МЭИ(ТУ) Физика

∆S =1,01 ДжК .

Различие в результатах задач №№ 6 и 7 можно объяснить тем, что процессу смешения в задаче № 6 может предшествовать процесс выравнивания давления с помощью поршня, как это было сделано в настоящей задаче. Удаление поршня после выравнивания давлений в случае одинаковых газов не влечет за собой никаких процессов. В случае различных газов удаление поршня приведет систему в неравновесное состояние: в одной части объема находится азот, в другой – окись углерода. Начнется необратимый процесс смешения двух различных газов. После удаления поршня энтропия будет возрастать только в том случае, если по обе его стороны находились различные газы.

§5. ЖИДКОСТИ

Вданном параграфе затрагиваются явления в поверхностном слое жидкости. Эти явления специфичны и поэтому желательно подробнее остановиться на механизме возникновения силы поверхностного натяжения.

Молекулы поверхностного слоя находятся в иных условиях, чем в объеме жидкости. Легко показать, что потенциальная энергия поверхностных молекул больше. Это приводит к тому, что концентрация молекул в поверхностном слое меньше, чем концентрация молекул внутри жидкости, соответственно в поверхностном слое увеличиваются средние расстояния между молекулами.

Вобъеме жидкости среднее расстояние между молекулами таково, что силы притяжения и силы отталкивания взаимно компенсируются. Увеличение расстояния между молекулами в поверхностном слое обусловливает преобладание сил притяжения (см. рис. 35 и задачу № 17, § 2, гл. II). Этим объясняется возникновение силы натяжения на свободной поверхности жидкости.

Если поверхность жидкости обладает кривизной, то силы поверхностного натяжения дают результирующую, направленную по нормали к поверхности. Это приводит к тому, что давление в жидкости отличается от внешнего давления на величину ∆p:

При решении задач этого параграфа существенно обратить внимание студентов на то, что это изменение давления происходит скачком.

Задача 1

В спирт опущена на ничтожную глубину трубка, радиус внутреннего канала которой r = 2 мм. Найти массу спирта, вошедшего в трубку. Насколько давление в точках, лежащих на половине высоты столбика спирта (рис. 45), меньше атмосферного? Коэффициент поверхностного натяжения спирта σ = 2,2·10-2 Н/м.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Спирт смачивает стекло, и краевой угол равен нулю20, поэтому мениск будет вогнутым и будет иметь форму полусферы, радиус которой равен радиусу канала трубки.

20 Это предположение будем считать справедливым во всех дальнейших задачах.

В точках 1 и 2, расположенных вплотную к поверхности жидкости, но по разные от нее стороны, давления будут отличаться друг от друга на величину ∆p, определяемую формулой Лапласа:

где r1 и r2 – главные радиусы кривизны.

В данном случае r1 = r2 = r – радиус канала. Таким

Рис. 45

образом, давление в точке 2

где p0 – давление в точке 1, равное атмосферному (давлением паров спирта пренебрегаем).

Давление в точке, лежащей под поверхностью на расстоянии х от нее, будет больше, чем в точке 2, на величину гидростатического давления столбика спирта высотой х, и будет равно

В точке 3, лежащей на уровне свободной поверхности жидкости, которую можно считать плоской, давление должно равняться атмосферному (p0), т. е.

где h – высота всего столбика спирта. На основании формулы (4) находим

Искомая масса может быть рассчитана так:

Формула (6) может быть получена непосредственно из следующих соображений. Вдоль всей линии соприкосновения поверхности спирта со стеклом со стороны стекла на жидкость действует сила f, направленная вертикально вверх и равная произведению коэффициента поверхностного натяжения на длину линии соприкосновения, т. е.

f = σ 2πr .

Эта сила уравновешивается силон тяжести P = mg столбика спирта.

Давление в точках, лежащих на половине высоты столбика спирта ( x = h2 ), равно

Задача 2

Две параллельные пластинки шириной a = 10 см, находящиеся на расстоянии d = 0,1 мм, погружены нижним краем в воду. Какую силу надо приложить к каждой из пластинок, чтобы не допустить их сближения? Коэффициент поверхностного натяжения воды σ = 0,072 Н/м.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Как уже упоминалось в предыдущей задаче, давление вдоль столба жидкости, который поднимется между пластинками, будет уменьшаться от атмосферного давления p0 до давления

где ∆p рассчитывается по формуле Лапласа.

В данном случае один из главных радиусов кривизны равен бесконечности. Второй главный радиус равен половине расстояния между пластинками, поэтому

Давление на боковую поверхность каждой пластинки со стороны жидкости на расстоянии х от уровня мениска меньше, чем наружное давление, на величину

Тогда сила, которую надо приложить к каждой из пластинок, чтобы не допустить их сближения, равна

где h – высота поднятия жидкости. Подставив выражение (3) в формулу (4) и произведя интегрирование, получим

Из условия равновесия столба жидкости следует, что гидростатическое давление

Выразив отсюда высоту поднятия жидкости h и подставив в выражение (5), окончательно найдем

f= 2σ 2 a =10,6 Н . d 2 ρg

Задача 3

В стеклянный капилляр, внутренний радиус которого r2 = 1 мм, коаксиально вставлена стеклянная палочка, радиус которой r1 = 0,75 мм. Найти высоту капиллярного поднятия воды в образовавшемся канале (рис. 46). Коэффициент поверхностного натя-

жения σ = 0,072 Н/м.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Высота поднятия h может быть рассчитана из соотношения

где ∆p – избыточное давление, определяемое по формуле Лапласа

Таким образом, задача по существу сводится к нахождению главных радиусов кривизны поверхности жидкости в капилляре.

