МЭИ(ТУ) Физика

1

T221 = 2

T12

и искомое отношение числа ударов

Число ударов, испытываемых стенкой сосуда, убывает меньше, чем вдвое, вследствие увеличения скоростей молекул.

2. При изотермическом процессе T2 = 1, следовательно,

T1

z2 = 1 . z1 2

3. При адиабатном процессе объем и абсолютная температура связаны соотношением

Число ударов уменьшается сильнее, чем при изотермическом процессе, так как одновременно увеличивается объем и уменьшается скорость движения молекул.

Задача 4

В вертикально расположенном цилиндре под поршнем находится воздух. Какую работу надо произвести, чтобы поднять поршень на высоту h1 = 10 см, если начальная высота столба воздуха h0 = 15 см, атмосферное давление p0 = 1 атм, площадь поршня S1 = 10 см2? Весом поршня пренебречь. Температура во все время процесса постоянна.

с массой молекулы, что скорость поршня от удара молекулы не меняется.

Рассчитав силу, испытываемую поршнем со стороны молекул, и зная величину смещения поршня, можно найти работу, совершаемую газом при расширении:

Для расчета силы, действующей на поршень, предположим, что все молекулы движутся с одинаковой скоростью, равной среднеквадратичной, и между поршнем и противоположной стенкой движется одна треть всех молекул. Изменение количества дви-

Если обозначить через х расстояние от поршня до противоположной стенки в момент времени t, каждая молекула за время dt ударится о поршень dz раз, причем

где τ – время между двумя последовательными ударами одной молекулы о поршень. Учитывая, что v >> и, можно приближенно считать, что

Общее число молекул N можно выразить через массу газа, молекулярный вес и число Авогадро:

N = mµ N A ,

произведение m0 v2 – через абсолютную температуру:

m0v2 = 3kT .

Тогда выражение для средней силы примет вид

Подставляя выражение (9) в формулу (2), вычисляем работу, совершаемую газом:

Очевидно, что, ударяясь о движущийся поршень, молекулы непрерывно отдают ему часть своей кинетической энергии. Полная энергия, потерянная молекулами за время расширения, равна работе, совершенной поршнем. По условию задачи температура газа, следовательно, и полная кинетическая энергия всех молекул постоянна. Это значит, что кинетическая энергия непрерывно пополняется за счет теплоты, получаемой извне, от остальных (кроме поршня) стенок. Следовательно, количество теплоты, полученной газом при изотермическом расширении,

Q = A = m RT ln V2 .

µ V1

Задача 6

В цилиндрическом сосуде объемом V1 находится одноатомный газ под давлением p1. Поршень, закрывающий сосуд, движется так, что объем газа уменьшается от V1 до V2. Найти изменение внутренней энергии газа, если все стенки сосуда, включая поршень, «зеркальные». Скорость движения и поршня постоянна и мала по сравнению со

средней квадратичной скоростью молекул. Расчет произвести на основе молекулярнокинетической теории.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Вследствие того, что стенки «зеркальные», изменение кинетической энергии молекул будет происходить только при ударе о движущийся поршень. Если молекула подлетает к поршню со скоростью v, то после удара скорость молекулы будет

(знак «минус» определяется выбором направления к поршню за положительное). Изменение кинетической энергии одной молекулы в результате удара о поршень

(членом, содержащим u2 пренебрегаем). Существенно, что здесь v – функция времени.

где τ – время между двумя последовательными ударами одной молекулы о поршень. Очевидно, как и в предыдущей задаче,

Следовательно, за время dt молекулы, ударяющиеся о поршень, приобретут кинетическую энергию

Но u·dt есть смещение поршня за время dt, т. е. udt = −dx .

Подставляя это выражение в уравнение (5) и учитывая, что m0v2 = 3kT ,

так как поршень движется медленно и весь процесс протекает как квазистатический, следовательно, в каждый момент времени газ можно характеризовать температурой Т.

Изменению кинетической энергии молекул при ударе о поршень соответствует изменение внутренней энергии всего газа, равное

Очевидно, что

dU = dW .

Поэтому приравниваем правые части выражений (6) и (7). Но учитывая, что

При изменении х от x1 до x2 температура газа меняется от T1 до T2. Интегрируя ра-

откуда разность конечных температур, определяющая искомое изменение ∆U внутренней энергии газа, равна

p = Vb2 ? Какова его молярная теплоемкость при этом процессе?

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Качественный анализ происходящего процесса удобнее всего провести, рассмотрев график этого процесса в координатах р, V и сравнив его с изотермой и адиабатой, изображающими расширение газа из одного и того же начального состояния до одинакового конечного объема (рис. 38).

Рис. 38

График рассматриваемого процесса лежит ниже изотермы; следовательно, расширение, происходящее по указанному закону, сопровождается понижением температуры. Он лежит также ниже адиабаты. Это значит, что конечная температура при данном расширении меньше, чем конечная температура, которая установилась бы при адиабатном расширении, и убыль внутренней энергии больше, чем при отсутствии теплообмена.

Работа, совершенная газом, меньше, чем при адиабатном процессе. Следовательно, работа газа при его расширении по указанному закону меньше, чем убыль внутренней энергии газа. Это может быть только в том случае, если расширение сопровождается отдачей теплоты.

Найдем теперь аналитическую связь между объемом газа и его температурой и молярную теплоемкость газа при данном процессе.

Согласно уравнению Клапейрона-Менделеева (для m = µ)

Из сравнения заданного по условию закона расширения газа с уравнением (1) получим

Действительно, увеличение объема сопровождается уменьшением температуры. Для нахождения молярной теплоемкости применим к рассматриваемому процессу первое начало термодинамики

dQ = dU + dA

Умножаем правую и левую части последнего равенства на V:

При сравнении выражений (7) и (6) находим

Подставим последовательно выражение (8) в уравнения (4) и (3):

Cx = CV − R .

Полученная величина теплоемкости положительна, следовательно, охлаждение газа будет сопровождаться отдачей теплоты, нагревание – поглощением теплоты.

Задача 8

На рис. 39 изображен график некоторого процесса идеального газа. Как меняется температура газа при переходе из состояния 1 в состояние 2? Какова молярная теплоемкость газа при этом процессе?

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Эта задача аналогична предыдущей, только здесь задается сразу график процесса, а не аналитическая зависимость между объемом и давлением. Из графика видно, что в состоянии 2 температура выше, чем в состоянии

1 (точка 2 лежит выше изотермы T = T1), т. е. при переходе газа из состояния 1 в состояние 2 внутренняя энергия увеличивается. Переход также сопровождается положительной работой газа (V2 > V1). Следовательно, при таком процессе происходит поглощение теплоты.

Очевидно, что молярная теплоемкость газа Рис. 39 при таком процессе будет больше, чем при изо-

хорном. Рассчитать молярную теплоемкость можно так же, как и в предыдущем случае, если учесть, что аналитическая зависимость между давлением и объемом, согласно графику, имеет вид

p = p0 + kV .

Следует проанализировать полученное выражение:

1) если p0 = 0, т. е. между давлением и объемом имеет место прямая пропорциональность, то теплоемкость независимо от значения коэффициента k будет равна

Cx = CV + R2 ;

2) если k = 0, то этот случай будет соответствовать изобарному процессу и

Cx = CV + R .