МЭИ(ТУ) Физика

Указание. При решении следует использовать уравнение для переноса массы из области с большей плотностью в область с меньшей плотностью (уравнение диффузии).

9.9. Поезд метро движется в тоннеле со скоростью v = 60 км/ч. Найти силу трения на каждый квадратный метр крыши поезда. Сила трения возникает вследствие различия скоростей в слоях воздуха в направлении, перпендикулярном плоскости крыши, при отсутствии вихревых движений воздуха. Расстояние от крыши поезда до поверхности тоннеля l = 1 м. Коэффициент внутреннего трения воздуха η = 1,8·10-5 кг/м·с.

Указание. Сила трения вычисляется по закону Ньютона для внутреннего трения. Градиент скорости можно оценить, если считать, что слой воздуха, примыкающий к крыше поезда, движется со скоростью v, а слой примыкающий к потолку тоннеля, име-

ет скорость, равную нулю.

9.10.Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами заполнено водородом при нормальном давлении. Внутренний цилиндр полностью охватывается внешним. Радиусы цилиндров: r1 = 10 см и r2 = 10,5 см. Сколько оборотов в секунду должен делать внешний цилиндр, чтобы момент силы внутреннего трения, действующий на поверхность неподвижного внутреннего цилиндра, равнялся бы М = 3·10-4 Н·м? Длина внутреннего цилиндра l = 30 см. При расчете сил внутреннего трения приближенно можно считать, что скорость слоев газа является линейной функцией расстояния этого слоя от поверхности внутреннего цилиндра. Коэффициент внутреннего трения водоро-

да η = 8,5·10-6 кг/м·с.

9.11.Быстродвижущаяся горизонтальная трансмиссионная лента увлекает за собой окружающий воздух, создавая в параллельных слоях его различные скорости с градиентом по вертикальному направлению, равным 600 с-1. Под действием сил внутреннего трения подвешенная над лентой горизонтальная пластинка с поверхностью S = 4 см2 отклоняется в сторону движения ленты так, что нити, на которых она висит, отклоняются на угол α = 1° от вертикали. Найти массу пластинки. Коэффициент внутреннего трения воздуха принять равным η = 2·10-5 кг/м·с; движением воздуха над пластинкой пренебречь.

9.12.Две плиты (одна железная толщиной d1 = 5 см и другая медная толщиной d2 = 10 см) положены друг на друга. Найти температуру в месте соприкосновения плит, если поддерживаются постоянными температуры наружных поверхностей: железной плиты t1 = 100°С, а медной t2 = 20°С. Коэффициенты теплопроводности железа и меди соответственно равны χ1 = 58,6 и χ2 = 385 Дж/К·с·м.

9.13. Коэффициент диффузии водорода (Н2) при нормальных условиях равен D = 1,31·10-5 м2/с. Чему равен при этих условиях коэффициент внутреннего трения водорода?

9.14.Коэффициент внутреннего трения кислорода (О2) при нормальных условиях

η= 1,87·10-5 кг/м·с. Найти среднюю длину свободного пробега молекул кислорода при этих условиях.

9.15.Принимая коэффициент теплопроводности азота (N2) при t = 0°С равным χ = 0,13 Вт/м·К, найти эффективный диаметр его молекул.

9.16. При температуре t1 = 0°С коэффициент внутреннего трения водорода η1 = 8,5·10-6 кг/м·с. До какой температуры надо нагреть газ, чтобы его коэффициент внутреннего трения стал η2 = 19,2·10-6 кг/с·м?

9.17.Найти предельное значение давления, ниже которого теплопроводность газа, заключенного между стенками дьюаровского сосуда, начинает зависеть от давления. Расстояние между стенками l = 5 мм. Эффективный диаметр молекул газа d = 3·10-8 см, температура газа t = 20°С.

