МЭИ(ТУ) Физика

При φ = 0 (горизонтальное положение) ε = 3g/2l. При φ = π/2 (вертикальное положение) ε = 0.

Так как угловое ускорение переменно, угловую скорость удобнее находить изэнергетических соображений. Работу совершает только сила тяжести, поэтому полная энергия системы стержень-Земля при переходе из положения 1 в положение 2 не изменяется, т. е. справедливо уравнение (2.9). Так как кинетическая энергия в положении 1 равна нулю,

Изменение потенциальной энергии при переходе системы из положения 1 в положение

2:

∆Wп = −mgh ,

где h = bsinϕ = 6l sinϕ – перемещение центра масс в направлении силы тяжести. Окон-

чательно получим

Заметим, что используемая в ходе решения, но не заданная в условии масса тела в полученных выражениях для искомых величин отсутствует.

Задача 3.4

Горизонтальный диск (масса m1 = 20 кг, радиус R = 1 м) вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, делая n1 = 2 об/мин. На краю диска стоит человек массой m2 = 50 кг. Найти изменение угловой скорости диска при переходе человека в центр диска, пренебрегая моментом инерции человека относительно вертикальной оси, проходящей через его центр масс.

Рис. 14

Диск и человек вращаются вокруг закрепленной вертикальной оси с одинаковой угловой скоростью ω, причем в начальный момент ω1 = 2πn1. Изменение скорости происходит только в результате движения человека по диску (трением в оси нужно пренебречь). Характер изменения сил взаимодействия человека и диска достаточно сложен. Однако, если рассматривать систему человек-диск, то эти силы оказываются внутренними, а значит, не изменяющими ни импульс, ни момент импульса системы. Внешние силы в этой системе: сила реакции оси при движении человека, силы тяжести и сила реакции опоры. Последние две силы скомпенсированы и не создают момента относительно вертикальной оси. Сила реакции оси при движении человека направлена горизонтально перпендикулярно оси. Эта внешняя сила соизмерима с внутренними силами, поэтому импульс системы будет изменяться. Однако сила реакции оси не создает вращающего момента относительно заданной оси, поэтому при переходе системы из положения 1 в положение 2 (рис. 14) момент импульса системы остается постоянным, L1 = L2 или в проекциях на ось вращения L1 = L2.

В положении 1

L1 = (I д +I ч )ω1 ,

причем момент инерции диска

Iд = m12R2 ,

момент инерции человека по теореме Штейнера

I ч = I0 + m2 R2 = m2 R2 ,

так как I0 = 0 по условию. Следовательно,

В положении 2

L2 = m12R2 2πn2 ,

так как Iд не изменяется, а Iч = 0.

Подставив выражения для L1 и L2 в уравнение (3.6), получим

Таким образом, угловая скорость возрастает на величину

ω2 −ω1 = 2π(n2 − n1 )=1,05 с-1 .

Задача 3.5

На гладком горизонтальном столе лежит тонкий однородный стержень длиной l и массой m2, закрепленный на вертикальной оси, проходящей через один из его концов. В противоположный конец стержня ударяется маленький камень массой m1, скользивший по столу в направлении, перпендикулярном стержню, со скоростью v0. В результате удара камень останавливается. Найти угловую скорость стержня после удара.

В движении участвуют два тела, одно из которых до взаимодействия покоилось, а другое двигалось с заданной постоянной скоростью. После взаимодействия скорости тел изменяются: камень останавливается, а стержень вращается вокруг закреплённой оси с некоторой угловой скоростью ω. Причиной изменения движения тел является их взаимодействие – удар. Силы взаимодействия при ударе неизвестны, поэтому нельзя

использовать ни второй закон Ньютона, ни уравнение динамики вращательного движения.

v0

α

m1

Рис. 15

Если рассмотреть систему тел камень-стержень, то силы взаимодействия окажутся внутренними, т. е. не изменяющими ни импульса, ни момента импульса системы. Внешними по отношению к системе будут силы тяжести и нормальной реакции стола, а также горизонтальная сила реакции оси, возникающая при ударе. Сила трения по условию отсутствует. Силы тяжести и нормальной реакции стола для каждого тела скомпенсированы. Но внешняя сила реакции оси соизмерима с внутренними силами, поэтому импульс системы будет изменяться. Однако сила реакции оси не создает момента, так как она приложена к оси вращения; следовательно, момент импульса системы остается постоянным:

L1 = L2 .

