МЭИ(ТУ) Физика

гий всех тел системы. Выражение для потенциальной энергии системы или ее изменения найти по формуле (2.6). При использовании закона в форме (2.8) предварительно выбрать начало отсчета потенциальной энергии системы.

8.Закон сохранения импульса записать сначала в векторной форме (2.1). Затем, выбрав оси координат, записать соотношения между проекциями импульсов (2.2) и (2.3). Если импульсы всех тел до и после взаимодействия коллинеарны, достаточно одной оси и соответственно одного скалярного равенства. Если сохраняется только проекция импульса системы на одну из осей, например, ось х (в случае, когда внешние силы не скомпенсированы, но сумма их проекций на ось х равна нулю), следует сразу записать скалярное соотношение (2.2). При записи закона сохранения импульса скорости всех тел должны быть выражены в одной системе отсчета.

9.Полученные в пп. 7 и 8 скалярные уравнения образуют систему, решение которой позволяет рассчитать искомые величины.

10.Работа сил может быть рассчитана либо непосредственно (2.4), либо по измене-

нию энергии (2.5)-(2.7).

Задача 2.1

В платформу с песком общей массой m1 = 2 кг, стоящей на горизонтальных рельсах, попадает «снаряд» массой m2 = 0,02 кг, летевший вдоль рельсов со скоростью v = 2 м/с, и застревает в песке. Найти скорость платформы после попадания «снаряда»,

если последний летел: 1) горизонтально; 2) под углом α = 60° к горизонту (рис. 5).

Рис. 5

До взаимодействия тело m1 покоилось, тело m2 двигалось равномерно и прямолинейно с заданной скоростью v. В результате взаимодействия тела начинают двигаться вместе со скоростью u. Таким образом, взаимодействие носит характер неупругого удара.

Указанные тела удобно рассмотреть как систему; в этом случае сила удара является внутренней силой, изменяющей импульсы каждого из тел. К системе нельзя применить закон сохранения энергии, так как сила неупругой деформации является диссипативной. Применимость закона сохранения импульса выясняется из анализа внешних сил, которыми здесь являются силы тяжести и нормальной реакции рельсов, а также сила трения между рельсами и платформой, но последней можно пренебречь.

В первом случае («снаряд» летит горизонтально) внешние силы скомпенсированы. Поэтому применим закон сохранения импульса

p1 = p2 , где p1 = m2 v, p2 = (m1 + m2 )u.

Если ось х направить по вектору скорости «снаряда», то vx = v, ux = u, и согласно

Во втором случае, когда «снаряд» летит под углом α, внешние силы не скомпенсированы (сила нормальной реакции больше силы тяжести), следовательно, p1 ≠ p2. Однако проекции внешних сил на ось х равны нулю, поэтому p1x = p2x, где

p1x = m2 vcosα , p2 x = (m1 + m2 )u ,

откуда

m2 vcosα = (m1 + m2 )u

и

Задача 2.2

На гладкой горизонтальной поверхности лежат два тела (m1:m2 = 4), между которыми находится сжатая пружина пренебрежимо малой массы. При распрямлении пру-

жины первое тело приобретает кинетическую энергию W к′2 = 3 Дж . Найти потенциаль-

ную энергию сжатой пружины.

До распрямления пружины оба тела покоились. В результате давления пружины при ее выпрямлении оба тела начинают двигаться в разные стороны с разными скоростями. Так как сила, с которой пружина действует на тела, не известна, найти потенци-

альную энергию пружины по величине работы упругой силы не представляется возможным.

Рис. 6

Оба тела и пружину целесообразно рассмотреть как систему тел. В этом случае упругая сила пружины будет внутренней (притом консервативной) силой. Отсутствие силы трения и горизонтальность опоры (силы тяжести и нормальной реакции скомпенсированы) позволяет считать, что для этой системы при ее переходе из положения 1 в положение 2 (рис. 6) выполняется как закон сохранения энергии, так и закон сохранения импульса:

В уравнении (1) Wп1 – искомая потенциальная энергия сжатой пружины; Wп2 = 0; кинетическая энергия системы в положении 1 Wк1 = 0, в положении 2

Первое слагаемое правой части уравнения (3) известно из условия задачи. Для нахождения второго слагаемого надо определить скорость v2 тела массой m2, что можно сделать на основании закона сохранения импульса (2). В проекциях на горизонтальную ось х (рис. 6) p1x = 0, p2x = m1v1 – m2v2 и, согласно (2.2),

Задача 2.3

Снаряд, имевший горизонтальную скорость v0 = 400 м/с, разорвался на высоте h = 400 м на две половины с массами m = 4 кг каждая, одна из которых достигла Земли точно под местом взрыва через t1 = 2 с. Найти модуль и направление скорости второй половины снаряда после разрыва.

