МЭИ(ТУ) Физика

Находим теперь искомую величину:

m = QΛ = 0,014 кг .

Задача 17

Оценить из графика на рис. 35 эффективный диаметр молекулы газа и рассчитать его для аргона при t = 27°C, если известно, что потенциальная энергия взаимодействия молекул аргона выражается следующим законом:

E = − rA6 + rB12 ,

где r – расстояние между центрами молекул; A и В – константы, имеющие для аргона такие значения:

A = 10-27 Дж·м; B = 1,6·10-27 Дж·м.

АНАЛИЗ

Рассмотрим график зависимости взаимной потенциальной энергии двух молекул от расстояния между ними (сплошная кривая на рис. 35).

Рис. 35

Пунктирная прямая изображает полную энергию молекул. Длина линии CD в вы-

бранном масштабе равна кинетической энергии молекул при расстоянии r = OK.

При рассмотрении графика видно, что на больших расстояниях потенциальная энергия молекулы равна нулю и полная энергия ее равна кинетической энергии.

По мере сближения молекул кинетическая энергия растет, причем максимального значения она достигает в точке А (r = r'), где потенциальная энергия имеет минимум, и сила, действующая на каждую из молекул, равна нулю. При расстояниях r < r' преобладающей становится сила отталкивания. По мере уменьшения расстояния потенциальная энергия растёт, кинетическая – уменьшается. В точке В (r = rэф) полная энергия равна потенциальной, кинетическая – нулю. При использовании формулы длины свободного пробега эффективный диаметр (d = rэф) считают не зависящим от температуры; это соответствует замене участка LB графика вертикальной прямой. Ввиду большой крутизны кривой на этом участке подобное приближение вносит сравнительно малую погрешность.

В выражении потенциальной энергии взаимодействия, заданном в условии задачи, первое отрицательное слагаемое соответствует наличию силы притяжения, которая будет преобладающей при сравнительно больших расстояниях. Второе слагаемое соответствует наличию силы отталкивания, которая преобладает на малых расстояниях и препятствует сближению молекул.

РЕШЕНИЕ

Эффективный диаметр можно оценить, если подсчитать то наименьшее расстояние, на которое могут сближаться молекулы, летящие навстречу друг другу со скоростью, равной средней квадратичной при данной температуре и центральном ударе.

Для рассматриваемых двух молекул полную энергию можно считать постоянной, если пренебречь действием других молекул. На большом расстоянии потенциальная энергия молекул практически равна нулю, и полная энергия равна сумме кинетических энергий обеих молекул.

Вмомент наибольшего сближения кинетическая энергия молекул обратится в нуль

иполная энергия будет равна энергии потенциальной, т. е.

Из этого уравнения получаем

rэф6 = 805 10−48 см6 ;

считанная по уравнению Ван-дер-Ваальса, оказалась выше требуемой температуры идеального газа, показывает, что при данных условиях давление реального газа на стенки сосуда ниже давления, оказываемого идеальным газом. Это значит, что в уравнении Ван-дер-Ваальса преобладающей является поправка на давление, обусловленная учетом сил притяжения между молекулами.

Задача 19

В сосуде емкостью V = 20 л при температуре t = 27°C находится 1/20 кмоль углекислого газа (водорода). Найти давление газа на стенки сосуда.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Вычислим давление, которое оказывал бы газ, если бы он подчинялся уравнению Клапейрона-Менделеева:

pид = RTV mµ = 62,5 105 Па .

Результат не зависит от природы газа, так как давление идеального газа при заданной температуре определяется только концентрацией молекул. Однако полученное значение давления настолько велико, что применение уравнения Клапейрона-Менделеева вряд ли оправдано. Рассчитаем давление по уравнению Ван-дер-Ваальса:

здесь ν — число молей, а постоянные Ван-дер-Ваальса имеют следующие значения для

CO2:

Не производя даже расчета, видно, что «поправка на давление», обусловленная действием сил притяжения, в случае углекислого газа будет оказываться значительно сильнее, чем в случае водорода, и давление, оказываемое углекислым газом, будет, очевидно, меньше, чем давление водорода.