9.18.Сколько жидкого воздуха испаряется за время τ = 1 ч из дьюаровского сосуда при плохо откачанном пространстве между его стенками? Давление оставшегося воз-

духа в этом пространстве при комнатной температуре t = 20°С равно p0 = 2·10-3 мм рт. ст. Объем откачанного пространства V = 600 см3. При расчетах считать, что молекулы воздуха, попеременно ударяясь о холодную и теплую стенки, пробегают в среднем расстояние l = 1,5 см и после каждого удара имеют энергию, равную средней энергии молекул газа при температуре соответствующей стенки. Удельная теплота испарения жидкого воздуха r = 2,02·105 Дж/кг, температура жидкого воздуха t1 = –180°С, температура наружных стенок t2 = 20°С.

10. Первое начало термодинамики

Все процессы, рассматриваемые в последующих задачах, следует изображать графически. В качестве координатных осей удобнее всего использовать параметры p и V, так как в этом случае работа газа имеет наглядное геометрическое выражение.

Решение каждой задачи следует анализировать с точки зрения первого начала термодинамики, т. е., находя количество тепла, полученного газом, надо определить, на что эта энергия израсходована. Найдя изменение внутренней энергии, следует выяснить, куда она перешла, если ∆U < 0, или за счет какого источника возросла (при ∆U > 0). Найдя работу газа, нужно указать, за счет каких энергетических ресурсов газ совершил работу, и т. д.

10.1.Какое количество тепла следует затратить для того, чтобы массу m = 30 г паров ртути (одноатомный газ, µ = 0,2 кг/моль) нагреть на ∆t = 150°С при постоянном объеме?

10.2.Масса кислорода, занимающая при давлении p = 2 атм объем V1 = 20 л, нагревается при этом давлении так, что объем ее становится равным V2 = 30 л. Какое количество тепла затрачивается на это нагревание?

10.3.Найти отношение теплоемкостей γ = cp/cV для смеси m1 = 10 г аргона (Аr,

µ1 = 0,040 кг/моль) и m2 = 7 г азота (N2, µ2 = 0,028 кг/моль).

10.4.Найти молярную массу и относительную атомную массу газа, удельные теплоемкости которого cp = 1,03 кДж/кг·К и cV = 0,62 кДж/кг·К.

10.5.При некоторой температуре удельная теплоемкость при постоянном давлении паров йода (I2, µ = 0,254 кг/моль) cp = 0,135 кДж/кг·К. Какая часть молекул йода диссоциирована на атомы?

10.7.Воздух нагревается изобарически от T1 = 300 К до T2 = 400 К. Найти работу расширения воздуха, если масса его m = 0,01 кг, молярная масса µ = 0,029 кг/моль.

10.8.В цилиндрическом сосуде, закрытом невесомым поршнем, находится воздух при нормальных условиях. Воздух нагревают на ∆T = 10 К. Найти работу расширения, если внешнее давление p = 760 мм рт. ст., начальный объем V1 = 1,0 м3.

10.9.В цилиндрическом сосуде, закрытом сверху подвижным поршнем, находится азот (m = 2,0 кг, µ = 0,028 кг/моль) при температуре Т1 = 300 К. Газ нагревается до температуры T2 = 500 К. Найти количество тепла, затраченного на нагревание, изменение внутренней энергии и работу расширения.

10.10.Каково изменение внутренней энергии азота, если последний расширяется при постоянном давлении p = 1·105 Паот объема V1 = 10 л до объема V2 = 20 л?

10.11.При изобарическом сжатии некоторого количества кислорода затрачена работа А* = 800 Дж. Какое количество тепла выделилось в окружающую среду при сжатии? Как изменилась внутренняя энергия кислорода?

10.12.Два моля окиси углерода CO расширяются изотермически при температуре T = 300 К так, что объем газа увеличивается в п = 10 раз. Найти количество тепла, необходимое для осуществления этого процесса, и работу расширения.

10.13.Кислород массой m = 0,1 кг помещен в цилиндрический сосуд с площадью основания S = 0,1 м2, закрытый невесомым поршнем. Найти, на какую высоту h поднимается поршень, если при нагревании газу сообщено количество тепла Q = 8,4 кДж.

