МЭИ(ТУ) Физика

Задача 1-2

В баллоне емкостью V = 0,01 м3 находится гелий (He) при температуре T1 = 240 К и давлении р1 = 8,0·105 Па. При повышении температуры до T2 = 320 К давление оказалось равным р2 = 8,4·105 Па. Доказать, что при нагревании баллон не оставался герметичным, и найти массу вытекшего газа.

Рассматривается нагревание известного газа (µ = 4·10-3 кг/моль), находящегося в жестком баллоне заданного объема. При условии герметичности баллона масса газа неизменна. Начальное и конечное состояния газа заданы, следовательно, являются равновесными, и согласно (1.5)

Однако из условий задачи p2/p1 = 1,05; T2/T1 = 1,33, т. е. равенство (1) не выполняется. Невыполнение равенства (1) свидетельствует о негерметичности баллона. Так как p2/p1 < T2/T1, некоторое количество газа вытекло из баллона.

Количество вытекшего газа может быть найдено с помощью уравнения Клапейро- на-Менделеева, записанного для двух состояний. Начальное состояние

p1V = mµ RT 1 ,

конечное состояние

в этих уравнениях m – начальная масса, ∆m – масса вытекшего газа. Решая совместно эти два уравнения, найдем

Задача 1-3

Некоторый газ неизменной массы совершает процесс 1-2, изображенный в координатах p, V на рис. 1. Температура газа в состояниях 1 и 2 одинакова. Найти характер изменения температуры в течение всего процесса.

По условию задачи T1 = T2. При одинаковой температуре геометрическим местом точек, соответствующих различным равновесным состояниям идеального газа в заданных координатах, является гипербола (график изотермического процесса). Если про-

вести гиперболу (изотерму) через точки 1 и 2, показанные на рис. 1, то видно, что все точки прямой 1-2 (заданный процесс) лежат выше этой гиперболы, т. е. соответствуют температурам большим, чем T1 = T2. Это становится ясным, если сравнить две точки – на прямой 1-2 и на гиперболе 1-2, лежащие на одной вертикали, т. е. соответствующие одному объему: согласно закону (1.3) большему давлению

(точка на прямой) соответствует и большая температура. Рис. 1 Следовательно, в рассматриваемом процессе температура сначала растет до максимального значения Tmax, а затем убывает до первоначального значения.

Положение точки M, соответствующей максимальной температуре, можно найти, если провести семейство изотерм, одна из которых будет только касаться прямой 1-2. Эта изотерма показана на рис. 1. Таким образом, температура возрастает на участке 1-М и падает на участке М-2.

Задача 1-4

Два сосуда емкостью V1 = 0,02 м3 и V2 = 0,05 м3 соединены короткой и узкой трубкой с краном. В первом сосуде находится водород при давлении р1 = 2·105 Па, во втором сосуде – азот при давлении р2 = 8·105 Па. Найти давление, которое установится в сосудах после открытия крана, считая, что температура газа в сосудах все время равна температуре окружающей среды.

Каждый из рассматриваемых газов, занимавших в начальном состоянии объемы V1 и V2, расширяются до объема V = V1 + V2.

По условию задачи процесс можно считать изотермическим, и согласно (1.4):

где p1' и p2' – давления каждого из газов после расширения.

В результате этого процесса в объеме V = V1 + V2 оказывается смесь газов, причем давления р1 и р2 являются парциальными давлениями газов в смеси. Согласно закону Дальтона давление смеси газов р = р1 + р2 p = p1′ + p2′ .

Анализ и решение задач этого параграфа проводится в такой последовательности:

1.Выяснить из условия, является ли объектом задачи идеальный газ, находящийся

вравновесном состоянии, или рассматривается совокупность молекул, поставленная в какие-либо специфические условия, например, молекулярный пучок и т. п.

2.В случае, если идеальный газ находится в равновесном состоянии, то для него выполняются соотношения (2.1)-(2.5), которые позволяют найти искомые по условию задачи параметры газа.

3.Если рассматриваемые в задаче газы известны, но не указаны их молярные массы и число степеней свободы, то эти значения следует выяснить до решения задачи.

4.Если газ переходит из одного равновесного состояния в другое, следует выяснить характер процесса и записать соотношение между параметрами газового состояния для данного процесса (соотношения (1.2)-(1.5)).

5.Если в задаче описывается газ или совокупность молекул, находящихся в специфических условиях, то следует выяснить, какую механическую модель поведения этой совокупности молекул можно принять при решении данной задачи. Если в условии задачи механические характеристики и свойства заданы, то при решении задачи следует использовать известные законы механики (например, задача 2-5).

