МЭИ(ТУ) Физика

инерциальной системе отсчета, жестко связанной с Землей. Тогда внешними силами, действующими на рассматриваемую систему, будут сила тяжести и сила реакции оси. Работы они не совершают. Сила трения между муфтами и стержнем отсутствует. Следовательно, изменение кинетической энергии всей системы

Так как ось вращения проходит через центр тяжести системы, кинетическая энергия при движении муфт вдоль стержня будет равна сумме энергий вращательного и поступательного движений.

РЕШЕНИЕ

1-й случай

Рассчитаем работу, совершенную силой инерции, действующей на каждую из муфт:

здесь х – мгновенное значение расстояния от оси вращения до муфты. Чтобы исключить переменную t, можно записать

ddtv′ = ddxv′ dxdt = ddxv′ v′ ,

и тогда решение задачи сведется к решению дифференциального уравнения

mv′dv = mω12 xdx .

2-й случай

Используя инерциальную систему отсчета, можно записать, что в начальный момент, до пережигания нити, кинетическая энергия системы

После пережигания нити, когда муфты подойдут к концам стержня, кинетическая энергия

Угловую скорость вращения ω2 найдем из постоянства момента импульса системы.

До пережигания нити момент импульса L1 = I1ω1 , после пережигания нити L2 = I 2ω2 .

Приравнивая правые части написанных выражений, получаем

I1ω1 = I2ω2 ,

откуда

ω2 = I1 ω1

I 2

и тогда

ГЛАВА I I . МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

ИТЕРМОДИНАМИКА

§1. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Цель занятия – научить студентов пользоваться уравнением состояния идеальных газов (уравнением Клапейрона-Менделеева):

pV = mµ RT .

где р, V, T – параметры газа; R – универсальная газовая постоянная; m – масса газа; µ – молекулярный вес (молярная масса) газа.

Надо обратить внимание учащихся, что в это уравнение входит отношение массы газа к его молекулярному весу, равное числу молей газа; таким образом, поведение газа определяется не массой, а числом молей. Это особенно важно, если приходится рассматривать смесь газов. В этом случае полное давление смеси (при заданных объеме и температуре) будет определяться общим количеством молей:

При проведении занятия следует показать, что законы идеальных газов являются частными случаями уравнения Клапейрона-Менделеева. Например, если в результате какого-либо процесса температура газа не меняется (при неизменной массе газа), то последовательное применение уравнения Клапейрона-Менделеева к начальному и конечному состояниям даст результат

p1V1 = p2V2 .

При равенстве давлений в начальном и конечном состояниях (при неизменной массе) таким же путем получим соотношение

V1 = V2 .

T1 T2

Как и в задачах главы I, перед подстановкой числовых значений в решении надо

все величины выразить в единицах одной системы.

Очень важно научить студентов графически представлять процессы изменений газовых состояний в различных координатах: р, V; р, Т и V, Т. При этом необходимо подчеркнуть, что графически можно изображать только квазистатические процессы, т. е. процессы, которые протекают настолько медленно, что состояние газа в каждый момент времени лишь незначительно отличается от равновесного. В этом случае уравнение Клапейрона-Менделеева можно применять не только к конечному или начальному состоянию, но и к любому промежуточному состоянию газа.

Вся тема не имеет самостоятельного значения, и в достаточно подготовленной аудитории ее можно почти полностью опустить.

Поскольку многие задачи этого и последующих параграфов второй главы носят расчетный характер и используют не более чем один физический закон, анализ задачи и ее решение не отделяются.

Задача 1

На рис. 31 изображен график некоторого процесса в координатах р, Т. Как меняется объем газа при переходе из состояния 1 в состояние 2?

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Изохора, соответствующая состоянию 1, изображена на графике пунктирной прямой. Точка 2 лежит ниже этой прямой, следовательно,

V2 > V1.

Но часть кривой, изображающей график процесса, лежит выше пунктирной линии. Это значит, что сначала газ сжимался (почти при по-

стоянной температуре), затем с ростом темпера- Рис. 31 туры началось расширение газа.

Задача 2

Найти число n ходов поршня, которое надо сделать, чтобы поршневым воздушным насосом откачать воздух из сосуда емкостью V от давления p0 до давления р, если емкость поршня ∆V.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Если откачка производится достаточно медленно, то в результате теплообмена с

окружающей средой процесс можно считать изотермическим, и газ, наполняющий сосуд и заполняющий камеру насоса подчиняется закону Бойля-Мариотта. Но сложность заключается в том, что камера насоса заполняется воздухом, находящимся в сосуде под давлением, которое изменяется после каждого хода поршня.

При первом ходе поршня воздух, находящийся в сосуде V под давлением p0 заполнит объем V + ∆V, а в сосуде установится некоторое давление p1.

Очевидно,

Задача 3

В двух сосудах емкостью V1 = 3 л и V2 = 5 л находятся соответственно азот под давлением p1 = 1 атм и окись углерода под давлением p2 = 5 атм. Сосуды соединяют тонкой трубкой, объемом которой можно пренебречь. Найти установившееся давление смеси, если начальная температура обоих газов равна температуре окружающей среды.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Как бы ни протекал процесс смешения газов, в конце процесса установится температура, равная температуре окружающей среды, которая по условию равна начальной температуре.

Начальные давления газов достаточно малы, чтобы можно было считать газ идеальным. Следовательно, после смешения каждый из газов будет занимать объем, равный сумме объемов обоих сосудов; давление смеси будет равно сумме парциальных давлений каждого из газов. Вследствие равенства начальной и конечной температур

Выразив заданные величины в единицах СИ, получим p = 3,5 103 мН2 .

Задача 4

Найти плотность водорода при t = 7°C и давлении p = 0,5 105 мН2 .