Как изменится температура газа? Атмосферное давление p = 1·105 Па.

10.14. При изотермическом сжатии водорода (m = 0,01кг) при температуре T = 300 К внешними силами совершена работа A* = 1900 Дж. Найти давление сжатого водорода, если его начальное давление p1 = 1,0 атм.

10.15.В цилиндре под невесомым поршнем находится азот. Для того чтобы увеличить объем газа в n = 5 раз, пришлось затратить работу A* = 100 Дж. Расширение газа происходило при постоянной температуре. Найти начальный объем газа, если наружное давление p0 = 1 атм.

10.16.Начальное давление кислорода, имеющего мас-

10.17. ν молей газа расширяется при постоянной температуре Т от объема V1 до объема V2. Найти работу, совершаемую газом. Расчет произвести по молекулярнокинетической теории.

10.18. Некоторое количество азота (масса m = 1,0 кг, начальное давление p1 = 10 атм, начальная температура T = 293 К) расширяется адиабатически так, что его объем увеличивается в п = 10 раз. Найти работу расширения азота и его параметры в конце процесса.

10.19.Азот, занимающий объем V1 = 2,0·10-3 м3 при давлении p1 = 1,0·106 Па, адиабатически расширился так, что давление его стало равным p2 = 1,0·105 Па. Найти работу расширения газа.

10.20.Кислород, начальный объем и начальное давление которого V1 = 5·10-3 м3 и p1 = 2·105 Па, расширяется до объема V2 = 2V1. Найти работу, совершаемую газом, и изменение внутренней энергии, если расширение происходит: а) изобарически, б) изотермически, в) адиабатически.

10.21.Воздух, масса которого m = 10 кг, расширяется адиабатически, причем температура его меняется от Т1 = 600 К до T2 = 300 К. Найти работу расширения воздуха. Воздух считать двухатомным газом, µ = 0,029 кг/моль.

10.22.Двухатомный газ, находящийся под давлением p1, адиабатически сжимается от объема V1 до объема V2. Найти изменение внутренней энергии газа. Расчет вести по молекулярно-кинетической теории.

10.23.Два теплоизолированных сосуда объемами V1 и V2 соединены трубкой с краном. В первом сосуде находится кислород под давлением p1 при температуре Т1; во втором сосуде – гелий под давлением p2 при температуре T2. Затем кран открывают. Найти давление и температуру смеси газов после установления термодинамического равновесия.

10.24.Начертить примерные графики изохорического, изоба-

10.26. Подсчитать работу, совершаемую одним молем азота при осуществлении процессов, показанных на рис. 10.3, а, б, в, г.

Рис. 10.3

11. Второе начало термодинамики

Все процессы, как и ранее, следует изображать графически в системе координат p, V. При рассмотрении циклического процесса граничные точки этапов удобно обозначать цифрами (например, 1, 2, 3, 4) или буквами (A, В, С, D). Энергетическим величинам, относящимся к каждому этапу, следует приписывать два индекса (ij), например

∆Q12, ∆U34, A23.

ловой машины, работающей по прямому циклу Карно, так и для холодильной машины (обратный цикл Карно). Однако только в случае тепловой машины это выражение определяет наибольший КПД цикла. Здесь |Q1| – тепло, полученное (отданное) от нагревателя (нагревателю), абсолютная температура которого равна Т, |Q2| – тепло, отданное холодильнику (взятое от холодильника) при температуре Tх.

11.1.Какова теоретически максимальная возможная работа паровой машины, если

втопке котла, питающего паром машину, будет сожжено m = 100 кг каменного угля, теплотворной способностью q = 7500 ккал/кг? Температура пара t1 = 190°С, температура холодильника t2 = 10°С. Коэффициент полезного действия топки котла η = 80%.

11.2.Чему равно теоретически наибольшее количество теплоты, которое может быть отнято с помощью холодильной машины от охлажденного ею тела, имеющего температуру tх = –10°С, при затрате работы A* = 100 кДж, если температура воды, которой передается отнимаемая от тела теплота, t = +10°С?