До разрыва обе половины снаряда двигались горизонтально с одинаковой заданной скоростью на заданной высоте. После разрыва под действием сил давления пороховых газов оба тела двигаются в разных направлениях и, по-видимому, с разными скоростями. Движение одного из тел, назовем его первым, происходит в вертикальном направлении – свободное падение. Характер движения второго тела не известен.

Следует рассмотреть отдельно процесс разрыва снаряда и вертикальное движение его первой половины.

Рис. 7

При рассмотрении первого процесса (разрыв) в систему включим оба тела. Для этой системы силы давления являются внутренними силами, притом весьма большими; тогда внешними силами тяжести и сопротивления воздуха можно пренебречь и считать, что импульс системы остается постоянным: p1 = p2. Для записи этого закона в скалярных соотношениях оси координат удобно выбрать так, как на рис. 7. В проекциях на ось х

p1x = 2mv0 , p2 x = mu2 cosα ;

на ось у

Последнее уравнение записано в предположении, что скорость u2 направлена под углом α вверх; скорость u1, как следует из условия задачи, направлена вертикально (предположительно вниз).

Из системы уравнений (1), сократив на m, возведя в квадрат и почленно сложив оба уравнения, можно найти u2. Выражение, для tg α найдем почленным делением второго уравнения на первое. В результате получим

Для нахождения u2 и tg α по формулам (2) надо знать скорость первого тела. Для этого следует рассмотреть движение этого тела после разрыва (второй процесс). Если пренебречь сопротивлением воздуха, то оно движется с ускорением a = g. Начальная скорость u1, приобретенная при взрыве, вертикальна, следовательно, движение прямолинейное равнопеременное. Закон такого движения имеет вид

причем скорость u1 направлена вниз.

Из (2) получим u2 = 820 м/с, а направлена скорость u2 как раз так, как показано на рис. 7; α = arctg 0,24 = 3,5°.

Задача 2.4

На краю платформы (m1 = 30 кг), стоящей на горизонтальных рельсах, находится человек (m2 = 50 кг). Человек прыгает с платформы горизонтально вдоль рельсов, совершая при прыжке работу A = 320 Дж. Найти расстояние, на которое откатится платформа, если коэффициент трения между платформой и рельсами µ = 0,2.

Рис. 8

Рассмотрим движение двух тел с заданными массами, скорости тел до взаимодействия равны нулю. Человек отталкивает платформу с некоторой силой, но платформа действует на человека с такой же по модулю силой (третий закон Ньютона). Под действием этих сил оба тела приобретают некоторые скорости u1 и u2, направленные в противоположные стороны (рис. 8). Платформа после взаимодействия с человеком движется горизонтально до остановки. Очевидно, здесь имеют место два отдельных процесса: взаимодействие человека и платформы и движение платформы до остановки. Так как по условию задачи требуется найти расстояние, пройденное платформой, целесообразно начать с анализа второго процесса.

При движении платформа взаимодействует с Землей и с рельсами. Так как рельсы горизонтальны, то силы тяжести и нормальной реакции скомпенсированы, и движение происходит лишь под действием силы трения между платформой и рельсами fтр = µN = µm1g, которая направлена противоположно скорости платформы u1. Если, как обычно, силу трения считать постоянной, ускорение также будет постоянным a = fтр/m1 = µg и расстояние l, пройденное платформой до остановки, может быть найдено по формуле прямолинейного равнозамедленного движения при начальной скорости v0 = u1 и конечной скорости, равной нулю:

Последнюю формулу можно получить и из энергетических соображений: изменение кинетической энергии платформы ∆Wпл на расстоянии l (до остановки) равно работе силы трения Aтр. Так как

Aтр = − f трl = −µm1 gl ,

а

∆ = − m u2

W пл 1 1 ,

2

Скорость u1 найдем из анализа процесса взаимодействия человека с платформой. Если в систему включить эти два тела, то силы взаимодействия между ними будут внутренними. При горизонтальном прыжке внешние силы тяжести и нормальной реакции скомпенсированы, а силами трения и сопротивления воздуха можно пренебречь. Следовательно, импульс системы остается постоянным: p1 = p2. В проекциях на ось x, показанную на рис. 8:

p1x = 0 , p2 x = m1u1 − m2 u2 .

