МЭИ(ТУ) Физика

ся абсолютная величина скорости молекулы, но изменится ее направление на обратное. Считая начальное направление движения молекул к стенке за положительное, получим, что изменение импульса одной молекулы в результате удара

(знак «минус» обусловлен выбором положительного направления).

За некоторое время dt о стенку ударится dN молекул. Следовательно, импульс

Промежуток времени dt – произвольный промежуток, в течение которого о стенку ударяется большое число молекул, поэтому относительные отклонения средней силы за разные промежутки dt будут малы. Знак «минус» в выражении (2) объясняется тем, что f – это сила, действующая на стенку, а произведение δP0 dN – изменение импульса молекул.

За время dt до стенки дойдут все молекулы, находящиеся от нее на расстоянии, не

где S – площадь рассматриваемой стенки.

Подставляя выражения (1) и (3) в формулу (2) и сокращая на dt, находим f = 2m0c2 n0S ,

откуда искомое давление

P = 2m0c2 n0 .

Полученный результат показывает, что прямая пропорциональность между давлением и кинетической энергией поступательного движения молекул имеет место всегда, числовой же коэффициент зависит от условий, накладываемых на характер движения молекул: направленный пучок, хаотическое движение молекул и т. д.

Задача 4

На пути молекулярного пучка находится «зеркальная» стенка, движущаяся навстречу молекулам с постоянной скоростью и. Найти давление, испытываемое стенкой, если скорость молекул в пучке с, концентрация молекул n0, масса каждой молекулы m0. Стенка расположена перпендикулярно скорости пучка.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Как и в предыдущей задаче, импульс силы, испытываемый стенкой за некоторое время dt, будет определяться изменением импульса каждой молекулы δP0 и числом ударов dN, т. е.

fdt = −δP0 dN .

Так как стенка движется навстречу молекулам, за время dt до стенки дойдут все те молекулы, которые находятся от нее на расстоянии, не превышающем dx = (c + u)dt . Сле-

довательно,

Рассмотрим теперь изменение импульса одной молекулы в результате удара о стенку. В том случае, если масса стенки несоизмеримо велика по сравнению с массой одной молекулы, каждый отдельный удар не меняет скорости движения стенки, т. е. u = const. В этом случае согласно закону упругого удара скорость молекулы после удара будет равна –(c + 2u), где знак «минус» показывает, что молекула движется от стенки. Скорость молекулы до удара с. Поэтому изменение импульса одной молекулы

Подставляя выражения (2) и (3) в формулу (1) и деля правую и левую части на dt, получим

f = 2n0Sm 0 (c + u)2 ,

откуда давление, испытываемое движущейся стенкой, p = 2n0 m0 (c + u)2 .

Этот результат показывает, что давление молекулярного пучка определяется кинетической энергией относительного движения.

Задача 5

Находящийся между стенками дьюаровского сосуда воздух при температуре t1 = 16°C оказывает давление p = 2,5·10-6 мм рт. ст. Найти давление на стенки сосуда, если его залить жидким воздухом при температуре t2 = –180°C. Температура наружных стенок неизменна. Расстояние между стенками l = 1 см.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

При столь малых давлениях следует считать, что молекулы соударяются только со стенками сосуда16. Поэтому можно предположить, что в пространстве между стенками дьюаровского сосуда имеются как бы два встречных потока молекул. Один поток – молекулы, летящие от холодной стенки со средней скоростью v2 и имеющие среднюю энергию, соответствующую температуре T2, второй поток – молекулы, летящие от более нагретой стенки со средней скоростью v1 и обладающие средней энергией, соответ-

ствующей температуре T1.

Можно считать, что от стенки к стенке сосуда движется (вследствие хаотичности движения молекул) одна треть всех молекул и все молекулы, летящие от стенки с температурой Т, движутся с одинаковой скоростью, равной

Рассчитаем давление, испытываемое холодной стенкой. К этой стенке подлетают молекулы со скоростью v2, отлетают со скоростью –v2. (Знак «минус» объясняется тем,

что за положительное направление выбираем направление к «холодной стенке».) Изменение импульса одной молекулы в результате удара о холодную стенку равно

За некоторый промежуток времени dt каждая молекула ударится о холодную стенку dz раз. Как уже говорилось, от стенки к стенке движется треть всех молекул. Следовательно, за время dt холодная стенка испытывает количество ударов

Величина dz может быть получена из отношения

где τ – время между двумя последовательными ударами одной молекулы об одну и ту же стенку. Очевидно, что

16 Правомерность такого предположения можно проверить только при сравнении длины свободного пробега молекул с размерами сосуда (см. задачу № 16 § 2 гл. II).

Здесь под n0 надо понимать некоторую среднюю концентрацию молекул в сосуде.

Полученный результат симметричен относительно температур, следовательно, такое же давление будет испытывать и более нагретая стенка.

