МЭИ(ТУ) Физика

6.11.Ареометр (прибор для определения плотности жидкости) массой m = 50 г, имеющий в верхней части цилиндрическую трубку диаметром d = 1,0 см, плавает в воде. Ареометр погружают в воду несколько ниже положения его равновесия и предоставляют самому себе. Не принимая во внимание движения воды и трения ареометра о воду, найти частоту вертикальных колебаний ареометра.

6.12.Предположим, что по одному из диаметров Земли просверлен канал. Принимая Землю за однородный шар плотностью D = 5,5·103 кг/м3, найти время τ движения

тела от поверхности Земли до ее центра (гравитационная постоянная

γ= 6,67·10-11 м3/кг·с2, радиус Земли R3 = 6370 км).

6.13.Найти период малых колебаний однородного стержня длины l относительно горизонтальной оси, отстоящей на 1/4 его длины от конца стержня.

6.14.Найти период малых колебаний легкого тонкого стержня вокруг оси, проходящей через стержень перпендикулярно его длине, если на концы стержня на расстояниях l1 = 15см и l2 = 30 см от оси прикреплены одинаковые тяжелые шарики ничтожно малого радиуса.

6.15.Физический маятник совершает колебания вокруг горизонтальной оси с периодом Т1 = 0,5 с. Какую массу должен иметь точечный груз, прикрепленный к телу на расстоянии l = 10 см ниже оси, для того чтобы период колебания утяжеленного маятни-

ка стал равным Т2 = 0,6 с? Момент инерции физического маятника (без груза) относительно оси качания I = 1,2·10-4 кг·м2.

6.16.Найти жесткость k пружин рессор вагона, масса т которого равна 50 т, если при скорости v = 12 м/с вагон начинает сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках. Длина рельса l = 12 м. Вагон имеет четыре рессоры.

6.17.Отцепившийся от поезда вагон массой m = 16 т, двигаясь со скоростью v = 3,6 км/ч, наталкивается своими буферами на неподвижный упор и останавливается.

Найти сжатие пружин буферов в момент остановки вагона. Сжатие пружины каждого буфера пропорционально силе и под действием силы F = 75 кН равно s = 1,5 см.

6.18.К свободному концу висящей резиновой трубки длиной L = 108 см подвешен груз. Этот груз поднимают до верхнего закрепленного конца трубки и отпускают без начальной скорости. Найти наибольшее удлинение трубки lmax, если под статическим действием подвешенного груза трубка удлиняется на l0 = 9 см.

6.19.К нижнему концу упругой пружины подвешен груз массой т = 1 кг. Человек держит в руке верхний конец пружины и опускает его равномерно со скоростью

v = 0,7 м/с. Какова будет сила наибольшего натяжения пружины, если человек внезапно задержит движение своей руки? Статическая нагрузка от этого груза вызывает удлинение пружины, равное x0 = 5 см.

6.20.С высоты h = 20 см упал груз на свободный конец упругого стержня, другой конец которого закреплен неподвижно. Каков максимальный прогиб стержня, если тот же груз, положенный на него, вызывает прогиб x0 = 0,5 см?

6.21.Акробат прыгает в сетку с высоты h = 10 м. Найти, во сколько раз наибольшая сила давления акробата на сетку больше его силы тяжести, если под действием тяжести акробата, спокойно лежащего в сетке, она провисает на расстояние h0 = 20 см.

6.22.Горизонтальный тонкий стержень АВ подвешен на двух

6.23.Круглый диск радиусом R подвешен к потолку на трех параллельных нитях длиной l (трифилярный подвес). На диск поставлены два одинаковых цилиндра массой

ткаждый; радиус основания цилиндра r. Основания цилиндров расположены симметрично относительно центра диска так, что их центры находятся па одном диаметре диска на расстоянии радиуса R друг от друга. Масса диска m0. Найти период крутильных колебаний диска с цилиндрами.

6.24.Найти логарифмический декремент затухающих колебаний математического маятника длиной l = 50 см, если за время τ = 8 мин колебаний он теряет 99% своей энергии.

6.25.Логарифмический декремент колебаний маятника θ = 0,02. Найти, во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний после п = 100 полных колебаний маятника.

