МЭИ(ТУ) Физика

По горизонтальному столу может катиться без скольжения цилиндр массой m на который намотана нить. Ко второму концу нити, переброшенному через легкий блок, подвешен груз той же массы m (рис. 23). Система предоставлена самой себе. Найти ускорение груза и силу трения между цилиндром и столом.

Задачу решить для полого и сплошного цилиндров.

АНАЛИЗ

Рассматриваемая система состоит из двух тел – груза и цилиндра. Первое, совершает поступательное движение и его ускорение a будет определяться разностью силы тяжести и силы натяжения нити. Второе тело будет участвовать и в поступательном, и во вращательном движениях вокруг центра масс, так как линии действия сил натяжения T и трения fтр не проходят через его центр масс. Невесомость блока позволяет считать силу натяжения вдоль нити постоянной.

Рис. 23

Нерастяжимость нити и отсутствие проскальзывания между цилиндром и нитью позволяет утверждать, что ускорение точки М цилиндра и ускорение груза равны по абсолютному значению, т. е. aM = a. Так как по условию цилиндр катится без скольжения, то ускорение a0 его центра масс, угловое ускорение ε вращательного движения и касательное ускорение а точки М связаны соотношениями

где r – радиус цилиндра.

Ускорение a0 центра масс определяется разностью сил натяжения и трения, а угловое ускорение ε – моментами тех же сил. Сила тяжести цилиндра и сила нормальной реакции стола заведомо уравновешивают друг друга и не рассматриваются.

РЕШЕНИЕ

Коллинеарность сил, действующих на груз, позволяет написать уравнение его движения сразу в скалярном виде:

при этом направление вниз принято за положительное.

Уравнение поступательного движения цилиндра может быть также сразу записано в скалярном виде. Если принять направление силы натяжения за положительное,

При решении задачи принято без оговорок направление трения, показанное на рис. 23. Легко видеть, что изменение направления её на противоположное изменит знак второго слагаемого в равенствах (4) и (5) и поэтому не скажется на выражении для ускорения.

Для того чтобы не повторять решения отдельно для полого и сплошного цилинд-

ров, выразим момент инерции как I = bmr2 , где b =1 для полого цилиндра, b = 12 для

сплошного. Учитывая соотношения (1), (2) и выражение момента инерции, получим систему трех уравнений:

Совместное решение уравнений (6) дает

a = 54+gb ;

= b −1 f тр mg 5 + b .

Для сплошного цилиндра получим

a1 = 118 g , f тр1 = −111 mg ;

для полого цилиндра

Полученные значения сил трения могут показаться странными и их необходимо пояснить. Сила fтр стремится воспрепятствовать скольжению цилиндра относительно стола и будет направлена в сторону, противоположную результирующей скорости точки N в отсутствие трения. Эта скорость будет складываться из скорости поступательного движения и вращательного, обусловленного моментом силы натяжения нити относительно центра масс цилиндра; так как цилиндр не имеет начальной скорости, то направление результирующей скорости любой его точки будет совпадать с направлением ее результирующего касательного ускорения. Касательное ускорение точки N без трения равно

где a0 – ускорение центра масс, εr – касательное ускорение точек обода, обусловленное вращением цилиндра. Уравнения движения цилиндра в отсутствие силы трения примут вид;

ma0 = T ,

Iε =Tr .

Заменяя опять I через bmr2 и исключая силу натяжения при решении этих уравнений, получим

Подставив выражение (8) в равенство (7), найдем

aN = −a0 ,

т. е. касательное ускорение, а значит и скорость точки N, в отсутствие трения направлены «налево», следовательно, сила трения, препятствующая скольжению цилиндра относительно стола, направлена «направо», т. е. так же, как и сила натяжения. Этим и

объясняется знак «минус» в полученном выражении для fтр1. Для полого цилиндра

(b = 1)

aN = 0 ,

т. е. касательное ускорение, а значит, и скорость точки N равны нулю и в отсутствие силы трения. Это значит, что в условиях данной задачи цилиндр будет катиться без скольжения и по идеально гладкому столу.

Задача 9

На скамье Жуковского сидит человек и держит на вытянутых руках гири по 10 кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси вращения скамьи l1 = 75 см. Скамья вращается, делая n1 =1 об/с. Как изменится скорость вращения скамьи и какую работу произведет человек, если он сожмет руки так, что расстояние от каждой гири до оси уменьшится до l2 = 20 см Момент инерции человека и скамьи (вместе) относительно оси вращения I0 = 2,5 кг·м2.

АНАЛИЗ

При перемещении гирь относительно оси вращения на систему человек-скамья- гири будут действовать внешние силы – силы реакции оси, линия действия которых проходит через ось. Момент этих сил равен нулю. Следовательно, для системы чело- век-гири-скамья будет выполняться закон сохранения момента импульса. Так как момент инерции гирь, а следовательно, всей системы будет уменьшаться, скорость вращения скамьи будет возрастать, возрастет и кинетическая энергия системы. Увеличение кинетической энергии происходит за счет работы человека12.

Момент силы тяжести относительно оси скамьи (ось вертикальна) равен нулю; работы сила тяжести не совершает (гири не смещаются по высоте).

РЕШЕНИЕ

До перемещения гирь момент импульса системы

L1 = (I 0 +2ml12 )ω1 ;

после перемещения

L2 = (I 0 +2ml22 )ω2 .

Но L1 = L2, следовательно,

(I 0 +2ml12 ) 2πn1 = (I 0 +2ml22 ) 2πn2 ,

откуда

12 Анализ движения груза и характер внутренних сил дать невозможно, так как этот материал выходит за рамки курса.