Действительно, расчет по уравнению Ван-дер-Ваальса дает

pCO2 = 47 105 Па ;

pH2 = 65,5 105 Па .

Давление водорода оказалось даже больше, чем давление идеального газа, т. е. в случае водорода доминирующей является «поправка на собственный объем молекул», т. е. на действие сил отталкивания между молекулами.

§ 3. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ И ПРОЦЕССЫ В ИДЕАЛЬНОМ ГАЗЕ

Очень важно научить студентов производить расчеты работы газа, количества поглощенной теплоты, изменения внутренней энергии методами термодинамики и понимать макроскопическую картину всех рассматриваемых процессов. Поэтому при решении всех термодинамических задач желательно проводить качественный анализ характера теплового движения молекул.

Необходимо не один раз подчеркнуть, что изменение внутренней энергии однозначно определяется начальным и конечным состояниями газа, в то время как количество теплоты и работа существенно зависят от способа, при помощи которого газ переходит из одного состояния в другое. Все применяемые при расчетах формулы основаны на предположении, что процесс перехода является квазистатическим процессом. И хотя студентам может быть еще неизвестно понятие обратимого процесса, необходимо подготовить их к пониманию этого понятия, так как графическое изображение процесса уже предполагает его квазистатичность.

Наиболее сложным является объяснение адиабатного процесса. Всякий достаточно быстрый процесс можно считать адиабатным, так как при быстром изменении объема, даже при плохой изоляции сосуда, количество теплоты, отданное или полученное газом, настолько мало, что им можно пренебречь. Однако быстрота процесса противоречит требованию его квазистатичности. Поэтому при рассмотрении адиабатных процессов каждый раз желательно оговаривать, что газ находится в теплоизолированном сосуде.

Взадачах №№ 1, 2 сразу разбирается несколько процессов. Такое комплексное рассмотрение процессов имеет целый ряд преимуществ. Однако слабую аудиторию оно может затруднить, и в этом случае задачи №№ 1, 2 следует разбить на несколько задач.

Взадачах №№ 5 и 6 проводится количественное рассмотрение молекулярной картины различных процессов. Это делается для того, чтобы дать обоснование обычно проводимому качественному анализу.

Задача 1

160 г кислорода нагревают от 50 до 60°С. Найти количество поглощенной теплоты и изменение внутренней энергии в случаях: а) процесс происходит при постоянном

объеме, б) при постоянном давлении.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

При постоянном объеме газ, нагреваясь, не производит работы (A1 = 0). Количество поглощенной газом теплоты равно изменению внутренней энергии, т. е.

Q1 = ∆U1 = mµ CV ∆T .

Подставив данные задачи в это уравнение, найдем

Q1 = ∆U1 =1040 Дж .

Так как рассматриваемый газ идеальный, его внутренняя энергия не зависит от объема ( ∂∂UV = 0 ), и искомое изменение внутренней энергии определяется только изме-

нением температуры. Следовательно, при постоянном давлении

∆U 2 = mµ CV ∆T =1040 Дж ;

Q2 = mµ C p∆T =1400 Дж .

Следует обратить внимание студентов на то, что выражение для Q2 при р = const непосредственно вытекает из определения молярной теплоемкости при постоянном давлении:

Количество теплоты Q2 можно также рассчитать, сложив найденное изменение внутренней энергии ∆U2 и работу A2 газа при расширении, вычисляемую по формуле

A2 = p∆V = mµ R∆T .

Полученный результат необходимо рассмотреть с молекулярной точки зрения. Так как в задаче речь идет об идеальном газе, то его внутренняя энергия складыва-

ется только из кинетической энергии молекул. Средняя кинетическая энергия молекул газа однозначно определяется температурой, поэтому в обоих случаях (и при постоянном объеме, и при постоянном давлении) прирост внутренней энергии одинаков.