6.26. Источник гармонических колебаний совершает колебания по закону y = 0,02 sin πt , где у и t измеряются в метрах и секундах. Колебания от источника рас-

пространяются вдоль некоторой прямой со скоростью v = 60 м/с. Найти смещение и скорость точки, находящейся на расстоянии х = 7,5 м от источника колебаний, по прошествии времени t = 0,25 с от начала колебаний источника. Распространяющиеся колебания считать незатухающими.

6.27.С какой скоростью v распространяются волны вдоль прямой, если разность фаз колебаний двух точек, отстоящих друг от друга на расстояние l = 10 см, равна ∆φ = π/4, и частота колебаний v = 3,0 Гц.

6.28.Найти разность фаз ∆φ колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих на расстояние l = 2 м друг от друга, если длина волны λ = 1 м.

6.29.Найти смещение от положения равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстояние l = λ/12 для момента времени t = T/6. Амплитуда колебаний

A = 0,05 м.

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

7. Идеальный газ

В основе решения последующих задач лежит уравнение Менделеева-Клапейрона. Используя это уравнение, следует внимательно следить за размерностями всех входящих в него величин.

7.1.В воде на глубине h = 1 м находится шарообразный пузырек воздуха. На какой глубине H этот пузырек сожмется в шарик вдвое меньшего радиуса? Атмосферное давление p – нормальное.

Указание. Обсудить полученный ответ. Какой высоты столб воды уравновешивает атмосферное давление? Каким должно быть давление на глубине H?

7.2.Шар-зонд, поднимающий в атмосферу некоторый груз, имеет объем V1 = 3 м3, при давлении окружающего воздуха p1 = 1 атм. Каков должен быть объем шара V2 для того, чтобы он при давлении окружающего воздуха p2 = 2/3 атм обладал той же подъемной силой?

7.3.Трубка длиной L = 20 см вертикально опускается в сосуд со спиртом до глуби-

ны h0 = 18 см. Закрыв верхнее отверстие, ее вынимают из спирта. Найти длину hx столба спирта, оставшегося в трубке. Плотность спирта ρ = 0,88 г/см3, давление атмосферы p = 1·105 Па.

Указание. Обсудить полученный ответ. Почему hx практически не отличается от h0?

7.4.Найти объем сосуда V, если при выкачивании воздуха поршневым насосом

давление в нем после n = 5 качаний упало с p = 640 мм рт. ст. до pn = 20 мм рт. ст. Объем поршневого цилиндра V0 = 1600 см3. Температуру считать постоянной.

Указание. Необходимо предположить, что откачка производится достаточно медленно, так что благодаря теплообмену с окружающей средой процесс можно считать изотермическим. После первого хода поршня в сосуде устанавливается давление p1,

7.5.Найти увеличение давления ∆p в камере емкостью V = 20 л после n = 100 качаний насосом, ход поршня которого l = 25 см, а площадь поршня S = 20 см2. Атмосферное давление воздуха Р0 = 760 мм рт. ст. Изменением температуры в процессе нагнетания воздуха пренебречь.

7.6.В запаянной с одного конца длинной стеклянной трубке находится воздух, запертый столбиком ртути длиной L = 10 см. Высота воздушного столба h1 = 13 см. Трубку переворачивают открытым концом вниз, при этом длина воздушного столбика увеличивается до h2 = 17 см. Найти атмосферное давление.

7.7.Найти плотность газа при давлении p = 1,6·105 Па и температуре t = 27°С, если при нормальных условиях его плотность ρ0 = 1,43 кг/м3.

7.8.В сосуде, объем которого V = 60 л, содержится кислород (µ = 32 г/моль) при температуре t = 47°С. На сколько уменьшится давление в сосуде при удалении из него ∆m = 2 кг газа?

7.9.Найти эффективную молярную массу смеси кислорода (О2) и озона (О3), взятых по весу в отношении т1:m2 = 9:1.

7.10.В двигателях внутреннего сгорания жидкое топливо впрыскивается с помощью сжатого воздуха, причем масса топлива составляет k = 0,75 массы воздуха. Найти,

какую долю объема всей впрыскиваемой смеси (воздух V1 и топливо V2) составляет объем топлива V2, если плотность топлива ρ = 8,8·102 кг/м3, а воздух, входящий в смесь, имеет температуру t = 57°С и давление p = 36·105 Па.

7.11.Два шара емкостью V0 = 280 см3 каждый соединены трубкой, сечение которой S = 1 см2 и длина L = 17 см (рис. 7.1). Посередине этой трубки находится капля ртути,

занимающая по длине трубки расстояние l = 1 см. В начальный момент температура обоих шаров t = 15°С. На сколько переместится капля ртути, если левый шар нагреть на ∆t = 1ºС, а правый на ∆t = 1°С охладить?

