МЭИ(ТУ) Физика

1.10. Брошенное вертикально вверх с некоторой скоростью тело было в точке, ле-

жащей на половине высоты своего подъема, два раза с промежутком времени τ = 2с. Найти, с какой скоростью было брошено тело.

1.11.Мячик брошей вертикально вверх со скоростью v0 = 9,8 м/с. Когда он достиг высшей точки своего подъема, вверх был брошен с той же начальной скоростью второй мячик. Найти, на какой высоте произойдет встреча мячей.

1.12.Два тела двигаются по одному и тому же прямолинейному пути с ускорениями: а1 = 1 м/с2 и a2 = 3 м/с2. Некоторую точку А тела проходят в одинаковом направле-

нии через время t0 = 14 с одно после другого; в точке А скорость первого тела v1 = 22 м/с и второго v2 = 10 м/с. Через какое времени после прохождения точки А пер-

вым телом второе тело догонит первое?

1.13. По шоссе со скоростью vl = 16 м/с движет-

ся автобус. Человек находится на расстоянии a = 60 м от шоссе и b = 400 м от автобуса. В каком направлении должен бежать человек, чтобы выйти к какойлибо точке шоссе одновременно с автобусом или раньше его? Человек может бежать со скоростью v2 ≤ 4 м/с (рис. 1.5). Направление определяется уг-

Рис. 1.5

лом α.

Указание. Координатные оси удобно направить так, как показано на рис. 1.5.

1.14. Из корзины равномерно опускающегося со скоростью va = 2,0 м/с аэростата был подброшен вертикально вверх камень со скоростью v0 = 11,8 м/с (относительно аэ-

ростата): а) найти расстояние H1 между корзиной аэростата и камнем в тот момент, когда камень достигнет высшей точки своего подъема (относительно Земли); б) каково наибольшее расстояние Н2 между корзиной аэростата и камнем?

Указание. Находя H2 в системе координат, связанной с Землей, и в системе, связанной с аэростатом, можно убедиться в идентичности различных инерциальных систем.

1.15.Удары колокола повторяются через интервалы времени t0 = 2,0 с. Через какой промежуток времени слышит два последовательных удара этого колокола человек, удаляющийся от него со скоростью v = 16 м/с? Скорость звука в воздухе с = 332 м/с.

1.16.Самолет, находясь на некоторой высоте над землей, летит с постоянной скоростью v = 400 м/с. Найти высоту полета самолета, если при наблюдении с него в зри-

тельную трубу неподвижного предмета на земле угол между направлением трубы и вертикалью в некоторый момент равен θ1 = 26,5°, а через время t = 0,1 с тот же угол становится равным θ2 = 25,0°.

1.17. В кабине лифта, поднимающегося со скоростью v = 0,75 м/с, падает неболь-

шой предмет с высоты h = 44 см над полом. Найти, через какое временя после начала своего падения предмет коснется пола кабины. Как изменится расстояние от предмета до земли за время его падения внутри кабины?

См. указание к задаче 1.14. Решить задачу в двух системах отсчета.

1.18.Над колодцем глубиной h = 19,6 м бросают вертикально вверх камень с начальной скоростью v0 = 19,6 м/с. Найти, через какой промежуток времени камень будет находиться на следующих расстояниях от поверхности земли: h1 = 29,4 м, h2 = 19,6 м, h3 = 9,6 м. Через какой промежуток времени камень упадет на дно колодца?

1.19.Найти тангенциальное и нормальное ускорение тела, брошенного под некоторым углом к горизонту, когда оно, поднимаясь по своей траектории, имеет скорость, направленную под углом α = 30° к горизонту.

1.20.Тело брошено со скоростью v0 = 10 м/с под углом α1 = 60° к горизонту. Найти радиус кривизны траектории этого тела в тот момент, когда его скорость составляет с горизонтом угол α2 = 45°.

2. Динамика поступательного движения материальной точки

Второй закон Ньютона следует записывать для каждого тела в отдельности в про-

екциях на координатные оси, например, ∑Fyi = m1a1y . Наиболее простое решение получается, если одну из осей направить по ускорению тела, а вторую – перпендикулярно.