11.3.Найти количество теплоты, передаваемой холодильнику в цикле Карно, совершающемуся между температурами t1 = 200°С и t2 = 10°С, если количество теплоты, взятое у нагревателя, равно Q1 = 400 ккал.

11.4.Тепловая машина, работающая по циклу, рассмотренному в предыдущей задаче, приводит в действие холодильную машину, работающую по обратному циклу Карно, в которой совершается перенос тепла от тела с температурой tх = –20°С к воде, имеющей температуру t = +10°С. Найти, какое количество тепла будет отнято от охлаждаемого тела за один цикл.

11.5.Найти работу моля двухатомного газа, совершающего один цикл Карно, если при изотермическом расширении его объем увеличивается в 2,5 раза, а при последующем адиабатическом расширении он производит работу Aад = 6270 Дж.

11.6.Найти коэффициент полезного действия η цикла Карно, зная, что для каждого моля двухатомного газа, совершающего этот цикл, при его адиабатическом сжатии совершается работа A*ад = 4,2·103 Дж. Температура нагревателя Т1 =600 К.

11.7.На сколько надо изменить давление, чтобы температура плавления льда

уменьшилась на ∆t = 2,5°С? Теплота плавления λ = 3,34·105 Дж/кг; плотность льда

ρл = 917 кг/м3.

11.8. Как изменится температура кипения воды, если атмосферное давление увеличится на ∆p = 670 Па? Удельный объем пара v2 = 1,674 м3/кг, удельная теплота парооб-

разования r = 2260 кДж/кг.

11.9. Двухатомный газ совершает круговой процесс, состоящий из двух изохор и двух изобар. Найти КПД η этого цикла, если предельные значения величины объема газа V1 = 0,1 м3 и V2 = 0,25 м3, а давления p1 =1 атм и p2 = 2,5 атм (рис. 11.1).

Рис. 11.1 Рис. 11.2 Рис. 11.3

Указание. На каждом этапе следует найти ∆Qij. Сумма всех положительных величин ∆Qij даст количество полученного газом тепла Q1, сумма всех отрицательных ∆Qij – количество отданного тепла (тепловые потери Q2). КПД определяется, как обычно:

η = Q1 − Q2 .

Q1

11.10.Применяемый в двигателях внутреннего сгорания цикл состоит из двух изохор и двух адиабат (рис. 11.2). Каков КПД работающего по такому циклу двигателя, в котором горючая смесь сжимается до объема V2 = 2 л, ход поршня h = 40 см и его диаметр D = 15см? Принять, что весь цикл происходит с двухатомными газами (см. указание к задаче 11.9).

11.11.Вычислить работу газа, совершающего круговой процесс, состоящий из двух изотерм и двух изобар. Изотермы соответствуют температурам t1 = 400°С и t2 = 1000°С,

аизобары – давлениям p1 = 1,0 атм и p2 = 6,0 атм. Наименьший объем газа в течение кругового процесса V2 = 7,94 л.

11.12.Найти изменение энтропии массы m = 50 г меди при нагревании от t1 = 27°С до t2 = 372°С. Удельная теплоемкость меди c = 380 Дж/кг·град.

11.13.Смешиваются m1 = 4 кг воды при 90°С и m2 = 6кг воды при 30°С. Найти общее изменение энтропии. Теплоемкость воды с = 4,19·103 Дж/кг·К.

11.14.100 л воды нагреваются от t1 = 10°С до t2 = 100°С и при этой температуре 20% воды обращается в насыщенный пар. Вычислить изменение энтропии. Удельная

теплота парообразования при t2 = 100°С, r = 2260 кДж/кг, теплоемкость воды

с= 4,185·103 Дж/кг·К.

11.15.Найти изменение энтропии при замерзании m = 2 кг ртути. Теплота плавления ртути λ = 11,75 кДж/кг. Температура замерзания t = –38,9°С.