7.12. Каковы давления внутри шаров (см. предыдущую задачу) до и после изменения температуры, если в каждом из шаров находится масса m = 0,5 г аргона

(µ = 40 г/моль)?

7.13.При какой температуре в объеме V = 1·10-3 м3 воздух весит 1 г, если показание барометра p = 750 мм рт. ст.?

7.14.Найти плотность метана (СН4) при нормальных условиях.

7.23.Принимая весовой состав воздуха: азот 76%, кислород 23%, аргон 1%, найти давление каждого из этих газов в отдельности при общем давлении, равном нормальному.

7.24.В резервуаре емкостью V = 0,012 м3 находился влажный воздух под давлением p1 = 746 мм рт. ст. После внесения в этот резервуар фосфорного ангидрида, поглотившего весь водяной пар, давление снизилось до p2 = 734 мм рт. ст. Найти количество водяного пара, содержащегося в резервуаре. Температура во время опыта t = 0°С.

7.25.Как велико давление на высоте h = 5,043 км над уровнем моря (вершина горы Казбек), если на уровне моря давление p0 =760мм рт. ст., средняя температура t = 7°С? Молярную массу воздуха принять равной µ = 29 г/моль.

7.26.Как велико должно быть расстояние между двумя горизонтальными слоями углекислого газа (CO2), находящегося в равновесии в поле тяготения, чтобы при температуре t = 27°С давление в нижележащем слое превышало на 10% давление в слое, расположенном выше?

7.27. До какой высоты h поднимается воздушный шар, заполненный гелием (µ = 4 г/моль), если масса шара m = 200 кг, его объем V = 300 м3, и если считать, что при подъеме шар не расширяется? Специальным клапаном для выхода газа из шара внутри него во время подъема устанавливается давление, равное внешнему давлению, убывающему по барометрической формуле. Температуру считать равной t = 0°С, а давление воздуха у поверхности Земли равно pатм = 1 атм, молярная масса воздуха

µ= 29 г/моль.

7.28.До какой высоты h может подняться монгольфьер (воздушный шар с отверстием в нижней части, наполненный горячим воздухом), если в нем поддерживается температура t = 200°С, емкость его V = 100 м3, масса m = 30 кг, а плотность воздуха убывает по барометрической формуле? Температуру окружающей среды считать постоянной и равной t1 = 0ºC.

8. Кинетическая теория газов

Решая последующие задачи, кроме выводов кинетической теории, следует четко

–число молекул газа, NA – число Авогадро.

8.1.Сколько молекул содержится в m = 7,26 г углекислого газа (СО2)?

8.2.Сколько частиц находится в 4,2 г кислорода, если 25% его молекул диссоциированы на атомы?

8.3.Найти плотность водорода, если в 10 см3 его содержится 1017 молекул.

8.4.Принимая для воздуха µ = 29·10-3 кг/моль, найти среднюю квадратичную скорость vкв его молекул при температуре t = 0°С.

8.5.Плотность газа при нормальном давлении равна ρ = 0,18 кг/м3. Найти среднюю квадратичную скорость его молекул.

8.6.Вычислить среднюю квадратичную скорость vкв частичек металла, взвешенных в воздухе при температуре t = 27°С, если масса каждой частички m0 = 10-10 г.

8.7.Принимая плотность гуммигута, из которого изготавливаются зернышки для наблюдения броуновского движения, равной ρ = 1,2 г/см3, а их радиус r = 0,37 мкм, определить, чему должна равняться средняя квадратичная скорость vкв зернышек. Темпе-

ратура опыта T = 300 К.

8.8. Для непосредственного определения скорости молекул газа Штерн пользовался прибором, поперечное сечение которого схематически представлено на рис. 8.1. По оси цилиндра A, из которого выкачан воздух, натянута серебряная про-

волочка. Эта проволочка окружена вторым (внутренним) цилиндром В с прорезью в виде узкой щели С, параллельной общей оси цилиндров. При нагревании проволочки до t = 1200°С внутренний цилиндр заполняется атомами испарившегося с проволочки серебра. Благодаря малой ширине щели через нее проходит узкий пучок

атомов, скорости которых имеют направление ОС. При неподвижном приборе атомы этого пучка оседают на поверхности наружного цилиндра, образуя полоску О, параллельную оси О. При вращении всего прибора полоска смещается. Найти скорость ато-

мов vоп по данным опыта и по формуле для средней скорости v . Радиус наружного ци-

линдра R = 10 см, радиус внутреннего цилиндра r = 1 см, число оборотов прибора п = 50 об/с, смещение максимума полоски серебра s = 5,4 мм. Молярная масса серебра

µ= 108 г/моль.

