МЭИ(ТУ) Физика

только после рассмотрения движения блока.

Блок вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через его центр, следовательно, моменты сил тяжести и реакции оси равны нулю. Предполагая, что нить не скользит относительно блока, можно утверждать, что вращение блока вызывается действием сил натяжения нити.

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения в применении к блоку записываем так:

Iε = M1 + M2 ,

где M1 и M2 – моменты обеих сил натяжения. Считая направление вращения блока по часовой стрелке положительным, т. е. принимая направление по оси вращения «к нам» за положительное, получим

где а – абсолютное значение линейного ускорения грузов. Последнее равенство справедливо в силу того, что нить нерастяжима и, следовательно, линейное ускорение грузов и всех точек нити одинаково и равно вследствие отсутствия проскальзывания нити касательному ускорению крайних точек блока. Из равенства (3) вытекает, что в случае невесомости блока

T2 = T1 11

РЕШЕНИЕ

Для определения закона движения грузов выбираем общую систему координат. Положительное направление оси принимаем вертикально вниз. Тогда уравнения (1) и

(2) запишем следующим образом:

m1a = P1 −T1 ; − m2a = P2 −T2 .

Уравнение (3) с учетом равенства (4) получим в виде

I ar =T1r −T2 r ,

11 Надо помнить, что здесь речь идет только об абсолютных величинах сил натяже-

где момент инерции диска

I = m0r2 . 2

Решая три последних уравнения совместно, находим

Задача 3

С наклонной плоскости скатывается без скольжения однородный диск. Найти ускорение диска и силу трения, если угол наклона плоскости к горизонту α = 36°, масса диска m = 500 г (рис. 20).

Рис. 20

АНАЛИЗ

При качении без скольжения тело перемещается, так как оно поворачивается вокруг оси, проходящей через центр масс. Следовательно, смещение s центра масс

где φ – угловое перемещение диска вокруг центра масс. Дважды дифференцируя это равенство, получим

ния.

где ω и ε – угловые скорость и ускорение вращения тела вокруг оси, проходящей через центр масс.

Равенства (1), (2), (3) представляют собой математическую запись условий качения тела без скольжения (как по наклонной плоскости, так и по любой кривой поверхности).

В рассматриваемой задаче на диск действуют: сила тяжести Р, сила нормальной реакции N и сила трения fтр. Так как скольжения диска относительно плоскости нет, указанная сила трения есть сила трения покоя, которая подчиняется условию

где µ – коэффициент трения между плоскостью и диском, N – сила нормальной реакции плоскости на диск. Ускорение центра масс а может быть найдено из II закона Ньютона

Вращение диска вокруг центра масс обусловливается только силой трения, так как моменты силы тяжести и силы нормальной реакции равны нулю. Следовательно,

РЕШЕНИЕ

Рассматривая проекции всех сил на ось х (направим ось x вниз параллельно наклонной плоскости), получим на основании уравнения (5)

При совместном решении уравнений (7) и (8) с учетом, что момент инерции диска

Из равенств (10) и (4) легко теперь найти условие при котором возможно качение без скольжения:

mg sinα 1+ mrI 2

или

1

1+ mrJ 2

Следовательно, при уменьшении коэффициента трения сила, требуемая для обеспечения качения без скольжения, может оказаться больше, чем максимальная сила трения покоя, тогда тело начнет скользить; такое же явление может иметь место при увеличении угла α.

Задача 4

С наклонной плоскости скатываются без скольжения сплошной цилиндр и тележка, поставленная на легкие колеса. Массы цилиндра и тележки одинаковы. Какое из тел скатится быстрее и во сколько раз?

АНАЛИЗ

Движение центров масс обоих тел равноускоренное без начальной скорости. Следовательно, для обоих тел можно записать

где v – скорость тела в конце наклонной плоскости; l – ее длина. Искомое соотношение времен

t1 = v2 . t2 v1

Рассмотрим катящийся цилиндр. На цилиндр, как уже указываюсь в предыдущей задаче, действуют три силы: сила трения fтр, сила нормального давления N и сила тяжести Р. Первые две силы не совершают работы при качении цилиндра, так как сила трения возникает при отсутствии скольжения, сила нормального давления перпендикулярна перемещению. Следовательно, система цилиндр-Земля консервативна и можно применить к ней закон сохранения энергии:

∆E к + ∆Eп = 0 . (1)

Рассмотрим движение тележки. Аналогичный анализ характера действующих сил позволяет применить закон сохранения энергии и к системе тележка-колеса-Земля. Но по условиям задачи масса колес очень мала, поэтому энергией колес как кинетической, так и потенциальной, можно пренебречь.

Уравнение (1) будет справедливо и в этом случае, с той только разницей, что слагаемое Eк выражает кинетическую энергию только поступательного движения.

РЕШЕНИЕ

Для цилиндра

где h – высота наклонной плоскости, v1 – линейная скорость центра масс цилиндра, ω –

угловая скорость вращения вокруг центра масс в конце наклонной плоскости, I – момент инерции цилиндра. Известно, что

v1 =ωr ,

I = mr2 b ,

где b для тел разной формы принимает различные значения; для сплошного цилиндра b = 12 .