При решении этой задачи необходимо остановиться на механизме изменения скорости молекулы при взаимодействии со стенкой. На поверхности каждой стенки существует слой адсорбированных молекул, средняя кинетическая энергия которых равна средней кинетической энергии молекул вещества стенки, соответствующей ее температуре. Слой этот находится в динамическом равновесии с молекулами газа: молекулы, подлетающие к стенке, «прилипают» к ней, одновременно из слоя вылетают, «испаряются» молекулы (происходит реадсорбция молекул) со средней кинетической энергией, соответствующей температуре стенки. Импульс силы, испытываемый стенкой в результате описанного процесса, такой же, как при отражении молекул от стенки. Если температуры газа и стенки одинаковые, то все явление протекает как при упругом ударе молекул о стенку.

Задача 6

Найти среднюю квадратичную скорость, среднюю кинетическую энергию поступательного движения и полную среднюю кинетическую энергию молекул гелия и азота при температуре t = 27°C.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул любого газа однозначно определяется абсолютной температурой:

Следовательно, средняя кинетическая энергия молекул и гелия, и азота будет одинакова и равна

Wпост = 23 kT = 6,2 10−21 Дж .

Полная средняя энергия молекул зависит не только от температуры, но и от структуры молекул – от числа степеней свободы.

Гелий – одноатомный газ, число степеней свободы i = 3; полная средняя энергия молекулы гелия равна энергии его поступательного движения, т. е.

W =Wпост = 6,2 10−21 Дж .

Азот – двухатомный газ, i = 5; полная энергия одной молекулы

W = 2i kT =10,5 10−21 Дж .

Несмотря на равенство энергий поступательного движения, средние квадратичные

где m0 – масса одной молекулы, будут различными. Если и числитель, и знаменатель подкоренного выражения (2) умножить на NA – число Авогадро, то получим значение

Эта формула удобней для расчетов. Универсальная газовая постоянная в СИ имеет значение R = 8,3 Дж/(моль·К). В результате вычислений находим для гелия

vкв Не =13,6 102 мс ,

для азота

vкв N 2 = 5,18 102 мс .

Задача 7

Рассчитать полную энергию всех молекул кислорода, занимающего при давлении p = 2·105 Н/м2 объем V = 30 л.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Полная энергия всех молекул любого идеального газа может быть найдена как произведение средней энергии на общее число молекул

Подставляя формулу (2) в выражение (1) и учитывая, что

kN A = R ,

получим

Но согласно уравнению Клапейрона-Менделеева

mµ RT = pV ,

следовательно,

W = 2i pV =1,5 104 Дж .

(для кислорода i = 5).

Задача 8

Сосуд, содержащий некоторую массу газа, движется со скоростью и. Насколько увеличится средний квадрат скорости теплового движения молекул при остановке сосуда в случаях: а) одноатомного газа; б) двухатомного газа? Теплоемкость и теплопроводность стенок сосуда пренебрежимо малы.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Изменение среднего квадрата скорости может быть рассчитано по изменению средней кинетической энергии теплового движения.

При сравнении выражения полной средней энергии одной молекулы

Здесь ∆W – изменение средней энергии одной молекулы массой m0 в результате оста-

новки сосуда. Таким образом, задача сводится, по существу, к нахождению изменения ∆W средней энергии.

В движущемся сосуде каждая молекула участвует одновременно в тепловом хаотическом движении со скоростью v и направленном со скоростью и. Скорость и кинетическая энергия результирующего движения любой молекулы соответственно равны

Для нахождения средней кинетической энергии поступательного движения выражение (4) следует просуммировать по всем молекулам и разделить затем на общее число молекул. Вследствие хаотичности теплового движения, т. е. полной равноправности всех направлений для вектора v; слагаемое uv при суммировании по всем молекулам обратится в нуль, и средняя энергия поступательного движения может быть записана

Тогда полную среднюю энергию одной молекулы газа в движущемся сосуде можно представить в виде суммы средней энергии теплового движения (в это понятие теперь включается энергия вращательного и поступательного движений) и энергии направленного движения:

Таким образом, в данном случае хаотичность теплового движения молекул обеспечивает аддитивность кинетической энергии теплового и направленного движений. При остановке сосуда кинетическая энергия направленного движения перейдет в кинетиче-

Подставляя выражение (7) в формулу (2), найдем

∆v2 = 3i u2 .

Для одноатомного газа i = 3, ∆v2 = u2 ; для двухатомного газа i = 5, ∆v2 = 0,6u2 .

То, что изменение среднего квадрата скорости теплового движения для одноатомного газа будет больше, чем для двухатомного, можно было выяснить на основании качественных рассуждений и до решения задачи.

Задача 9

Найти массу воздуха и полную энергию молекул воздуха, заключенного в пространстве между оконными рамами (S = 2 м2, l = 0,25 м) при атмосферном давлении, если температура линейно меняется от t1 = –10°C у наружного стекла до t1 = +10°C у внутреннего.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Для простоты решения задачи рассмат- T1 риваемый объем разбиваем на достаточно тонкие слои толщиной dx, внутри которых газ находится в состоянии термодинамического равновесия. Этим самым предполагается, что внутри каждого такого слоя распределение молекул по скоростям можно принять

максвелловским. Каждый слой характеризу-

Рис. 32

ется своей средней квадратичной скоростью молекул и температурой Т, зависящей от положения слоя (рис. 32).

Так как температура линейно меняется с расстоянием х, то

Концентрация газа также будет являться функцией от х, так как давление, одинако-