Задача 2-1

Смесь азота и гелия при температуре T = 300 К оказывает на стенки сосуда давление р = 1,3·102 Па. Найти общую концентрацию молекул в смеси и среднюю кинетическую энергию (поступательного движения и полную) молекулы каждого из газов.

Рассматривается идеальный газ в равновесном состоянии.

Суммарная концентрация молекул, независимо от природы газа (т. е. от молярных масс и числа степеней свободы), может быть найдена из уравнения (2.1). Отсюда

n = kTp = 3 1022 м-3 .

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы не зависит от количества атомов в молекуле и у молекул обоих газов будет одинакова:

W0п = 23 kT = 6,3 10−21 Дж .

Средняя полная кинетическая энергия молекул (2.4) зависит от числа степеней свободы i, т. е. от числа атомов, составляющих молекулу.

Гелий – одноатомный газ (i = 3) и

Азот – двухатомный газ (i = 5) и

W0 = 25 kT =10,5 10−21 Дж .

Задача 2-2

При давлении р = 1,68·105 Па плотность кислорода ρ = 1,4 кг/м3. Найти среднеквадратичную скорость молекул кислорода и температуру газа.

Рассматривается идеальный газ в равновесном состоянии с заданными плотностью и давлением. Плотность газа

ρ = Vm = mV0 N = m0 n .

Подставляя это выражение в основное уравнение молекулярно-кинетической теории для давления

p = 23 nW0п = 13 m0 nvкв2 ,

получим

p = 13 ρvкв2 .

Температура может быть найдена из выражения (2.3). Учитывая, что молярная масса кислорода µ = 32·10-3 кг/моль, получим

Задача 2-3

Вбаллоне емкостью V = 0,05 м3 находится ν = 0,12 молей газа при давлении

р= 0,6·105 Па. Найти среднеквадратичную скорость, среднюю полную кинетическую

энергию одной молекулы и суммарную кинетическую энергию всех молекул в двух случаях: 1) в баллоне находится гелий; 2) в баллоне находится пропан.

Рассматривается идеальный газ в равновесном состоянии с известными из условий задачи молярной массой и числом степеней свободы: для гелия µ = 4·10-3 кг/моль, i = 3; для пропана µ = 44·10-3 кг/моль, i = 6.

Все величины, которые требуется найти в задаче, однозначно определяются температурой газа.

Вобоих случаях в одном и том же объеме содержится одинаковое число молей

ν= mµ газа, следовательно, при одинаковом давлении в обоих случаях и температура

будет одинаковой и может быть найдена из уравнения Клапейрона-Менделеева (1.1)

T = νpVR = 300 К .

Среднеквадратичная скорость находится непосредственно по формуле (2.3).

Для гелия vкв = 1370 м/с; для пропана vкв = 410 м/с. Средняя полная кинетическая энергия одной молекулы находится непосредственно по формуле (2.4). Для гелия W0 = 6,3·10-21 Дж; для пропана W0 = 12,6·10-21 Дж. Кинетическая энергия всех молекул газа находится непосредственно по формуле (2.5). Для гелия W = 4,5·103 Дж; для про-

дана W = 9,0·103 Дж.

Задача 2-4

Двухатомный газ, занимавший при давлении р1 = 1·105 Па объем V1 = 0,003 м3, расширяется до объема V2 = 0,004 м3. Найти полную кинетическую энергию молекул газа до расширения и ее изменение, если расширение происходит: а) изотермически, б) изобарно.

Рассматривается идеальный газ, участвующий в заданных квазистатических процессах.

Число степеней свободы молекулы двухатомного газа i = 5.

Полная кинетическая энергия всех молекул до расширения газа согласно (2.5) и (1.1):

W1 = 2i p1V1 = 7,5 102 Дж .

Изменение полной кинетической энергии всех молекул при расширении

∆W =W2 −W1 = 2i (p2V2 − p1V1 ).

При изобарном процессе p1 = р2 и

∆W = 2i p1 (V2 −V1 )= 2,5 102 Дж .

При изотермическом процессе согласно (2.5) полная энергия не изменяется, ∆W = 0.

Задача 2-5

На пути молекулярного пучка находится неподвижная стенка, плоскость которой перпендикулярна направлению движения молекул. Все молекулы в пучке движутся параллельно друг другу; одна группа молекул имеет скорость v1, другая группа – скорость v2 = 2v1 Общая концентрация молекул в пучке п, концентрация молекул первой группы

n1 = 3n . (Заданные концентрации, сохраняющиеся неизменными, относятся только к

молекулам, двигающимся к стенке.) Масса каждой молекулы равна т0. Считая удары молекул абсолютно упругими, найти давление, испытываемое стенкой.