Как видно из рис. 46, один из главных радиусов можно принять равным половине рас-

стояния между, внутренней стенкой капилляра и вставленной палочкой, т. е.

R1 = r2 − r1 . 2

Второй главный радиус приближенно равен

R2 = r1 + r2 . 2

Подставляя значения обоих радиусов в формулу (2) и затем находя h, находим

Если для решения задачи приравнять силу поверхностного натяжения вдоль линий соприкосновения стекло-вода и силу тяжести столба воды (см. задачу № 1 этого параграфа), то получим

Расхождение формул для расчета h объясняется тем, что каждый из этих методов является приближенным.

Задача 4

Поверхностное натяжение на границе вода-масло можно принять равным σ = 1,8·10-2 Н/м. Какую работу надо произвести, чтобы каплю масла массой т = 1 г раздробить внутри воды на капельки радиусом r = 10-4 см? Процесс дробления можно считать изотермическим. Плотность масла ρ = 0,9 г/см3.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

При изотермическом дроблении одной большой капли на множество мелких затрачивается энергия только на образование добавочной поверхности. Внутренняя энергия капель не меняется. Следовательно,

где R — радиус большой капли, N — число мелких капель.

Масса масла не меняется, следовательно, масса большой капли равна массе N капе-

откуда

элемент пленки (рис. 47). Известно, что при переходе через сферическую поверхность жидкости давление меняется скачком на величину

∆p = 2rσ .

Следовательно,

pB − pA = 2rσ ,

pC − pB = 2rσ ,

где pA – внешнее давление воздуха на пузырь, pB – давление в толще пленки, pC – искомое давление воздуха внутри пузыря. Учитывая, что pA = p0, получим

Энергия, затрачиваемая на образование поверхности пузыря,

где S – сумма внутренней и внешней поверхностей пленки. Искомая работа вычисляется по формуле

Выразив поверхность пленки S и объем V пузыря через радиус и используя формулу (1) для давления, получим

регая величинами второго порядка, можно получить окончательный результат:

СБОРНИК ЗАДАЧ

под ред. Барто М. П.

МЕХАНИКА

1. Кинематика

При решении последующих задач следует использовать дифференциальную связь между перемещением, скоростью и ускорением, записывая соответствующие соотношения в проекциях на координатные оси (например, ux = dx/dt, ах = dvx/dt). Аналогично

v0x, а0x могут быть положительными или отрицательными в зависимости от ориентации векторов r0, v0, a по отношению к оси X.

1.1. Начертить графики зависимости от времени, скорости и перемещения некоторого тела, если график ускорения а(t) имеет вид, представленный на рис. 1.1 (начальная скорость равна нулю).

1.2.Начертить графики зависимости от времени перемещения и ускорения некоторого тела, если скорость этого тела как функция времени представлена графиком на рис. 1.2.

1.3.Человек ростом h2 проходит с постоянной скоростью v под фонарем, высота которого над землей h1. Найти, с какой скоростью движется по земле конец тени М человека (рис. 1.3).

1.4.Параллельные оси двух цилиндрических блоков находятся в горизонтальной плоскости на расстоянии 2d друг от друга. Через блоки перебрасывается нить, к концам

которой подвешиваются два одинаковых груза. Среднюю точку нити между блоками тянут вертикально вниз с постоянной скоростью v, вследствие чего грузы поднимаются вверх. Выразить скорость грузов v1 в зависимости от времени и найти их скорость в тот момент, когда средняя точка от своего первоначального положения на горизонтальном направлении нити будет перемещена на расстояние d (считать, что радиусы блоков

R << d).

Указание. При решении следует учесть нерастяжимость нити. Полезно построить график v1(t) и объяснить полученную зависимость.

Рис. 1.3 Рис. 1.4

1.5. Две зажженные свечи (первоначально одинаковой высоты) поставлены на стол на расстоянии l = 5 см друг от друга. Одна свеча равномерно сгорела за время τ1 = 1 ч,

другая – за τ2 = 0,75 ч. Определить уравнение движения края М тени, бросаемой II свечой от I свечи, и скорость края тени в тот момент, когда I свеча сгорит наполовину

(рис. 1.4).

1.6. Фонарь, находящийся на расстоянии R0 = 3 м от вертикальной стены, бросает на нее «зайчик»; фонарь равномерно вращается около вертикальной оси. Число оборотов фонаря n = 0,5с-1. При вращении фонаря «зайчик» бежит по стене по горизонтальной прямой. Найти скорость «зайчика» v через промежуток времени t = 0,1 с после того, как луч света был перпендикулярен к стене.

Указание. Полезно построить и обсудить график зависимости v(t). He противоречит

найти скорость и ускорение через время t = 3 с после начала движения. Построить графики пути, скорости и ускорения в зависимости от времени.

1.8.Тело свободно падает с высоты H = 1000 м. Найти, какое расстояние пройдет тело в последнюю секунду своего падения.

1.9.Тело свободно падает с высоты H = 980 м. За какое время оно пройдет последние h = 98 м своего пути?