В задачах, где тела системы связаны при помощи нитей, предполагается, что нити нерастяжимы и невесомы. Нерастяжимость обеспечивает одинаковые скорости и ускорения всех точек нити в один и тот же момент времени, а невесомость – одно и то же натяжение в любом ее сечении. Если нить перекинута через блок, то натяжение ее по обе стороны от блока можно считать одинаковым лишь в случае, если масса блока в задаче пренебрежимо мала. Если в условии задачи нет никаких сведений о блоке, предполагается, что это условие выполняется.

2.1.Неподвижный груз, масса которого т = 1 кг, приводится в движение по горизонтальной плоскости без трения действием постоянной силы и в течение времени t = 1 с перемещается на расстояние s = 1 м. Найти величину действующей на тело силы.

2.2.Найти среднюю силу, с которой кувалда действует при ударе на кусок металла, лежащий на наковальне, если масса кувалды т = 8 кг, высота ее поднятия h = 1 м и продолжительность удара τ = 5,10-3 с. Считать, что кувалда падает только под действием силы тяжести, происходит неупругий удар, и масса куска металла и наковальни много больше массы кувалды.

2.3.Коэффициент трения при движении вагона по рельсам µ = 0,01. Какую долю от силы тяжести вагона должна составлять горизонтальная сила, способная сообщить ему ускорение а = 0,12 м/с2?

2.4.На тело, имеющее начальную скорость v0 = 15 м/с, действует в направлении его скорости в течение времени t = 10 с постоянная сила F = 99 Н; за это время тело переместилось на расстояние s = 300 м. Найти массу тела.

2.5.Пуля, обладающая скоростью v = 300 м/с, пробивает доску толщиной d = 3 см и уменьшает при этом свою скорость вдвое. Найти среднюю силу сопротивления движению пули внутри доски. Масса пули m = 8 г.

2.6.На железнодорожный паром, привязанный к берегу двумя канатами, въезжает поезд массой m = 200 т с начальной скоростью v = 18 км/ч; тормозами останавливают поезд на протяжении s = 25м. Найти натяжение Т канатов, пренебрегая вертикальным перемещением парома.

2.7.Горизонтальная струя воды поперечного сечения s = 4 см2 бьет со скоростью

v= 5 м/с в вертикальную стену и свободно стекает по ней вниз. Найти горизонтальную силу, с которой струя действует на стену.

2.8.Груз массой m = 100 кг перемещают равномерно по горизонтальной поверхности, приложив силу, направленную под углом α = 30° к горизонту. Найти величину этой силы, если коэффициент трения µ при движении груза по плоскости равен 0,3.

2.9.Тележка массой m = 10 кг может без трения двигаться по горизонтальным рельсам. Найти ускорение тележки в двух случаях: а) если тянуть ее горизонтальной силой F = 10 Н; б) если приводить ее в движение гирей т0 = 1 кг, как показано на рис. 2.1,а, б.

2.10.На горизонтальном столе лежит брусок, к которому привязана перекинутая через блок нить. К другому концу нити подвешен груз массой m2 = 1,0 кг, под действием которого брусок начал двигаться равноускоренно и за время t = 2,5 с прошел расстояние s = 100 см. Найти коэффициент трения µ между поверхностями бруска и стола и натяжение нити. Масса бруска m1 = 4,0 кг.

2.11.На гладкой горизонтальной плоскости лежат три последовательно связанных друг с другом равных груза массой m = 4 кг каждый. К крайнему грузу с помощью нити, перекинутой через блок А, прикреплен такой же четвертый груз, который висит на конце вертикально спущенной части нити. Найти натяжение нитей, связывающих гру-

зы (рис. 2.2).

2.12.На гладкую горизонтальную плоскость положена однородная палочка с одинаковым поперечным сечением по всей длине. К концам палочки вдоль ее длины приложены силы F1 = 10 Н и F2 = 25 Н, направленные в противоположные стороны. Найти натяжение во время движения палочки в том ее сечении, которое отстоит от точки при-

ложения большей силы на 1/3 всей длины палочки. Как изменится решение задачи, если силы будут направлены навстречу друг другу?

