МЭИ(ТУ) Физика

§4. ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

Вэтом параграфе затрагиваются вопросы, связанные только с расчетом коэффициента полезного действия обратимых циклов и вычислением изменения энтропии.

Эти вопросы имеют различную степень важности, и при недостатке времени лучше сократить рассмотрение энтропии, чем изучение циклов.

При рассмотрении циклов необходимо учитывать те же замечания, что и в предыдущем параграфе.

При расчете изменения энтропии следует обращать особое внимание учащихся на то, что энтропия так же, как и внутренняя энергия, является функцией состояния, т. е. изменение ее не зависит от процесса, а однозначно определяется начальным и конечным состояниями системы.

Задача 1

Температура пара, поступающего из котла в паровую машину, t1 = 227°C; температура в конденсаторе t2 = 27°C. Какова теоретически максимальная работа, которую можно получить при затрате количества теплоты Q = 1 ккал?

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Для того чтобы работа, совершаемая тепловой машиной, была максимальной, необходимо, чтобы цикл, по которому она работает, был обратимым. При наличии только двух термостатов – нагревателя и холодильника, тепловая машина может работать только по одному обратимому циклу – по циклу Карно.

Коэффициент полезного действия этого цикла

η = T1 −T2 .

T1

Искомая работа может быть найдена из отношения

η = A ,

Q1

где Q1 – количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя. Отсюда

A = Q1 T1 −T2 =1,7 кДж .

T1

Задача 2

Тепловая машина работает по циклу Карно. Температуры термостатов t1 = 400°C, t2 = 20°C. Время, за которое осуществляется цикл Карно, τ = 1 с. Найти мощность двигателя, работающего по этому циклу, если известно, что рабочим телом служат 2 кг воздуха; давление в конце изотермического расширения равно давлению в начале адиабатного сжатия.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Для того чтобы процесс был обратимым, он должен протекать бесконечно медленно (быть квазистатическим). Тот факт, что рассматриваемый цикл происходит в течение одной секунды, свидетельствует о необратимости процессов, составляющих цикл, и лишь приближенно (явно завышая значение)

коэффициент полезного действия можно рассчитывать по формуле

Количество теплоты, получаемой рабочим телом от нагревателя в процессе 1-2

По условию p4 = p2, а давления в начале и в конце адиабатного сжатия связаны соотношением

Подставив выражения (4), (3) и (1) в формулу (2), получим

Задача 3

Найти термический18 коэффициент полезного действия цикла, состоящего из двух изобар и двух изохор, и сравнить его с коэффициентом полезного действия цикла Карно, проведенного между крайними (максимальной и минимальной) температурами первого цикла (рис. 41). Известно, что при изобарном расширении объем увеличивается вдвое; температура в конце изобарного расширения t2 = 800°C; в конце изохорного процесса 2-3 t3 = 700°C. Рабочее тело – воздух; отводимое тепло не используется для нагревания рабочего тела.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Переход из состояния 1 в состояние 2 происходит изобарно; обратимость этого процесса может быть обеспечена только при наличии очень большого числа нагревателей, причем температура каждого следующего нагревателя, используемого при нагревании, должна быть очень близка температуре предыдущего. Это замечание относится и к нагревателям, используемым при изохорном нагревании 4-1, и к холодильникам, используемым в процессах 2-3 и 3-4.

Для упрощения расчета η найдём работу, Рис. 41 совершенную не всем рабочим телом, а одним молем газа. Поглощенное тепло также будем рассчитывать на один моль, так как коэф-

фициент полезного действия тепловой машины не зависит от массы рабочего тела.

В соответствии с этим на графике (см. рис. 41) по оси абсцисс отложен молярный объем, и площадь прямоугольника, изображающего рассматриваемый цикл, равняется молярной работе за цикл. Очевидно,

18 Термическим коэффициентом полезного действия принято называть отношение

η = A , где A — работа за цикл, Q1 – полное количество теплоты, полученное рабочим

Q1

телом от всех нагревателей.

Количество теплоты, полученное телом от всех нагревателей при переходах из состояния 1 в состояние 2 и из состояния 4 в состояние 1, равно

При расчете формулы (4) с учетом, что T4 = T3 , получим

T1 T2

η = 2,7% .

Из графика на рис. 41 видно, что максимальной температурой газ будет обладать в состоянии 2, минимальной – в состоянии 4. Следовательно, коэффициент полезного действия цикла Карно, проведенного между максимальной и минимальной температурами цикла, равен

отсюда

T4 = T23 = 486 К .

Коэффициент рассматриваемого цикла Карно

ηК = 45% .

Задача 4

Найти максимальное количество теплоты, которое получает вода в калориферах при динамическом отоплении19 на 1 кг сожженного топлива, если температура в котле паровой машины t1 = 217°C; температура воды в отопительной системе t2 = 67°C; температура грунтовых вод, которые служат вторым резервуаром тепла для холодильной машины, t2' = 17°C. Удельная теплота сгорания топлива q = 2,08·104 кДж/кг.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Вода в калорифере получает теплоту от рабочего тела теплового двигателя, как его холодильник, и одновременно от рабочего тела холодильной машины Q1', как его нагреватель. Следовательно, искомое количество теплоты, получаемое водой,

Qx = Q2 + Q1′. (1)

Так как рассматриваются наиболее выгодные условия работы, предположим, что и

19Динамическим отоплением называется такая система, в которой за счет энергии, выделяющееся при сжигании топлива, работает тепловой двигатель, его холодильником является вода в отопительной системе. Одновременно вода в отопительной системе является нагревателем в холодильной машине, ведомой тепловым двигателем.