До удара двигался только камень, который можно считать материальной точкой; момент импульса камня, а следовательно, и осей системы относительно оси

L1 = [r,m1v0 ], L1 = rm1v0 sinα ,

где r – радиус-вектор, проведенный от оси вращения к камню; α – угол между радиу- сом-вектором и вектором v0. Как видно из рис. 15, r sin α = l. Вектор L1 направлен по оси вращения (ось z), поэтому в проекции на эту ось

L1z = L1 = m1v0l .

После удара движется только стержень. Момент импульса стержня, а следовательно, и всей системы L2 = Iω, где I – момент инерции стержня относительно заданной оси вращения. По теореме Штейнера

Так как момент импульса стержня также направлен по оси z, то

Приравнивая проекции моментов импульса системы в соответствии с уравнением (3.6), получим

m1v0l = m2 l2ω . 3

Отсюда

ω = 3m1v0 . m2 l

Заметим, что в рассмотренной системе тел не выполняется ни закон сохранения энергии, ни закон сохранения импульса. Закон сохранения энергии выполнялся бы в случае, если удар был упругим, закон сохранения импульса – в случае, если бы стержень не имел закрепленной оси.

4. ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЯЗАТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 4.1. На вершине наклонной плоскости (угол наклона к горизонту 37°) укреплен легкий блок, через который перекинута нить с привязанными к ней с двух сторон грузами массой m1 = 0,3 кг и m2 = 0,1 кг. Найти силу натяжения нити и ускорения грузов, если коэффициент трения между грузом m2 и наклонной плоскостью равен 0,2.

Ответ: 1,3 Н; 5,5 м/с2.

Задача 4.2. Автомобиль массой 800 кг движется с постоянной скоростью 10 м/с по выпуклому мосту радиусом кривизны 80 м. Найти силу давления автомобиля на мост в наивысшей точке и в точке, для которой прямая, соединяющая ее с центром кривизны, составляет с вертикалью угол 25°.

Ответ: 6900 Н; 6100 Н.

Задача 4.3. С платформы, движущейся по инерции со скоростью 12 м/с произведён выстрел в направлении движения под углом 30° к горизонту. Масса платформы и орудия 500 кг, масса снаряда 20 кг. Начальная скорость снаряда относительно платформы после выстрела 600 м/с. Найти скорость платформы после выстрела.

Ответ: 8 м/с в противоположную сторону.

Задачи 4.4. Снаряд, летящий горизонтально со скоростью 200 м/с, разорвался на две части, массы которых 30 и 20 кг. Скорость большего осколка после разрыва 800 м/с и направлена под углом 30° к горизонту вверх. Найти модуль и направление скорости меньшего осколка.

Ответ: 795 м/с под углом 48° к горизонту вниз.

Задача 4.5. Мячик брошен с горки со скоростью 10 м/с под некоторым углом вверх. Найти его скорость в точках, находящихся на 2 м выше и на 1 м ниже точки бросания, пренебрегая сопротивлением воздуха.

Ответ: 7,8 м/с; 11 м/с.

Задача 4.6. Грузик массой 20 г, висящий на длинной нити, отвели в сторону так, что нить отклонилась от вертикали на угол 60°, и отпустили. Найти силу натяжения нити и ускорения грузика (нормальное и тангенциальное) для момента, когда нить окажется под углом 30° к вертикали.

Ответ: 0,31 Н; 7,2 м/с2; 4,9 м/с2.