8.9.Какой кинетической энергией поступательного движения обладают все молекулы окиси углерода (СО) (т = 7,0 г) при температуре t = 127°С? При тех же условиях найти кинетическую энергию вращательного движения молекул.

8.10.На сколько изменится энергия поступательного движения молекул смеси газов, удельная газовая постоянная которой B = 227 Дж/кг·К, если температура смеси уменьшится от t1 = 200°С до t2 = 0°С? Масса смеси т = 5,0 г.

8.11.Найти полную кинетическую энергию молекул азота, занимающих при давлении p = 736 мм рт. ст. объем V = 1000 см3.

8.12.Чему равна энергия поступательного движения молекул газа, заключенного в 1 см3 при нормальном давлении?

8.13.Как велико число молекул N какого-либо идеального газа в объеме V = 1 см3 при давлении p = 10-9 мм рт. ст. и температуре t = 27°С?

8.14.Найти среднюю квадратичную vкв, среднюю v и наиболее вероятную vв ско-

рости газовых молекул водорода при температуре t = 47°С.

8.15. Какая доля молекул кислорода обладает скоростями, лежащими между v1 = 790 м/с и v2 = 800 м/с, при температуре t = 23°С?

8.16. Найти число ∆N молекул азота, заключенных при нормальных условиях в объеме V = 1 см3 и обладающих скоростями, лежащими в интервале от v1 = 99 м/с до v2 = 101 м/с.

8.17. Какой процент молекул равновесного газа обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной не более чем на 1%?

9. Длина свободного пробега. Явления переноса

В задачах этого раздела необходимо особое внимание обращать на численное значение полученных результатов, для того чтобы получить конкретное представление о величинах длины свободного пробега, количестве столкновений и других характеристиках газа в различных условиях.

9.1.Средняя длина свободного пробега молекул азота при нормальных условиях λ1 = 8,6·10-6 м. Вычислить среднюю длину свободного пробега их при температуре t = 0°С и давлении p2 = 0,001 мм рт. ст.

9.2.Воздух нагревается в открытой колбе от t1 = 7°С до t2 = 35°С. Найти среднюю длину свободного пробега его молекул λ2 после нагревания, если до нагревания эта длина равнялась λ1 = 9,5·10-6 м.

9.3.В вакуумной технике называют вакуумом такое разрежение газа, при котором средняя длина свободного пробега молекул равна линейным размерам того сосуда, в котором находится этот газ. Какому давлению соответствует такое состояние газа, если размеры сосуда l = 20 см, а эффективный диаметр молекул газа d = 3·10-8 см? Температура t = 0°С.

9.4.Мельчайшие поры в некоторых пористых веществах имеют размеры порядка l = 10-5 см. При каком давлении можно считать, что при температуре t = 0°С в этих порах имеется вакуум? Эффективный диаметр молекул газа d = 3·10-8 см.

9.5.Вычислить среднее время свободного пробега τ молекул кислорода при давле-

нии p = 2 мм рт. ст. и при температуре t = 27°С. Диаметр молекул кислорода

d= 2,9·10-8 см.

9.6.Сколько столкновений испытывает в среднем каждая молекула азота (N2) за одну секунду при нормальных условиях? Диаметр молекул азота d = 3,1·10-8 см.

9.7.Сколько столкновений происходит ежесекундно в объеме V = 1 см3 водорода при нормальных условиях? Диаметр молекул водорода d = 2,3·10-8 см.

9.8.Водяной пар диффундирует из пространства над широким сосудом с теплой водой, где его плотность ρ1 = 25 г/м3, в окружающий его объем воздуха. На расстоянии l = 1 м пар конденсируется на холодном стекле, около которого плотность насыщенного пара ρ2 = 7,5 г/м3. Принимая процесс диффузии пара в воздух установившимся и среднее значение коэффициента диффузии D = 2,4·10-5 м2/с, вычислить, в течение какого времени на поверхности S = 1 дм2 стекла осаждается m = 0,2 мг влаги.