2.13.Два груза с массами m1 = 5,0 кг и m2 = 3,0 кг лежат на горизонтальной гладкой плоскости. Грузы соединены горизонтально расположенным шнуром. К грузам приложены направленные вдоль шнура в противоположные стороны силы F1 = 50 Н и F2 = 30 Н. Найти натяжение шнура. Изменится ли натяжение шнура, если большая сила будет приложена не к телу с большей массой, а к телу с меньшей массой?

2.14.Два тела (массами т1 = 10,0 кг и m2 = 6,0 кг) связаны нитью и лежат на гладком горизонтальном столе так, что нить располагается параллельно плоскости стола. Нить может выдержать нагрузку не более Т = 20 Н. На сколько будут отличаться наименьшие силы, которые нужно приложить, чтобы нить оборвалась, если в одном случае сила прикладывается к телу с массой m1, а в другом к телу с массой m2?

2.15.На горизонтальном гладком столе лежат три груза с массами т1 = 5 кг, m2 = 3 кг и m3 = 1 кг, соединенных одинаковыми тонкими нитями. Каждая нить выдерживает нагрузку не более Т = 80 Н. С какой силой надо потянуть горизонтально груз m3, чтобы одна нить оборвалась? Какая именно нить оборвется?

2.16.Человек массой т = 70 кг находится в лифте. Найти силу, с которой человек давит на пол кабины лифта, когда лифт при подъеме движется замедленно с ускорением а = 20 см/с2 и когда опускается замедленно с таким же ускорением.

2.17.Платформа опускается вниз по вертикали с ускорением а = 4 м/с2, на платформе помещен цилиндр массой т = 10 кг. С какой силой цилиндр давит на платформу во время движения?

2.18.Какой наибольший груз можно поднять равноускоренно в течение времени t = 10 с на высоту h = 10 м при помощи веревки, способной выдержать натяжение

T = 1000 Н?

2.19.Веревка выдерживает груз массой т1 = 90 кг при вертикальном подъеме с некоторым ускорением и груз массой m2 = 110 кг при опускании с таким же ускорением. Какой груз можно поднимать этой веревкой равномерно?

2.20.Ящик с горизонтальными верхним и нижним основаниями поднимается вертикально вверх равнозамедленно. Внутри ящика находится шарик. Найти, при каком ускорении шарик будет давить: а) на нижнее основание ящика с силой, равной половине своего веса; б) на верхнее основание с силой, равной половине своего веса. При каком ускорении шарик не будет давить на основание ящика?

2.21.Парашютист, пролетев расстояние h = 20 м как свободно падающее тело, раскрыл парашют и за время t = 3,0 с уменьшил скорость в 10 раз. Найти натяжение стропов при равнозамедленном движении парашютиста. Масса парашютиста m = 60 кг.

2.22.Два одинаковых груза массой m = 5,0 кг каждый связаны между собой нитью. При помощи другой нити, прикрепленной к одному из грузов, вертикальной силой грузы поднимаются вверх с ускорением а = 4,9 м/с2. Найти натяжение каждой нити (рис. 2.3).

Рис. 2.3 Рис. 2.4 Рис. 2.5.

2.23. Два тела положили на наклонную плоскость (α = 37°). Найти ускорения тел, если коэффициенты трения для них соответственно равны µ1 = 0,2, µ2 = 0,8.

Решение. Записывая II закон Ньютона в проекциях на ось Y, перпендикулярную к наклонной плоскости, находим: N − mg cosα = 0 , тогда сила трения при скольжении

Fтр = µN = µmg cosα . Из II закона Ньютона для оси X (вниз по наклонной плоскости)

находим a = g(sinα − µcosα). Подставив в это выражение значение µ = µ2, обнаружи-

ваем, что получается a < 0. Может ли тело, положенное на наклонную плоскость, иметь ускорение, направленное не вниз, а вверх по плоскости? Очевидно, нет. Наше предположение о том, что тело скользит и сила трения определяется соотношением Fтр = µN ,

в этом случае не оправдывается. По-видимому, тело не движется. В этом случае

µN > Fтр пок > 0 .

Точное значение силы трения можно найти из условий a = 0, mg sinα − Fтр2 = 0 ,

Fтр2 = mg sinα . Тело не скользит, если sin α < µ cos α.