Задача 4.7. Найти скорость и изменение импульса молекулы массы m, летящей со скоростью v, после ее удара о поршень, движущийся навстречу молекуле со скоростью u. Массу поршня считать несоизмеримо большей массы молекулы, а удар абсолютно упругим.

Ответ: v +2u ; 2m(v + u).

Задача 4.8. Конькобежец приобретает скорость 4,95 м/с, а затем по инерции проезжает до остановки путь 62,5 м. Найти коэффициент трения, считая силу трения постоянной.

Ответ: 0,02.

Задача 4.9. Тележка массой 100 кг движется по рельсам со скоростью 1 м/с. Человек массой 60 кг догоняет тележку и вскакивает на нее под углом 30° к направлению ее движения. Скорость человека 3 м/с. Найти изменение суммарной кинетической энергии человека и тележки. Объяснить полученный результат.

Ответ: –116 Дж.

Задача 4.10. Человек, стоящий на коньках, кидает груз массой 2 кг прямо перед собой со скоростью 3 м/с. Масса человека 70 кг. Найти работу, совершенную человеком.

Ответ: 9,26 Дж.

Задача 4.11. Два груза, лежащие на гладком горизонтальном столе на расстоянии 5 см друг от друга, сжимают находящуюся между ними пружину. Массы грузов 3 и 2 кг. Найти скорости, которые получат грузы при распрямлении пружины, если длина несжатой пружины 10 см, коэффициент упругости 30 Н/м, а массой пружины можно пренебречь.

Ответ: 0,1 м/с; 0,15 м/с.

Задача 4.12. Пуля, летящая горизонтально со скоростью 800 м/с, попадает в ящик с песком, висящий на длинном шнуре, и застревает в нем. Масса пули 10 г, масса ящика 5 кг. Найти, на какую высоту поднимается ящик, придя в движение после попадания пули. В какие виды энергии перейдёт кинетическая энергия пули?

Ответ: 13 см.

Задача 4.13. Тело массой 300 г соскальзывает с высоты 2 м по вогнутому желобу, переходящему в горизонтальную .плоскость, и сталкивается с неподвижным телом массой 500 г. Найти скорость обоих тел после столкновения в случаях абсолютно неупругого и абсолютно упругого центральных ударов. Работа сил трения при движении первого тела по желобу 3,2 Дж.

Ответ: 1,58 м/с; 1,05 м/с; 3,15 м/с.

Задача 4.14. Маховик радиусом 20 см вращается, совершая 10 оборотов в секунду, и останавливается через 15 с под действием тормозящей силы 9,8 Н, приложенной по касательной к ободу. Найти момент инерции маховика.

Ответ: 0,47 кг·м2.

Задача 4.15. Груз массой 3 кг находится на плоскости, наклоненной под углом 30° к горизонту, и связан нитью, перекинутой через блок, укрепленный на вершине наклонной плоскости, с другим грузом массой 2 кг. Блок имеет форму диска и массу 1 кг. При движении грузов нить не проскальзывает по блоку. Найти ускорение грузов и силы натяжения нити по обе стороны от блока.

Ответ: 0,89 м/с2; 18 и 17 Н.

Задача 4.16. Маховик радиусом 20 см, имеющий форму диска, закреплен на одной оси со шкивом радиусом 10 см, имеющим вид тонкостенного цилиндра. Масса маховика 1 кг, масса шкива 400 г. На шкив навернута нить, к концу которой привязан груз массой 0,5 кг. Опустившись на 1 м, груз пробрёл скорость 1 м/с. Найти работу сил трения.

Ответ: 3,45 Дж.

Задача 4.17. Однородный стержень длиной 1 м может свободно поворачиваться вокруг горизонтальной оси, проходящей на расстоянии 25 см от его конца. Стержень отводят в горизонтальное положение и отпускают. Найти угловое ускорение стержня в начальный момент и в момент, когда стержень отклонится на 60° от горизонтали. Чему равна линейная скорость обоих концов стержня при прохождении им вертикального положения?