При изобарном нагревании газ расширяется и молекулы его, ударяясь о движущий-

ся поршень, отскакивают от него с меньшей, чем до удара, скоростью, отдавая часть своей кинетической энергии поршню. Этим и объясняется дополнительное поглощение теплоты при изобарном процессе.

При изучении графика обоих процессов I и II в координатах р, V (рис. 36) следует подчеркнуть, что при любом процессе, протекающем так, что начальное и конечное состояния газа лежат на данных изо-

термах, изменение внутренней энергии будет всегда одинаковым.

Задача 2

Азот, занимающий при давлении 1 атм объем V1 = 10 л, расширяется вдвое. Найти конечное давление и работу, совершенную газом при следующих процессах: а) изобарном, б) изотермическом, в) адиабатном.

АНАЛИЗ

Рассмотрим графики всех процессов в координатах р, V (рис. 37).

Из графиков сразу же видно, что работа будет тем больше, чем выше пройдет кривая, т. е. чем больше давление в течение процесса. С молекулярной точки зрения, давление определяется силой удара молекул о стенки и частотой ударов. Согласно основному уравнению кинетической теории

p = 23 n0 m20 v2 .

Однако это уравнение есть следствие положения, что импульс силы, испытывае-

мый стенкой сосуда, определяется (по абсолютной величине) произведением числа ударов, испытываемых стенкой за некоторое время, и силой этих ударов (см. задачи №№ 3, 4, 5 § 2).

При изобарном процессе расширение происходит при непрерывном увеличении температуры, что соответствует увеличению силы отдельных ударов, испытываемых стенками сосуда. Но частота ударов уменьшается вследствие увеличения объема, так что давление остается постоянным.

При изотермическом процессе кинетическая энергия молекул не меняется за счет притока теплоты извне, и давление уменьшается только в результате уменьшения числа ударов, испытываемых стенкой за единицу времени.

При адиабатном процессе кинетическая энергия молекул, отдаваемая движущемуся поршню, не пополняется извне. Поэтому адиабатное расширение происходит при более резком, чем при постоянной температуре, падении давления (уменьшается и частота ударов, и сила ударов).

РЕШЕНИЕ

1. Работа при изобарном процессе вычисляется следующим образом:

A1 = p1 (V2 −V1 )=1013 Дж .

2. При изотермическом процессе конечное давление может быть найдено из формулы

p2 = p1V1 = 0,5 атм .

V2

Так как азот – двухатомный газ и, следовательно, коэффициент γ = 1,4, то p2′ = 0,38 атм .

Работа, совершаемая газом при адиабатном расширении, равна убыли внутренней энергии, т. е.

A3 = −∆U 3 = mµ 2i R(T1 −T2 ).

Из уравнения Клапейрона-Менделеева, написанного для начального и конечного состояний, получим

mµ T1 = pR1V1 ;

mµ T2 = p2RV2 .

Подставляя эти выражения в формулу для работы, находим

A3 = 2i (p1V1 − p2V2 )= 607 Дж .

Задача 3

Рассчитать, во сколько раз изменится число ударов, испытываемых 1 см2 стенки сосуда за 1 с при двукратном увеличении объема двухатомного газа в следующих случаях: а) изобарное расширение, б) изотермическое расширение, в) адиабатное расширение.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Число ударов, испытываемых 1 см2 стенки сосуда за 1 с, прямо пропорционально концентрации молекул и их средней скорости. Концентрация молекул обратно пропорциональна объему газа; скорость прямо пропорциональна корню квадратному из температуры. Следовательно, отношение числа ударов z2 испытываемых стенкой после расширения, к начальному числу ударов z1 может быть выражено следующим образом:

где n1, n2 – концентрации молекул; v1, v2 – средние скорости; V1, V2 – объемы газа; T1, T2

– абсолютные температуры в первом и втором состояниях.

Для всех трех случаев отношение V1 = 1 .

V2 2

1. При изобарном процессе объем прямо пропорционален абсолютной температуре, следовательно,