Работа человека равна приросту кинетической энергии системы:

A = E к2 − E к1 .

Так как начальная кинетическая энергия системы

конечная кинетическая энергия системы

то

A = 2π 2 [(I 0 +2ml22 )n22 −(I 0 +2ml12 )n12 ]= 870 Дж .

Задача 10

Тяжелая узкая доска длиной l = 50 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси О, проходящей через один из ее концов. В другой конец попадает пуля массой m = 10 г, летящая с горизонтальной скоростью v = 400 м/с, перпендикулярной оси вращения (рис. 24). Пуля застревает в доске, масса которой M = 60 кг. Найти угловую скорость доски сразу после попадания нули. На каком расстоянии от оси вращения должна попасть пуля, чтобы горизонтальная составляющая силы реакции оси в момент удара равнялась нулю?

АНАЛИЗ

В момент удара на доску будет действовать сила реакции оси, представляющая собой внешнюю силу, момент которой относительно оси вращения будет равен нулю, так как линия ее действия проходит через ось. Момент силы тяжести относительно этой же оси при взаимодействии можно считать равным нулю. Это утверждение справедливо в том случае, если процесс торможения пули протекает за столь малый промежуток

времени ∆t, что доска за это время не успевает заметным образом отклониться от вертикального положения. Таким образом, для системы пуля-доска справедлив закон сохранения момента импульса относи-

Рис. 24

Очевидно, что и величина, и направление этой силы реакции будут зависеть при прочих равных условиях от расстояния x от оси вращения до точки попадания пулиНайдем. при каким значении расстояния х сила боковой реакции оси обратится в нуль, а следовательно, импульс системы доска-пуля будет неизменным, т. е. p1 = p2. Если пуля попадает в доску, в точку, расположенную на расстоянии x от оси, то угловая скорость доски на основании уравнения (1)

Импульс системы до попадания пули в доску равен

p1 = mv ;

импульс системы после попадания пули с учетом, что vC =ω 2l , равен

Приравняем правые части последних выражений в силу закона сохранения импульса:

Если учесть, что m << M, то приближенно получим

x = 23 l .

Очевидно, что при x > 23 l

∆p = p2 − p1 > 0 ,

т. е. боковая составляющая силы реакции оси направлена по движению пули.

Задача 11

На скамье Жуковского стоит человек и держит в руке велосипедное колесо, вращающееся вокруг своей оси с угловой скоростью ω0 = 15 с-1. Ось колеса расположена вертикально и совпадает с осью скамьи Жуковского. С какой скоростью ω начнет вращаться скамья, если повернуть колесо вокруг горизонтальной оси на 180°? Момент инерции человека и скамьи I = 3 кг·м2, момент инерции колеса относительно своей оси

I0 = 0,5 кг·м2.

АНАЛИЗ

При повороте оси колеса вокруг горизонтальной оси скорость вращения колеса вокруг своей оси по абсолютной величине не изменится, но момент импульса изменит свой знак на обратный. Возникающие при этом повороте силы для системы скамья Жуковского (с человеком)-колесо будут внутренними силами, поэтому момент импульса системы в целом не изменится (моменты силы тяжести и силы реакции оси равны нулю).

РЕШЕНИЕ

Момент импульса системы до поворота колеса равен только моменту импульса колеса, т. е.

L1 = I 0ω0 .

Считаем первоначальное направление вращения колеса положительным. После поворота момент импульса системы будет складываться из моментов импульса колеса и скамья с человеком:

L2 = −I 0ω0 + Iω .

Согласно закону сохранения момента импульса

L1 = L2 ,

следовательно,

I 0ω0 = −I 0ω0 + Iω ;

отсюда

ω = 2IJ0ω0 = 5 с-1 .

Скамья будет вращаться в ту сторону, в которую вращалось колесо до поворота. После решения этой задачи следует обсудить случай поворота оси колеса на угол

ϕ= π2 .

Врезультате такого поворота проекция момента импульса колеса на вертикальную ось станет равной нулю. Следовательно, возникший момент импульса скамьи и человека будет равен начальному моменту импульса колеса.

Задача 12

По гладкой горизонтальной поверхности скользят две одинаковые «гантельки», расположенные, как показано на рис. 25. Скорости их соответственно равны v1 и v2.

Каждая из гантелек представляет собой невесомый жесткий стержень длиной l, на концах которого укреплены одинаковые точечные массы. Определить характер движения каждой из гантелек после удара. Удар считать абсолютно упругим.

Рис. 25

АНАЛИЗ

Так как гантельки скользят по гладкой горизонтальной плоскости, рассматриваемая система тел замкнута (силы тяжести уравновешены силами нормальной реакции). Удар абсолютно упругий, следовательно, система будет подчиняться и закону сохранения импульса, и закону сохранения энергии. Однако линия силы взаимодействия, действующей на первую гантель, не проходит через ее центр масс, и поэтому первая гантель будет после удара совершать и поступательное движение, и вращательное – вокруг своего центра масс. Моменты внешних сил также равны нулю, следовательно, к данной системе применим не только закон сохранения импульса, но и закон сохранения моментов импульса относительно любой точки. Так как удар абсолютно упругий, то соударяющиеся тела являются идеально гладкими, поэтому векторы скоростей u1 и u2 поступательного движения гантелек и после удара должны быть параллельны (или антипараллельны) оси x, проведенной по направлению начальных скоростей.

Запишем закон сохранения импульса сразу в скалярном виде:

2mv1 +2mv2 = 2mu1 +2mu2 . (1)

Закон сохранения момента импульса напишем относительно точки С. До удара мо-