Ответ: 16,8 рад/с2; 8,4 рад/с2; 1,4 м/с, 4,2 м/с.

Задача 4.18. Диск и обруч одинаковых радиусов скатываются без скольжения с наклонной плоскости высотой 1 м. Найти скорость их центра масс в конце скатывания. Найти, какой скоростью обладал бы камень, соскользнувший без трения с той же плоскости.

Ответ: 3,6 м/с; 3,1 м/с; 4,4 м/с.

Задача 4.19. На скамье Жуковского стоит человек, держащий в руках горизонтально расположенный тонкий однородный стержень. Масса стержня 12 кг, длина 1 м. Скамья вращается с угловой скоростью 0,2 с-1. Момент инерции скамьи вместе с человеком относительно оси вращения 1 кг·м2. Человек поворачивает стержень, приводя его в вертикальное положение (при этом центр масс стержня не смещается). Найти угловую скорость скамьи после приведения стержня в вертикальное положение и работу, совершенную человеком.

Ответ: 0,4 с-1; 0,04 Дж.

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО КУРСУ «ФИЗИКА»

1. ЗАКОНЫ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Для идеального газа, находящегося в равновесном состоянии, справедливо уравнение состояния Клапейрона-Менделеева:

где V – объем сосуда, в котором находится газ; р – давление газа; Т – температура (по абсолютной шкале); mµ = z – число молей (т – масса в килограммах, µ – молярная мас-

са в килограммах на моль); R = 8,31 Дж/моль·К – универсальная газовая постоянная. Из уравнения (1.1) следует, что для изопроцессов

Выражения (1.2)-(1.4) справедливы при условии, что процесс протекает так, что любое промежуточное состояние газа является равновесным. Такой процесс называется квазистатическим. Очевидно, любой достаточно медленный процесс можно приближенно считать квазистатическим. Только такие процессы могут изображаться на графиках (обычно в координатах р-V), на которых каждая точка соответствует равновесному состоянию газа.

Если характер протекания процесса неизвестен, но начальное 1 и конечное 2 состояния газа равновесны и характеризуются:

Уравнение состояния для смеси идеальных газов с молярными массами µ1 и µ2, взятых в количестве т1 и т2:

где p = p1 + p2 – сумма парциальных давлений (закон Дальтона); V – объем сосуда, в котором находится смесь газов, следовательно, и объем каждого газа в отдельности.

Анализ и решение задач этого параграфа производится так.

1.Выяснить из условий задачи, находится ли система в равновесном состоянии (признаком равновесного состояния являются одинаковая температура, концентрация и давление в любой части сосуда), либо рассматриваемый газ участвует в каком-либо процессе.

2.В случае равновесного состояния неизвестные параметры найти, используя уравнения (1.1) или (1.6). Если рассматриваемые газы в условии задачи названы, то их молярные массы следует считать известными.

3.В случае процесса выяснить его характер, и, если это один из рассмотренных выше изопроцессов, записать уравнение процесса ((1.2)-(1-4)). Отсюда найти искомые параметры.

4.Если характер процесса не указан, то неизвестные параметры найти, используя уравнение Клапейрона-Менделеева (1.1) для двух состояний газа: начального и конечного. Если какой-либо из параметров состояния газа оказывается одинаковым в начальном и конечных состояниях, то аналогичный расчет можно произвести, используя одно из уравнений (1.5).

5.Если условие задачи содержит ссылку на графическое изображение процесса или состояний в каких-либо координатах (p, V; р, Т и т. п.), то анализ задачи следует начинать с графического изображения.

Задача 1-1

Найти плотность кислорода при давлении р = 0,5·105 Па и температуре T = 320 К. Молярная масса кислорода µ = 32·10-3 кг/моль.

Подставляя уравнение (1.1) в формулу плотности ρ = Vm , получим:

ρ = RTpµ = 0,6 мкг3 .