Рассматривается молекулярный пучок, в котором все молекулы движутся в одном направлении с заданными скоростями. Уравнение для давления идеального газа, выведенное в предположении хаотического движения всех молекул, здесь заведомо неприменимо.

Так как в условии задана механическая модель движения молекул, то для вычисления давления следует рассчитать среднюю за некоторый промежуток времени ∆t силу, действующую на стенку со стороны всех молекул, которые за это время ударятся о стенку. Эта сила прямо пропорциональна изменению импульса всех молекул, которые ударятся в стенку за время ∆t. Очевидно, что указанный промежуток времени должен быть

достаточно велик, чтобы за это время стенка испытала большое число ударов (давление газа определяется средней силой ударов многих молекул).

Рассчитаем давление, испытываемое стенкой со стороны молекул первой группы (скорость v1, концентрация п1).

Средняя сила f, испытываемая стенкой за выбранный промежуток времени ∆t, равна по третьему закону Ньютона средней силе f', испытываемой всеми молекулами, ударившимися за то же время о стенку, и направлена в противоположную сторону: f' = – f.

Очевидно, что произведение средней силы, действующей на молекулы за время ∆t, равно изменению импульса всех этих молекул:

f'∆t = ∆p1N1 или f∆t = −∆p1N1 .

Здесь ∆р1 = m0u1 – m0v1 – изменение импульса одной молекулы первой группы в результате удара о стенку; u1 – скорость молекулы после удара; N1 – число молекул первой группы, ударившихся от стенку за время ∆t.

Так как удар абсолютно упругий, u1 = –v1. В проекциях на ось х (рис. 2):

За время ∆t о стенку ударятся все молекулы первой группы, которые находятся от стенки на расстояниях, не превышающих ∆x = v1∆t. Число таких молекул

где S – поперечное сечение пучка.

Так как сила, действующая на стенку, направлена по оси х, fx = f. Тогда с учетом выражений (1) и (2) получим

f∆t = 2m0 n1v12 S ∆t .

Отсюда давление, обусловленное ударами о стенку молекул первой группы,

p1 = Sf = 2m0 n1v12 .

Произведя аналогичный расчет для молекул второй группы (концентрация n2, скорость v2), получим

p2 = 2m0 n2 v22 .

Результирующее давление, испытываемое стенкой:

p = p1 + p2 = 2m0 (n1v12 + n2 v22 ).

Учитывая, что n1 = 3n , n2 = n − n1 = 23n , v2 = 2v1, найдем p = 2m0 n 3v12 .

Последнее выражение можно также получить, предположив, что все молекулы движутся с одинаковой скоростью, равной среднеквадратичной скорости. По определению

и расчет приводит к выражению для давления

p= 2m0 nvкв2 = 2m0 n 3v12 .

3.РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЕКУЛ ПО СКОРОСТЯМ

Молекулярно-кинетическая теория газов устанавливает, что молекулы находятся в состоянии непрерывного хаотического движения и обладают различными по величине скоростями. Так как движение молекул подчиняется лишь законам статистики, то даже вопрос о том, какое число молекул обладает строго определенной скоростью, оказывается неправомерным. Законы статистики позволяют найти лишь число молекул, скорости которых (по абсолютной величине) лежат в интервале от v до v + ∆v.

По Максвеллу относительное число молекул dNN или доля молекул (от общего числа N), скорости которых находятся в заданном интервале dv, может быть выражено

так: dNN = f (v,T )dv , где f(v, T) – функция Максвелла, зависящая от скорости молекул и температуры. Аналитическое выражение функции Максвелла

График распределения молекул ,по скоростям показан на рис. 3, где по оси абсцисс

отношение доли молекул, скорости которых лежат в данном интервале, к величине этого интервала.

Площадь, заштрихованная на рис. 3 (ограниченная кривой Максвелла, осью абсцисс и ординатами f(v1, T) и f(v2, T)), численно равна относительному числу молекул

∆N/N, скорости которых лежат в интервале от v1 до v2. Очевидно, что

Если интервал скоростей ∆v = v2 – v1 взять настолько малым, что в его пределах функ-

цию Максвелла можно считать приближенно постоянной, то

При расчете по этой формуле значение функции f(v, T) берется для скорости, принад-

лежащей указанному интервалу.

Рис. 3

Скорость, соответствующая максимуму функции f(v, T), называется наиболее веро-

Анализ и решение задач проводятся в такой последовательности:

1. Выяснить из условия задачи, можно ли считать рассматриваемый газ идеальным газом в равновесном состоянии, для которого справедливо распределение Максвелла и, следовательно, выражения (3.1)-(3.5).