МЭИ(ТУ) Физика

ряда упала на землю под тем местом, где произошел взрыв. Какова скорость v2 второй части снаряда? Под каким углом β к горизонту она направлена?

3.5. Две платформы свободно движутся навстречу друг другу по двум парам параллельных рельсов. Когда платформы находятся друг против друга, с каждой из них на встречную перебрасываются грузы массой m = 100 кг каждый. После этой переброски первая платформа останавливается, вторая же продолжает двигаться в прежнем на-

правлении со скоростью v2′ = 4,25 мс. Каковы скорости платформ v1 и v2 до обмена грузами? Массы платформ с грузами: m1 = l,0 т и m2 = 2,0 т.

3.6.Платформа массой m = 140 кг стоит неподвижно па гладкой горизонтальной поверхности. Находящийся на краю платформы человек массой m1 = 60 кг переходит на противоположный ее край. Какова длина l платформы, если она при этом сдвинулась на расстояние s = 1,2 м?

3.7.Два человека одинаковой массы (m = 55 кг) стоят на платформе длиной l = 2 м, массой m1 = 10 кг и перебрасывают друг другу мяч. Платформа может скользить без трения по горизонтальной плоскости. Найти скорость движения платформы v1 и вели-

чину перемещения платформы s за время полета мяча. Масса мяча m2 = 1 кг, его бросают горизонтально вдоль платформы с одинаковой (относительно Земли) скоростью v2 = 6 м/с.

3.8. Гимнаст массой m = 50 кг, имея при себе груз массой m1 = 5 кг, прыгает под углом α = 50° к горизонту со скоростью v = 6 м/с. В тот момент, когда им достигнута наибольшая высота, он бросает груз со скоростью v' = 2 м/с (относительно себя) назад.

На сколько увеличится дальность прыжка гимнаста вследствие того, что им был брошен груз? (Под скоростью v' следует понимать скорость груза относительно гимнаста в тот момент, когда груз был уже брошен.)

3.9.Реактивный двигатель Циолковского выбрасывает продукты сгорания порциями, масса которых m = 0,2 кг и скорость при вылете из сопла двигателя u = 1000 м/с (относительно сопла). Какую скорость v будет иметь ракетоплан после вылета третьей порции газа? Масса ракетоплана в начальный момент М = 300 кг и начальная скорость его равна нулю. Сопротивление воздуха движению ракетоплана не учитывать. Притяжением Земли пренебречь.

3.10.Для движения ракеты из нее выбрасывается непрерывная струя газа. Прини-

мая, что выбрасываемый газ имеет неизменную относительно ракеты скорость и = 320 м/с, найти, спустя какое время после пуска ракеты последняя будет обладать

скоростью v = 160 м/с. Масса ракеты вместе с начальным зарядом (газом) равна

т = 0,30 кг. Каждую секунду из ракеты выбрасывается масса µ = 0,10 кг/с газа. Сопротивлением воздуха пренебречь. Притяжение Земли не учитывать.

3.11.Какой наибольшей скорости достигнет ракета, описанная в предыдущей задаче, если первоначальная масса ее заряда m' = 150 г?

3.12.Мячик массой m = 0,2 кг ударился о пол со скоростью v = 4 м/с и подпрыгнул после удара на высоту h = 40 см. Как велико изменение импульса и кинетической энергии мячика при ударе о пол?

3.13.В тележку с песком, стоящую на горизонтальных рельсах, одновременно падают два одинаковых шарика с массой m = 100 г, соскользнувшие с высоты h = 4,9 м по желобам, наклоненным к горизонту под следующими углами: α = 30° и β = 60°. Какова скорость тележки v после попадания шариков, если масса тележки m1 = 200 г, а трение

вжелобах пренебрежимо мало? (рис. 3.1).

Указание. Обсудить, как и почему изменялась механическая энергия рассматриваемой системы.

Рис. 3.1 Рис. 3.2

3.14. Найти коэффициент трения µ между заторможенными колесами автомобиля и асфальтовым покрытием, если при скорости v = 36 км/ч тормозной путь автомобиля

s= 6 м.

3.15.Брусок массой m, имеющий скорость v, соскальзывает со стола на брусок массой m1, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности. Найти путь s, который пройдет брусок т относительно бруска т1, если коэффициент трения между брусками µ

(рис. 3.2).

3.16.Два одинаковых неупругих шара при движении в одну сторону теряют после соударения 1/5 своей кинетической энергии. Найти отношение v1/v2 скоростей шаров

до соударения. Какова относительная потеря ∆Wк/Wк нач кинетической энергии после соударения шаров в случае, когда они движутся навстречу друг другу с теми же скоростями?

3.17. Груз массой m, прикрепленный к пружине с коэффициентом упругости k, лежит на столе (рис. 3.3). Пружина прикреплена другим концом к стене и в начальном положении не деформирована. На груз налетает со скоро-

стью v брусок такой же массы. Найти максимальное смеще-

ние груза, если соударение бруска и груза абсолютно упру-

гое и коэффициент трения груза о стол равен µ.