Найдём из этих формул ω и J и подставим в равенство (3), тогда

Подставляя выражения (5) и (6) в уравнение (1), получим, что скорость центра масс тележки

v2 = 2gh .

Искомое соотношение времен

Как видно из ответа, цилиндр скатывается медленнее, чем тележка. Объяснить это можно тем, что движение цилиндра (поступательное) тормозится силой трения покоя. Из равенства (10) задачи 3 следует, что сила трения растет с возрастанием момента инерции скатывающегося тела. Так как по условию задачи масса колес, а следовательно, и их момент инерции практически равны пулю, то сила трения покоя, действующая на колеса тележки, стремится к нулю.

Данная задача может быть решена на основании II закона Ньютона и основного уравнения динамики, при этом искомое соотношение времен будет равно корню из обратного отношения ускорений.

Задача 5

На полый тонкостенный цилиндр намотана нить, свободный конец которого прикреплён к потолку. Цилиндр сматывается с нити под действием собственного веса (рис. 21). Найти ускорение цилиндра и силу натяжения нити, если массой и толщиной

нити можно пренебречь. Начальная длина нити много больше радиуса цилиндра.

АНАЛИЗ

На цилиндр действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити. Так как радиус цилиндра пренебрежимо мал но сравнению с длиной нити, моментом силы тяжести относительно точки С можно также пренебречь, следовательно, во время движения цилиндра нить можно считать строго вертикальной.

Ускорение центра масс будет определяться разностью действующих на цилиндр сил. Под действием момента силы натяжения нити относительно центра масс цилиндр, помимо поступательного движения, будет совершать вращательное вокруг оси, проходящей через этот центр масс.

РЕШЕНИЕ

Запишем II закон Ньютона для цилиндра в скалярной форме, так как обе силы параллельны:

где r – радиус цилиндра, I – его момент инерции.

Рис. 21

Момент силы натяжения можно считать постоянным, так как согласно условию нить тонкая. Учитывая, что

ε= a , I = mr2 , r

совместное решение уравнений (1) и (2) дает

T = P2 , a = g2 .

Задача 6

На полый тонкостенный цилиндр массой m намотана нить (тонкая и невесомая). Свободный конец ее прикреплен к потолку лифта, движущегося вниз с ускорением a0. Цилиндр предоставлен сам себе. Найти ускорение цилиндра относительно лифта и силу натяжения нити (рис. 22). Нить считать вертикальной.

АНАЛИЗ

При опускании цилиндра вниз его движение следует рассматривать как вращение вокруг оси, проходящей через центр масс, и поступательное движение со скоростью центра масс. Как и в предыдущей задаче, движение цилиндра происходит под действием двух сил: силы тяжести Р и силы натяжения Т. Следовательно, II закон Ньютона для цилиндра может быть записан в скалярной форме:

где а – ускорение цилиндра относительно Земли (абсолютное ускорение) связано с относительным ускорением a' соотношением

Рис. 22

Вращательное движение по-прежнему обусловливается силой натяжения нити. Угловое ускорение ε вращательного движения определяется отношением

где a' – ускорение центра масс цилиндра относительно лифта.

РЕШЕНИЕ

Переписав формулу (2) в скалярном виде и подставив это новое выражение в уравнение (1), получим

Запишем основное уравнение динамики с учетом выражения (3):

Подставляя в уравнение (5) выражение для момента инерции полого цилиндра

Исследуя окончательные выражения для силы Т и относительного ускорения a', легко видеть следующее: 1) если лифт будет свободно падать, т. е. a0 = g, натяжение нити и относительное ускорение обратятся в нуль; равенство a' = 0 означает, что цилиндр не будет сматываться с нити; 2) если ускорение лифта будет направлено вверх, т. е a' < 0, то сила Т и ускорение a' будут возрастать с возрастанием переносного ускорения по абсолютной величине. Значит, будет увеличиваться и угловое ускорение вращательного движения цилиндра. Абсолютное ускорение центра масс цилиндра будет уменьшаться.

Задача 7

Телеграфный столб высотой h = 5 м подпиливают у основания. С какой скоростью упадет на землю верхний конец столба? Столб можно считать тонким и однородным.

АНАЛИЗ

Движение столба можно рассматривать как вращательное вокруг горизонтальной оси, проходящей через его основание. Во время движения на столб действует только сила тяжести, следовательно, к системе столб-Земля может быть применен закон сохранения энергии

Решение данной задачи с помощью основного уравнения динамики вращательного движения представляет математические трудности, так как момент силы тяжести, под действием которой происходит движение столба, а следовательно, и угловое ускорение изменяются во времени.

где I – момент инерции столба относительно горизонтальной оси, проходящей через нижний его конец.

Значение I = mh3 2 , рассчитанное на основании теоремы Штейнера, подставим в выражение (3), тогда

Центр масс столба в результате падения опускается на величину h2 , следовательно,

если для этого уравнения учесть выражение (2), то найдем

v = 3gh =12 мс .

Заметим, что в этом случае скорость верхнего конца столба больше, чем скорость тела при свободном падении с той же высоты. Это объясняется тем, что столб при падении деформируется и на каждую его часть, кроме силы тяжести, будут еще действовать силы деформации.

Задача 8