11.16.Воздух массой m = 1 кг, поступивший в цилиндр газового двигателя при температуре t1 = 15°С и давлении p1 = 1 атм, после расширения имеет температуру t2 = 100°С и давление p2 = 0,9 атм. Вычислить изменение энтропии.

11.17.Как надо изменить температуру массы m = 3,0 кг азота, чтобы, не меняя объема газа, уменьшить его энтропию на ∆S = 1·103 Дж/К. Начальная температура азота

t1 = 227°С.

11.18.Воздух, взятый при объеме V1 = 0,887 м3, температуре t1 = 30°С и начальном давлении p1 = 1 атм, сжимается изотермически таким образом, что энтропия уменьшается на ∆S = 687 Дж/град. Каков окончательный объем V2 воздуха?

11.19.Во сколько раз необходимо изотермически увеличить объем 1 моля идеального газа, чтобы его энтропия возросла на ∆S = 1 кал/град?

11.20.1 кг азота сжимается адиабатически. При этом объем азота уменьшается в шесть раз. Затем осуществляется изохорический процесс, в результате которого давление газа увеличивается в 1,5 раза (рис.11.3). Найти изменение энтропии азота после процессов.

11.21.Смешиваются две порции воздуха. Одна порция, масса которой m1 = 3 кг, имеет объем V1 =0,5 м3 и температуру t1 = 27°С; другая порция массой m2 = 5 кг имеет объем V2 = 1 м3 и температуру t2 = 57°С. Предполагая, что при смешении объем смеси равен сумме объемов смешиваемых порций, найти изменение энтропии воздуха при смешении.

12. Реальные газы

Уравнение Ван-дер-Ваальса для массы газа с молярной массой µ

Здесь а, b – постоянные Ван-дер-Ваальса, зависящие от свойств газа. Параметры критического состояния моля газа связаны с постоянными Ван-дер-Ваальса:

V µкр = 3b ; pкр = 271 ba2 ; T кр = 278 bRa .

12.1. Найти давление массы т = 2,2 кг углекислого газа (СО2), занимающего при температуре t = 27°С объем V = 20 л по уравнению Ван-дер-Ваальса (p) и уравнению Клапейрона-Менделеева (p'). Для углекислого газа в уравнении Ван-дер-Ваальса

а= 0,36 Н·м4/моль2 и b = 4,3·10-5 м3/моль.

12.2.Для азота (N2) постоянные уравнения Ван-дер-Ваальса: а = 0,14 Н·м4/моль2 и b = 3,7·10-5 м3/моль. Найти, при какой температуре Т давление азота (m = 1,4 кг), занимающего объем V = 12,5 л, равно p = 1·107 Па; полученный результат сравнить с результатом, который получился в предположении, что азот является идеальным газом.

12.3.Критическая температура и критическое давление углекислого газа (СО2) соответственно равны tкр = 31°С и pкр = 7,4 кПа. Найти критический объем одного моля этого газа.

12.4.Во сколько раз поправка в уравнении Ван-дер-Ваальса на объем молекул

больше эффективного объема молекул азота, если для него эта поправка равна

b= 3,7·10-5 м3/моль? Эффективный диаметр молекул азота d = 3,1·10-8 см.

12.5.Найти постоянные а и b в уравнении Ван-дер-Ваальса для углекислого газа, если его критическое давление pкр = 7,4 МПа, а критическая температура Tкр = 304 К.

12.6.В уравнении Ван-дер-Ваальса для воды постоянная а = 5,6·10-4 Н·м4/моль2. Найти внутреннее давление воды.

12.7.В уравнении Ван-дер-Ваальса для воды постоянная b = 3,0·10-5 м3/моль. Найти критическую плотность воды.

12.8.Найти давление углекислого газа при температуре t = 3°С, если его плотность при этой температуре ρ = 0,55 г/см3. Постоянные уравнения Ван-дер-Ваальса для углекислого газа а = 0,36 Н·м4/моль2, b = 4,3·10-5 м3/моль, µ = 0,044 кг/моль.