Рис. 3.3

3.18. Два человека стоят на абсолютно гладкой плоско-

сти на расстоянии l = 3 м друг от друга. Один из них бросает в горизонтальном направлении груз массой m = 5 кг и при этом скользит в противоположную сторону. Второй подхватывает брошенный первым груз через время t = 0,5 с. Найти работу А, совершенную бросившим груз, если его масса m1 = 60 кг. Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.

Указание. Увеличение механической энергии системы в момент броска произошло за счет внутренней энергии бросавшего человека. Эта потраченная человеком энергия и определяет совершенную им работу.

3.19. Человек массой m = 60 кг прыгает с неподвижной тележки, стоящей на рельсах в направлении рельсов, при этом тележка, масса которой m1 = 30 кг, откатывается в сторону, противоположную прыжку, на расстояние s = 2 м. Зная, что коэффициент трения при движении тележки µ = 0,l, вычислить энергию, затраченную человеком при

поправка к скорости человека. При S = 0 найденное выражение неверно, так как несправедлива оценка, сделанная для средней силы трения покоя.

3.20.Между тележками с массами т и 3m, стоящими на горизонтальных рельсах, находится сжатая пружина. Каков откат второй тележки s2, если первая откатилась на величину s1 после того, как пружина распрямилась? Коэффициенты трения обеих тележек о рельсы одинаковы.

3.21.Для того чтобы не меняя мощности мотора автомобиля можно было регулировать силу его тяги, применяются специальные механизмы перемены скоростей. Найти скорость v, которую может развить благодаря такому приспособлению автомобиль, двигаясь по горизонтальному пути, если по наклоненному к горизонту под углом α = 5° пути он развивает скорость, равную при движении вниз v1 = 45 км/ч и при движении вверх v2 = 27 км/ч. Считать, что сила сопротивления при движении пропорциональна силе нормального давления.

3.22.При выстреле из пружинного пистолета массой т1 выбрасывается шарик массой т. Найти скорость шарика, если уменьшение длины пружины при сжатии равно s и коэффициент упругости пружины k. Предполагается, что пистолет может свободно перемещаться в направлении выстрела.

3.23.На горизонтальном столе расположена закрепленная с одного конца пружина, коэффициент упругости которой равен k = 2 Н/см. К противоположному концу пружины прикреплен груз массой m = 400 г. Груз оттянули горизонтально на расстояние x1 = 2 см и отпустили без толчка. Максимальное сжатие пружины оказалось х2 = 1 см. Каков коэффициент трения µ при скольжении груза по столу?

3.24.Груз копра массой m = 350 кг падает с высоты h = 2 м и ударяет в сваю, вбитую в грунт. Масса сваи т1 = 75 кг. После удара свая погрузилась в грунт на глубину s = 4 см. Считая соударение копра и сваи неупругим, найти среднюю силу сопротивления грунта забивке сваи. Найти, какая доля кинетической энергии груза расходуется при ударе груза о сваю на деформацию этих тел.

3.25.Брусок массой т без трения соскальзывает с высоты h по клину с углом α и массой т1. Найти скорость клина в момент, когда брусок коснется пола при условии, что трение между полом и клином отсутствует (рис. 3.4).

3.26.Пуля ударяется с горизонтальной скоростью v = 400 м/с в шар, подвешенный на нити длиной l = 4 м, застревает в нем. Найти угол α, на который отклонится нить подвеса шара, если масса пули m = 20 г и масса шара т1 = 5 кг. Какая доля кинетической энергии пули расходуется при неупругом ударе на нагревание и деформацию шара? На какой угол α0 отклонится нить, если соударение пули с шаром будет абсолютно упругим?

3.27.Тело массой т вкатывается на горку, которая может скользить по горизонтальной плоскости. Отношение массы горки к массе тела равно т1/т = п. Высота горки H. Какой минимальной линейной скоростью должно обладать тело, чтобы достигнуть вершины горки? Трение между поверхностью тела, горки и плоскостью отсутствует

(рис. 3.5).

3.28.На параллельных нитях одинаковой длины l висят два одинаковых шара так, что они соприкасаются. Один из шаров отклоняют до горизонтального положения и отпускают без толчка. Считая соударение шаров абсолютно неупругим, найти предельную высоту h, на которую поднимаются шары после удара.

3.29.Три одинаковых упругих шара подвешивают на нитях длиной l так, что центры шаров лежат в одной горизонтальной плоскости и шары касаются друг друга (на рис. 3.6 дан вид сверху). Затем один из шаров отводят на угол α

ввертикальной плоскости, проходящей через центр этого шара

3.30.С какой начальной скоростью было брошено тело массой т = 50 г под углом к горизонту с высоты h = 20 м над поверхностью Земли, если оно упало на Землю со скоростью v = 24 м/с? Работа силы сопротивления воздуха А = –3,5 Дж.

3.31.Камень с массой m = 400 г брошен с горизонтальной поверхности под углом к горизонту и упал на нее обратно на расстоянии s = 10 м через время τ = 2 с. Найти работу, совершенную при бросании. Сопротивлением воздуха пренебречь.

