F = F1 = 0,5 H условие F ≤ Fmax выполняется; следовательно, а1 = а2, но значение силы трения (покоя) не известно. Уравнения (1) примут вид

При F = F2 = 3 Н F > Fmax и а1 ≠ а2. Сила трения является силой трения скольжения, величина которой может быть найдена так: fтр = µN2 = µm2g = 0,98 Н. Подставив значения fтр и F = F2 в уравнения (1), получим

Ускорения а1 и а2 рассчитаны относительно неподвижного стола. Разность а2 – а1 равна ускорению бруска относительно доски.

2.ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ ТЕЛ

Во многих случаях использование законов Ньютона затруднено из-за того, что действующие силы переменны, а закон их изменения со временем не известен. В таких задачах удобно использовать законы сохранения, позволяющие иногда сразу определить скорости или положения тел после взаимодействия. Некоторые задачи можно решить как с помощью законов Ньютона, так и с помощью законов сохранения. Однако использование законов сохранения обычно приводит к более простому решению.

Изменение импульса системы тел определяется действием только внешних сил, т. с. взаимодействием с телами, не входящими в рассматриваемую систему тел:

dtd ∑pi = F1e + F2e +K,

Кинетическая энергия материальной точки либо поступательно движущегося твердого тела Wк = mv2/2. Изменение кинетической энергии каждого тела равно алгебраи-

ческой сумме работ A', А", ... всех сил, действующих на это тело:

где индекс 1 относится к начальному, а индекс 2 к конечному состоянию. Потенциальная энергия обусловлена взаимодействием элементов системы, если

силы взаимодействия консервативны. Консервативными являются силы тяготения и упругости. Силы трения, как и силы неупругой деформации, являются диссипативными. Изменение потенциальной энергии системы равно работе Aвз внутренних консервативных сил, взятой с обратным знаком, при перемещении системы из положения 1 в положение 2:

Абсолютное значение потенциальной энергии может быть определено лишь тогда, когда выбрано начало отсчета потенциальной энергии, т. е. такое взаимное расположение элементов, при котором потенциальную энергию принимают равной нулю. Конкретное аналитическое выражение потенциальной энергии и ее изменения зависит от характера консервативных сил взаимодействия, расчет этих величин производится по формуле

(2.6).

При парном взаимодействии удобно одно из тел считать неподвижным. Тогда изменение потенциальной энергии определяется работой внутренней консервативной силы, действующей только на второе тело; кинетическая энергия системы в этом случае определяется относительной скоростью второго тела.

Полная механическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех тел и потенциальной энергии системы. Изменение полной энергии ∆W системы равно алгебраической сумме работ внешних сил, действующих на все тела системы и внутренних неконсервативных (диссипативных) сил:

где Ae – сумма работ всех внешних сил, Adis – сумма работ всех внутренних диссипативных сил при переходе системы из состояния 1 в состояние 2.

Если Ae = 0 и Adis = 0, то полная энергия системы остается постоянной (закон сохранения энергии в механике):

Использование равенства (2.9) позволяет не выбирать начало отсчета потенциальной энергии. Закон сохранения энергии выполняется не только тогда, когда работа внешних и диссипативных внутренних сил, рассчитываемая по формуле (2.4), равна нулю, но и когда этой работой можно пренебречь по сравнению с работой внутренних консервативных сил.

Анализ и решение задач проводят в такой последовательности.

1.Выяснить, движение каких тел рассматривается в задаче, что известно о характере движения: начальные положения, траектории, модули и направления начальных скоростей и т. п.

2.Установить причины изменения движения каждого из тел, т. е. выяснить, за счет каких взаимодействий происходят эти изменения.

3.Установить, на какие отдельные процессы по характеру взаимодействий следует разбить весь описанный в задаче процесс. Для этого выясняют, в каких процессах участвует каждое из рассматриваемых тел, какие состояния должны быть выделены. Дальнейший ход решения проводится по отдельным процессам и отдельным состояниям.

4.Для каждого отдельного процесса выяснить, какие тела в нем участвуют, какие тела удобно включить в систему. Таким образом, уготавливается, какие силы, действующие на каждое тело системы, являются в данном процессе внутренними, a какие – внешними.

5.Установив, из каких тел состоит система, выяснить из условий задачи, подчиняется ли система тому или иному закону сохранения, а также какие дополнительные предположения нужно сделать для выполнения этих законов и возможны ли они по условию задачи.

6.Записать в общем виде используемые законы сохранения, указав систему тел и процесс. Последовательность применения законов сохранения зависит от конкретных условий задачи.

7.Закон сохранения энергии записать в виде (2.8) (Wп1 + Wк1 = Wп2 + Wк2) или (2.9). Затем каждое из выражений, входящих в эти равенства, записать в явном виде. Кинетические энергии системы в состояниях 1 и 2 найти суммированием кинетических энер-