МЭИ(ТУ) Физика

При адиабатном процессе согласно (4.7) давление обратно пропорционально объе-

му в степени γ, и так как γ = C p >1, то p2 > p3, где p2 и p3 – конечные давления соответ-

CV

ственно при изотермическом и адиабатном расширении. Графики рассматриваемых процессов показаны на рис. 8. Работа газа в обоих процессах положительна (V2 = V3 >

>V1) и, как видно из графиков (сравнение соответствующих площадей), A12 > A13.

Впроцессе 1-2: ∆U12 = 0 (T = const); Q12 = A12 > 0.

Впроцессе 1-3: Q12 = 0 (по определению адиабатного процесса), следовательно,

∆U13 = – A13, т. е. внутренняя энергия газа убывает.

Конечные давления могут быть. найдены непосредственно из уравнений процессов (1.4), (4.7). При изотермическом процессе p1V1 = p2V2, т. е.

Так как i = 5, коэффициент Пуассона γ = i +i 2 =1,4 , и расчет даёт

p3 = 0,46 105 Па .

Таким образом, расчет подтвердил, что при адиабатном расширении конечное давление p3 меньше, чем конечное давление p2 при изотермическом расширении. Это можно объяснить следующим образом.

Согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории давление газа прямо пропорционально произведению концентрации молекул газа и средней кинетической энергии поступательного движения одной молекулы. В обоих процессах объем возрастает в 2 раза, следовательно, концентрация убывает в 2 раза. При изотермическом расширении средняя кинетическая энергия молекул не изменяется, поэтому давление уменьшается так же, как концентрация – в 2 раза. При адиабатном расширении убывает не только концентрация молекул, но и кинетическая энергия молекул, которая расходуется на совершение работы. Поэтому давление убывает больше, чем в 2 раза.

Давление газа на стенки сосуда (как это видно при выводе основного уравнения кинетической теории для давления) определяется средней силой удара одной молекулы

и частотой этих ударов. Сила удара для данного газа прямо пропорциональна скорости молекул, которая при изотермическом расширении остается неизменной, а при адиабатном расширении уменьшается. Частота ударов пропорциональна концентрации молекул и их скорости. Следовательно, при изотермическом расширении частота ударов уменьшается только за счет уменьшения концентрации, а при адиабатном – как за счет уменьшения концентрации, так и за счет уменьшения скорости.

Работа газа при изотермическом расширении может быть рассчитана по формуле (4.3). Чтобы выразить давление как функцию объема, можно воспользоваться либо уравнением Клапейрона-Менделеева (1.1), либо уравнением изотермы (1.4).

Так как начальные значения объема и давления заданы, то уравнение изотермы можно записать в виде

pV = p1V1 , p = p1 VV1 ,

откуда

Изменение внутренней энергии ∆U12 = 0.

Работу газа при адиабатном расширении можно найти из первого начала термодинамики (4.1):

A13 = −∆U13 =U1 −U3 .

Используя выражение (4.2) и уравнение Клапейрона-Менделеева (1.1), найдем

U1 −U 3 = 2i mµ R(T1 −T3 )= 2i (p1V1 − p3V3 ).

Подстановка ранее найденного значения p3 дает

A13 =U1 −U 3 = 2,5 102 Дж .

Изменение внутренней энергии ∆U13 = U1 – U3 = –2,5·102 Дж.

Задача 4-6

Двухатомный газ, занимающий при давлении р1 = 1,2·105 Па объем V1 = 4·10-3 м3 совершает сложный процесс: сначала адиабатно расширяется до объема V2 = 2V1, затем при постоянном объеме доводится до первоначального давления. Найти суммарное изменение внутренней энергии газа.

При адиабатном расширении газ совершает положительную работу A12 > 0. Так как при этом газ не получает тепло от окружающей среды, его внутренняя энергия убывает:

∆U12 < 0.

При изохорном нагревании 2-3 работа газа A23 = 0, следовательно, Q23 = ∆U23 > 0. Суммарное изменение внутренней энергии в процессе 1-2-3 ∆U13 = ∆U12 + ∆U23 =

= U3 – U1, так как изменение внутренней энергии не зависит от характера процесса и однозначно определяется начальным 1 и конечным 3состояниями газа.