2.24. Груз, имеющий начальную скорость v0, скользит по шероховатой доске, кото-

рая наклонена к земле под углом α. Через какой промежуток времени ∆t скорость груза удвоится, если коэффициент трения груза о доску равен µ?

2.25. На наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол α = 37°, лежат два связанных между собой нитью груза массой по m = 2,0 кг каждый. К одному из грузов (рис. 2.4) прикреплена вторая нить, при помощи которой оба груза силой, параллельной наклонной плоскости, движутся вверх по ней с ускорением а = 2,45 м/с2. Коэффициент

трения между поверхностями грузов и наклонной плоскостью µ = 0,15. Найти натяжение нитей.

2.26. На верхнем краю гладкой наклонной плоскости укреплен легкий блок, через который перекинута нить (рис. 2.5). На одном ее конце привязан груз с массой т1 = 0,2 кг, лежащий на наклонной плоскости. На другом конце висит груз с массой m2 = 1,0 кг. С каким ускорением а движутся грузы и каково натяжение Т нити? Наклонная плоскость образует с горизонтом угол α = 30°.

Указание. Для висящего груза m2 координатную ось удобно направить вертикально вниз, а для груза т1 используются две оси, направленные вдоль и перпендикулярно наклонной плоскости.

2.27. Трехгранная прямоугольная призма положена своей большой гранью на горизонтальный пол. Через блок, укрепленный в верхнем ребре призмы, перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы массами m1 = 3,0 кг и m2 = 5,0 кг. Грузы лежат на совершенно гладких гранях призмы, наклоненных к горизонту под углами α1 = 60° и α2 = 30°. Найти натяжение нити при движении грузов.

трения между поверхностью бруска и платформой тележки µ = 0,2. К бруску прикладывается горизонтальная сила: один раз F1 = 5 Н и другой раз F2 = 30 H. Найти величину силы трения между бруском и тележкой и ускорения относительно Земли, с которыми брусок и тележка двигаются в обоих случаях (рис. 2.6).

Указание. Во время движения на брусок действует сила трения назад, а на тележку

– такая же сила вперед. При сравнительно небольших значениях внешней силы брусок по тележке не скользит, и сила трения представляет собой силу трения покоя. С ростом приложенной силы сила трения покоя растет, и в момент, когда она достигает значения Fтр = µN1 (N1 – сила нормального давления бруска на тележку), брусок начинает сколь-

зить по тележке.

Интересно построить график зависимостей силы трения и ускорений бруска и тележки от величины приложенной к бруску внешней силы.

2.29. По наклонной плоскости скользит доска массой m2. На доске находится брусок массой т1. Наклонная плоскость составляет угол α с горизонтом. Найти ускорение

бруска а1 и ускорение доски a2, если коэффициент трения бруска о доску µ1 и доски о наклонную плоскость µ2.

Указание. Решить задачу в предположении, что доска скользит по наклонной плоскости, а брусок, кроме того, скользит вниз по доске. Из найденного решения уяснить, что сделанное предположение (a1 > a2 > 0) может иметь место лишь при условии µ2 > µ1

и tgα > µ2 + m1 (µ2 − µ1 ). Если последнее неравенство не выполняется, доска скользить m2

по наклонной плоскости не будет.

Для наглядности интересно построить ход зависимостей Fтр2 (между доской и плоскостью) и Fтр1 (между бруском и доской) от угла α для случаев µ2 > µ1 и µ2 < µ1.

2.30.Наклонная плоскость составляет с горизонтом угол α = 10°. Вверх по ней пускают камень, который в течение t = 3 с проходит расстояние s = 13 м, после чего соскальзывает вниз. Какой промежуток времени τ длится соскальзывание камня вниз? Коэффициент трения считать постоянным.

2.31.Через блок перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы с массами m1 = 1000 г и m2 = 1100 г. Найти силу давления блока на опору во время движения грузов.

2.32.На концах нити, перекинутой через блок, висят две гири разной массы на одинаковой высоте. Спустя время t = 2 с после начала движения гирь под действием сил тяжести расстояние между ними по высоте оказалось h = 0,8 м. Найти массу тяжелой гири m2, если масса более легкой гири m1 = 400 г.