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Преобразуя уравнение Клапейрона-Менделеева, легко найти искомую плотность:

ρ = Vm = RTpµ .

Учитывая, что в системе единиц СИ молекулярный вес водорода µ = 2·10-3 кг/моль, а значение универсальной газовой постоянной R = 8,32 Дж/(моль·К), на основании расчетной формулы получим

ρ = 0,043 мкг3 .

Задача 5

Найти эффективный молекулярный вес воздуха, рассматривая его как смесь азота (80%) и кислорода (20%). Процентное содержание дано по массе.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Давление газа при заданных объеме и температуре определяется не массой, а количеством молей, выражаемым отношением m/µ.

Давление смеси согласно закону Дальтона определяется общим числом молей сме-

Эффективным молекулярным весом смеси называется молекулярный вес такого газа, который при одинаковых параметрах со смесью будет иметь ту же массу. Для такого

При расчете находим

µэф = 29 10−2 молькг .

§ 2. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОИ ТЕОРИИ ГАЗОВ

Вопросы, затрагиваемые в задачах этого параграфа, очень существенны для понимания природы явлений, обусловливаемых тепловым движением молекул. Навыки, которые приобретают студенты при решении этих задач, и качественные упрощенные представления, которые здесь применяются, необходимы для физического осмысливания термодинамики. Упрощения, используемые в данном параграфе, заключаются в следующем:

1.Вместо того чтобы рассматривать действительное распределение молекул по составляющим их скоростей, предполагается, что молекулы газа движутся в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Вследствие изотропности распределения, т. е. вследствие равной вероятности любого направления для скорости молекулы, мы предполагаем, что по каждому из трех взаимно перпендикулярных направлений движется одна треть всех молекул.

2.Действительное распределение молекул по модулю скорости часто заменяется предположением о равенстве скоростей всех молекул по абсолютной величине.

3.При рассмотрении ударов молекул о площадку ∆S за время ∆t истинное число ударов заменяется средним.

Эти же упрощения лежат в основе выводов основного уравнения кинетической теории газов для давления и коэффициентов переноса.

Материал этого параграфа рассчитан на несколько занятий. Задачи № 3, 4, 5 родственны по характеру и можно ограничиться разбором одной или двух из них. Задачу

№7 можно использовать при разборе молекулярной трактовки взаимосвязи внутренней энергии и работы газа. Задачи № 10, 11 посвящены распределению молекул по скоростям и энергиям. Задача № 14 введена для облегчения понимания формул Максвелла и Больцмана, так как математическое выражение функции распределения по длинам свободного пробега очень простое, и с ним легко оперировать. Желательно решение этой задачи провести до задач № 10 и 11. Задача № 16 ставит своей целью показать в наиболее яркой форме сущность явлений переноса. Задача № 17 трактует вопрос о соударении молекул с точки зрения закона сохранения энергии и выясняет относительный характер понятия о диаметре молекулы.

Задача 1

Найти концентрацию молекул газа при t = 27°C под давлением p = 1 мм рт. ст.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Искомая концентрация n0 находится из соотношения, связывающего давление газа, его концентрацию и температуру:

n0 = kTp ,

где k = 1,38·10-23 Дж/К – постоянная Больцмана.

Давление надо предварительно выразить в единицах СИ:

p =1мм рт.ст. =1,3 102 мН2 .

Подставив вычисленное давление в приведенную формулу, найдем

n0 = 3 1022 м−3 .

Необходимо обратить внимание учащихся на то, что давление идеального газа не зависит ни от массы молекул, ни от числа атомов, составляющих одну молекулу. Особенно наглядно это видно на примере следующей задачи.

Задача 2

В сосуде, объем которого V = 0,5 л, находится 1 г парообразного йода (I2). При температуре t = 1000°C давление в сосуде равно 700 мм рт. ст. Найти степень диссоциации молекул йода при этих условиях (µ = 254 г/моль).

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Степенью диссоциации α называется отношение числа n1 диссоциированных молекул к общему числу n0 молекул в единице объема:

α = n1 . (1) n0

Общее число молекул определяется из условий задачи

где NA – число Авогадро.

Для нахождения числа n1 надо знать общее число частиц п в единице объема, кото-

рое будет определять величину давления газа. Очевидно, что число п больше, чем число молекул, т. е.

n = n0 − n1 +2n1 = n0 + n1 . (3)

Здесь разность n0 – n1 показывает число целых, недиссоциированных молекул, слагаемое 2n1 – число атомов, получившихся при диссоциации; коэффициент 2 обусловлен тем, что каждая молекула распадается на 2 атома.

Выразив давление в Н/м2 и температуру по абсолютной шкале, найдем общую концентрацию частиц

Концентрация молекул n0, найденная по формуле (2), оказывается равной

4,75·1024 м-3.

Подставляя значения п и n0 в выражение (3), получим n1 = n − n0 = 0,55 1024 м−3 .

Теперь вычисляем искомую степень диссоциации молекул

α= n1 = 0,12 . n0

Ввиду сложности вычислений эта задача не доводится до конца в общем виде.

В рассматриваемом сосуде находятся как бы два различных газа – I2 и I. Суммарное давление обоих газов определяется общим числом частиц в единице объема независимо от того, что частицы эти различны и по массе, и по структуре.

Задача 3

На пути молекулярного пучка стоит «зеркальная»15 стенка. Найти давление, испытываемое этой стенкой, если скорость молекул в пучке с, а концентрация n0, масса одной молекулы m0. Стенка расположена перпендикулярно скорости пучка.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Давление, испытываемое стенкой, определяется силой удара каждой молекулы и частотой этих ударов. В результате удара молекулы о «зеркальную» стенку не изменит-

15 «Зеркальной» стенкой называется стенка, соударения с которой происходят по закону абсолютно упругого удара.