(здесь по-прежнему считаем Q1 = q).

Холодильником тепловой машины и нагревателем холодильной служит один и тот же резервуар – вода в калорифере, поэтому T1′=T2 . Подставив выражения (8) и (3) в

равенство (1), получим

Задача 5

Кислород массой 0,2 кг нагревают от температуры t1 = 27°C до температуры t2 = 127°C. Найти изменение энтропии, если известно, что начальное и конечное давления газа одинаковы.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Изменение энтропии газа при переходе из одного состояния в другое определяется только параметрами этих состояний и не зависит от характера процесса, при котором был осуществлен этот переход. В случае обратимого процесса конечное изменение энтропии будет определяться соотношением

Поэтому независимо от процессов, происходящих в действительности, искомое изменение энтропии может быть найдено при рассмотрении обратимого процесса, в результате которого газ будет переведен из первого состояния во второе.

Рис. 43

В данном случае переход из состояния 1 в состояние 2 может быть осуществлен, например, изобарным процессом или изотермическим расширением до промежуточного состояния 3 с последующим изохорным нагреванием 3-2 (рис. 43).

Проведем расчет для изобарного процесса. В этом случае

Задача 6

Два баллона емкостью V1 = 2 л и V2 = 3 л каждый соединены трубкой с краном. Первый наполнен азотом под давлением p1 = 1 атм, второй – окисью углерода под давлением p2 = 5 атм. Найти изменение энтропии системы, которое произойдет в результате открывания крана, если вся система заключена в теплоизолирующую оболочку. Начальные температуры в обоих баллонах одинаковы и равны 27°С.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Так как вся система в теплообмене не участвует и не совершает работы против внешних сил, то суммарная внутренняя энергия обоих газов будет оставаться неизменной. Так как до смешения средние кинетические энергии, приходящиеся на одну степень свободы в обоих газах, были одинаковы, то и после смешения, при установлении термодинамического равновесия, средняя кинетическая энергия любой молекулы смеси останется прежней. Отсюда вытекает, что температура смеси будет равна начальной тем-

пературе газов. Смешение газов будет протекать необратимым образом, следовательно, энтропия системы возрастет. Изменение энтропии системы будет равно сумме изменений энтропии каждого газа.

Для того чтобы подсчитать изменение энтропии, надо рассмотреть такой процесс, при котором смешение газов произойдет обратимым образом. Представим себе цилиндрический сосуд, разделенный на две части, объемы которых соответственно равны 2 и 3 л (рис. 44). В левой части сосуда находится азот, в правой – окись углерода. Газы от-

делены друг от друга полупроницаемыми перегородками А и В. Перегородка А проницаема для азота и непроницаема, т. е. аналогична обычному поршню, для окиси углерода. Перегородка В проницаема для окиси углерода и непроницаема для азота. В таком приборе обратимое смешение можно провести следующим образом: при очень медленном перемещении одной из перегородок, например перегородки А влево, вплоть до противоположной стенки, окись углерода будет расширяться до объема (V1 + V2), причем сила давления на перегородку А со стороны окиси углерода должна все время уравновешиваться некоторой внешней силой F. При расширении окись углерода будет совершать работу против силы F. Для того чтобы процесс был изотермическим, газ должен извне получать тепло. При изотермическом процессе dQ = pdV, поэтому изменение энтропии

При перемещении перегородки В вправо произойдет расширение азота до объема

Оба слагаемых в окончательном выражении для ∆S положительны. Это соответствует тому, что самопроизвольное смешение разнородных газов есть необратимый процесс, и в теплоизолированной системе всегда сопровождается увеличением энтропии.

Задача 7

Найти изменение энтропии системы, описанной в предыдущей задаче, если во втором сосуде тоже находится азот под давлением p2 = 5 атм.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ

Нужно рассмотреть обратимый процесс, в результате которого газ придет в то же

конечное состояние, какое установится после открывания крана. Конечные значения параметров р, V и Т азота будут такими же, как и у смеси в условиях задачи № 6. Однако изменение энтропии будет иным, так как молекулы газа, находящегося в обоих сосудах, теперь принципиально неразличимы. В этом случае невозможно осуществить перегородку, которая была бы более проницаема для молекул газа одного сосуда, чем для молекул газа другого сосуда.

Для осуществления обратимого процесса представим, что сосуды разделены обыкновенным поршнем, который будет перемещаться до тех пор, пока давление с обеих его сторон не станет одинаковым. Для того чтобы процесс был квазистатическим, поршень должен двигаться бесконечно медленно. Это возможно при условии, если на поршень, кроме силы давления газов, будет действовать еще внешняя сила, величина которой определится произведением разности давлений на площадь поршня. При таком процессе газ, который вначале был под большим давлением, будет изотермически расширяться до некоторого объема V2' и энтропия его будет возрастать. Газ в первом сосуде будет изотермически сжиматься до объема V1', энтропия его будет уменьшаться.

Суммарное изменение энтропии равно

Для вычисления ∆S отношение объемов заменим обратным отношением давлений, конечное давление р определим из следующих условий:

ражении (1) для энтропии отрицательно. При расчете получаем