2.33.На наклонной плоскости с углом α = 10° при основании лежит доска массой т1 = 3 кг, которая может скользить вниз без трения. Куда и как должна бежать собака массой m2 = 12 кг по этой доске, чтобы доска оставалась неподвижной?

2.34.Найти натяжение нитей, рассмотренных в задаче 2.22, если для поднятия тех же грузов нить, прикрепленная к верхнему грузу, будет перекинута через блок и к ее свободному концу будет подвешен груз массой 3m = 15 кг. Массу блока в расчет не принимать (рис. 2.7).

2.35.Найти ускорения а1 и а2 масс т1 и m2 и натяжение нити Т в системе, изображенной на рис. 2.8. Массой блоков и нитей пренебречь.

2.36.Через неподвижный блок А перекинута нить, на одном конце которой подвешен груз m3 = 3 кг, а на другом конце – второй блок. Через этот второй блок в свою очередь перекинута нить, на концах которой подвешены грузы m1 = 1 кг и m2 = 2 кг. Найти, с каким ускорением будет опускаться груз m3, если всю систему трех грузов предоставить самой себе. Массу блоков и нитей не принимать во внимание (рис. 2.9).

2.37.Через блок перекинута нить, к концам которой под вешены грузы с массами m1 = 198 г и m2 = 202 г. Найти ускорение центра масс этих

грузов во время их движения.

ноускоренно с ускорением а (рис. 2.10).

2.39. К потолку железнодорожного вагона подвешен на легкой нити груз массой m = 0,5кг. Найти угол α, который будет образовывать направление нити с вертикалью и натяжение нити, если вагон скатывается с ускорением a = 1 м/с2 по уклону, образующему угол θ = 8° с горизонтом.

3. Работа. Законы сохранения импульса и энергии

При решении последующих задач необходимо помнить, что импульс – векторная величина, поэтому все соответствующие выкладки следует записывать в проекциях на координатные оси. Находя изменение импульса (например, ∆px = px 2 − px1 ), следует всегда объяснять причину этого изменения (импульс какой силы вызвал найденное из-

менение импульса). Находя изменение энергии ∆W =W2 −W1 , следует указывать, за счет какого источника она возросла, если ∆W > 0, или куда она перешла, если ∆W < 0.

3.1. Шарик массой m = 100 г свободно падает на пол с высоты h = l,0 м. Найти из-

менение импульса ∆p шарика, если: а) удар абсолютно упругий (шарик отскакивает на прежнюю высоту); б) удар абсолютно неупругий (шарик не отскакивает от пола). Сопротивлением воздуха пренебречь. Найти среднюю силу F, действующую на шарик во время упругого удара, если продолжительность удара τ = 0,001 с.

3.2. Снаряд массой m = 25 кг разорвался на две неравные части в тот момент, когда его скорость v была равна 100 м/с. После взрыва скорость части с массой m1 = 15 кг возросла до v1 = 180 м/с (в направлении первоначального движения снаряда). Найти,

пренебрегая массой образовавшихся при взрыве газов, скорость v2 меньшей части снаряда после взрыва.

Указание. Во время взрыва на осколки снаряда действуют очень большие внутренние силы. Внешние силы (силы тяжести, трение о воздух) оказывают значительно меньшее действие. Поэтому изменение импульса каждого осколка определяется в основном импульсом внутренних сил. Поскольку осколков всего два, эти силы равны и противоположны, значит изменение импульса второго осколка приблизительно равно по величине и противоположно по направлению изменению импульса первого осколка, т. е. в такой системе изменение полного импульса приблизительно можно считать равным нулю.

3.3.Найти среднюю силу, действовавшую на каждый из двух осколков снаряда во время взрыва (см. предыдущую задачу), приняв, что взрыв происходил в течение времени τ = 0,1 с. Каков прирост кинетической энергии системы?

3.4.Снаряд, летевший горизонтально со скоростью v = 100 м/с на высоте h = 80 м, разорвался на две одинаковые части. Через время τ = 0,5 с после взрыва одна часть сна-