3.32.Цепь длиной l = 2,0 м лежит на гладком столе, наполовину свешиваясь с его края. Найти скорость цепи в тот момент, когда она, соскользнув со стола, целиком займет вертикальное положение. Трением пренебречь.

3.33.Капля с начальной массой т падает под действием силы тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесекундно массу, равную m0. Какова работа А силы тяжести за время от начала движения до полного испарения капли? Сопротивлением воздуха пренебречь.

4. Динамика движения материальной точки по окружности

Применяя второй закон Ньютона к телу, движущемуся по окружности радиуса R, удобно в качестве одной из координатных осей выбрать ось, направленную к центру, так как именно в эту сторону направлено нормальное (центростремительное) ускорение

тела: an = v2 ; v – скорость тела в данной точке.

R

4.1.Небольшой груз подвешен на нити длиной l, равной 120 см; нить отклоняют от вертикали и сообщают грузу некоторую скорость в горизонтальном направлении, благодаря чему он движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости. Найти период вращения груза вокруг вертикальной оси, если нить составляет угол

α= 20° с вертикалью.

4.2.С какой начальной горизонтальной скоростью должен вылететь снаряд из орудия, чтобы он облетел Землю параллельно ее поверхности (первая космическая скорость) при отсутствии трения о воздух? R3 – радиус Земли, принять его равным

6370 км.

4.3.Люстра массой m = 100 кг висит на цепи. На какой наибольший угол можно отклонить люстру от вертикального положения, чтобы при последующих ее качаниях цепь не оборвалась, если цепь выдерживает напряжение F = 1960 Н?

4.4.Груз массой т подвешен на нити длиной l и колеблется, совершая размахи на угол α в ту и другую стороны. а) Найти натяжение нити в крайних положениях и в среднем. б) При размахе на какой угол α1 натяжение нити в среднем положении вдвое больше силы тяжести груза? в) При каком угле α2 полное ускорение груза в крайнем положении |а2| равно полному ускорению в среднем положении |a0|?

4.5.На нити длиной l = 1 м висит груз массой т равной 2 кг. Грузу сообщают горизонтальную скорость v = 5 м/с. Каково натяжение нити в тот момент, когда она займет горизонтальное положение?

4.6.Грузик привязан к нити, другой конец которой прикреплен к потолку. Вследствие толчка грузик движется по окружности, плоскость которой отстоит от потолка на расстоянии h = 98 см. Какова угловая скорость грузика?

4.7.На какой угол должно быть наклонено к горизонту полотно железной дороги на закруглении радиуса кривизны R = 200 м, чтобы вагон, идущий со скоростью

O 2

Рис. 4.1 Рис. 4.2

4.14. Тело соскальзывает с вершины полусферы, поставленной своим основанием на горизонтальную плоскость. Пренебрегая трением, найти: а) на каком расстоянии от плоскости тело оторвется от поверхности сферы; б) радиус кривизны траектории в момент перед падением на горизонтальную плоскость. Радиус полусферы R = 30 см

(рис. 4.2).

5. Динамика вращательного движения твердого тела. Закон сохранения момента импульса

В ряде следующих задач фигурирует весомый блок. Если такой блок вращается с ускорением под действием перекинутой через него нити, силы натяжения этой нити по разные стороны от блока различны по величине. Как этого требует основное уравнение динамики вращательного движения, Iε = ∑M = (T1 −T2 )r . Здесь I, ε и r – момент инер-

ции, угловое ускорение и радиус блока. Моменты сил натяжения Т1 и Т2 направлены в разные стороны, поэтому записаны с разными знаками. В написанном равенстве положительное направление координатной оси совпадает с направлением момента большей силы натяжения М1 = Т1r.

Кроме рассмотренного уравнения, для решения задач следует записывать также II закон Ньютона для тел, движущихся поступательно, и использовать связь между угловым ускорением блока и линейным ускорением нити, предполагая, что нить по блоку не проскальзывает.

5.1.Тонкая прямоугольная пластинка массой т имеет размеры а и b. Найти момент инерции этой пластинки относительно оси, проходящей через центр масс пластинки: а) параллельно а; б) перпендикулярно плоскости пластинки.

Указание. Пластинку удобно рассматривать как ряд параллельных тонких стерж-

ней.

5.2.Найти момент инерции тонкой сферической оболочки массой т относительно оси, проходящей через ее центр. Радиус оболочки R.

Указание. Разбить сферическую оболочку на ряд тонких колец с общей осью вращения. Интегрирование удобно вести по углу между осью вращения и радиусом оболочки, проведенным к рассматриваемому кольцу.

5.3.Через блок, массу которого m = 0,5 кг можно считать сосредоточенной на ободе, перекинута невесомая нерастяжимая нить, к концам которой подвешены грузы с массами m1 = 0,5 кг и m2 = 0,1 кг. Предоставленные самим себе грузы приходят в движение. Принимая, что нить не скользит по колесу во время движения, найти ускорение грузов и силу давления, оказываемоего системой на ось колеса во время движения грузов.