Тогда согласно (2.2)

0 = m1u1 − m2 u2 и u2 = m1 u1 . m2

Так как внешние силы, действующие на систему во время прыжка, работы не совершают, то кинетическая энергия, приобретенная системой, равна работе, совершенной человеком:

Задача 2.5

На длинной нити подвешен шар массой m1 = 2 кг, в который ударяется шарик массой m2 = 0,2 кг, летевший горизонтально со скоростью v = 20 м/с. Считая удар цен-

тральным и упругим, найти: 1) во сколько раз изменится в результате удара кинетическая энергия второго тела (шарика); 2) на какую высоту поднимется первое тело (шар)?

Так как нить подвеса длинная, оба тела можно считать материальными точками. Тело m1 до взаимодействия покоилось, тело m2 двигалось горизонтально с заданной скоростью. Так как удар центральный и упругий, то после взаимодействия оба тела будут двигаться горизонтально, но с разными скоростями. В дальнейшем тело m1 благодаря действию нити движется по дуге окружности с радиусом, равным длине нити. Очевидно, здесь имеют место два отдельных процесса: соударение и движение тела m1, подвешенного на нити.

Рис. 9

В процессе удара на оба. тела, включаемых в систему, действуют силы тяжести и сила натяжения нити. Все эти силы направлены вертикально, перпендикулярно скоростям тел, следовательно, не совершают работы и не изменяют суммы проекций импульсов на горизонтальную ось х (рис.9). Силами трения и сопротивления воздуха можно пренебречь. Внутренние силы – силы упругой деформации – являются к тому же консервативными, поэтому в системе в результате соударения сохраняется как сумма проекций импульса на ось х, так и энергия системы, т. е. p1x = p2x, W1 = W2. При этом

p1x = m2 v , p2 x = m1u1 + m2 u2

(последнее выражение записано в предположении, что после удара оба тела движутся в направлении оси х). Согласно (2.2)

Потенциальная энергия упругой деформации и до, и после соударения равна нулю, поэтому закон сохранения энергии примет вид

Для решения системы уравнений (1) и (2), позволяющей найти скорости u1 и u2 после удара, ее следует переписать так:

m2 (v −u2 )= m1u1 , m2 (v2 −u22 )= m1u12 .

Разделив почленно второе уравнение на первое (v – u2 ≠ 0!), получим v + u2 = u1. Выра-

зив отсюда u2 и подставив в первое из написанных выше уравнений, найдем

u1 = 2m2 v . m1 + m2

Аналогично

u2 = m2 − m1 v . m1 + m2

Из полученных выражений видно, что скорость u1 положительна, т. е. действительно u1x = +u1. Так как т2 < т1, то u2 < 0, т. е. после удара второе тело изменяет направление движения на противоположное и в действительности u2x = –u2, следовательно

u2 = m1 − m2 v . m1 + m2

Выражение для u позволяет найти, во сколько раз изменяется кинетическая энергия второго тела в результате удара:

Для ответа на второй вопрос задачи следует рассмотреть второй процесс – движение тела т1 после удара из положения 1 в положение 2 (рис. 9), происходящее под действием сил тяжести и натяжения нити (силами сопротивления можно пренебречь) и являющееся криволинейным движением с переменным тангенциальным и нормальным ускорениями. Однако в системе шар-Земля сила тяжести является внутренней и консервативной, а сила натяжения нити все время перпендикулярна перемещению, поэтому не совершает работы. Следовательно, полная энергия системы шар-Земля при переходе из положения 1 в положение 2 остается постоянной. В положении 1

(выбор начала отсчета потенциальной энергии); в положении 2

Wк = 0 , Wп = m1gh .

Согласно (2.8)

Задача 2.6

Небольшое тело массой m, подвешенное на нити, отклоняют так, что нить принимает горизонтальное положение, и отпускают. Найти тангенциальное, нормальное и полное ускорение тела и силу натяжения нити: 1) в начальном положении; 2) при прохождении телом положения равновесия; 3) в момент, когда нить составляет с вертикалью угол α.

Рис. 10

Рассматривается движение тела (материальной точки) заданной массы. В начальный момент тело неподвижно и поднято над положением равновесия на высоту h = l (l

– длина нити), Затем, так как нить нерастяжима, тело движется по дуге окружности радиуса R = l в вертикальной плоскости. Тело взаимодействует с Землей и нитью (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Сила тяжести mg постоянна, но образует переменный угол с направлением скорости. Сила Т натяжения нити переменна, направлена вдоль нити к точке подвеса, оставаясь все время перпендикулярной вектору перемещения. Так как требуется найти ускорение тела и одну из сил, то, очевидно, следует преж-