Точки 1 и 3 лежат на одной изобаре (пунктирная прямая 1-3), причем V3 = V2 > > V1. При постоянном давлении объем газа прямо пропорционален его температуре, следовательно, T3 > T1 и

∆U13 =U3 −U1 > 0 .

Так как по условию задачи требуется найти только изменение внутренней энергии, то, исходя из проведенного выше анализа и выражения (4.2),

∆U13 = 2i mµ R(T3 −T1 ).

Внося множитель mµ R в скобки и используя уравнение Клапейрона-Менделеева (1.1)

для состояний 1 и 3, получим

∆U12 = 2i (p3V3 − p1V1 )=1200 Дж .

Здесь T1 и T2 – по-прежнему температуры нагревателя и холодильника, но вследствие необратимости процессов нельзя утверждать, например, что температура T1 равна температуре рабочего тела в процессе расширения, когда оно получает от нагревателя тепло Q1.

В настоящем параграфе рассматриваются только циклы, состоящие из обратимых процессов.

Анализ и решение задач этого параграфа рекомендуется начинать с качественного рассмотрения, используя графическое изображение процессов.

Качественное рассмотрение задач проводят в такой последовательности:

1.Выяснить, из каких процессов состоит рассматриваемый цикл.

2.Представить рассматриваемый цикл графически в координатах р, V и показать направления отдельных процессов.

3.Записать характер каждого процесса и его уравнение (в зависимости от условия задачи в некоторых случаях запись уравнений процессов должна предшествовать построению графиков).

4.Из условия задачи и построенных графиков, используя также первое начало термодинамики, выяснить для каждого процесса цикла, положительна или отрицательна работа газа, поглощает или отдает газ тепло, как изменяется внутренняя энергия газа.

5.Установить для всего цикла, положительна или отрицательна работа газа, поглощается или выделяется тепло.

6.Если требуется сравнить несколько циклов, то каждый из них рассматривается отдельно.

Для перехода к количественному решению прежде всего следует выяснить, какие величины должны быть найдены. Последовательность решения может изменяться в зависимости от поставленных в задаче вопросов. Примерная последовательность количественного решения задачи может быть следующей:

1.Если газ назван, то считается известной его молярная. масса µ и число степеней свободы i его молекулы.

2.Если по условию задачи цикл является циклом Карно, то можно пользоваться выражением для КПД (5.2).

3.Если рассматривается произвольный цикл, то его КПД рассчитывается по формуле (5.1). Величины Q1 и Q2 или Aц и Q1 находятся непосредственным расчетом количества теплоты и работы в отдельных процессах по общим выражениям для этих вели-

чин (4.4) и (4.3).

4.Если величины, входящие в формулы (5.1) и (5.2), нельзя найти непосредственно из условия задачи, то недостающие параметры могут быть найдены из уравнений отдельных процессов, составляющих цикл; и уравнения Клапейрона-Менделеева.

Задача 5-1

Трехатомный газ, взятый в количестве ν = 10 молей, совершает цикл Карно в тепловом двигателе с КПД η = 0,5. Работа внешних сил на участке адиабатного сжатия A' = 49,8 кДж. Найти: 1) температуры нагревателя и холодильника; 2) во сколько раз количество теплоты, полученной газом от нагревателя, больше количества теплоты, отданной холодильнику.

Рассматривается идеальный газ (ν = mµ =10 моль , i = 6), совершающий цикл Карно,

графически изображенный на рис. 10. Процессы, составляющие цикл:

1-2 – изотермическое расширение, Т = const = T1, pV = const, V2 > V1, A12 = Q12 > 0; 2-3 – адиабатное расширение, pVγ = const, V3 > V2, A23 > 0, Q23 = 0;

3-4 – изотермическое сжатие, Т = const = T2, pV = const, V4 < V3, A34 = Q34 < 0; 4-1 – адиабатное сжатие, pVγ = const, V1 < V4, A41 < 0, Q41 = 0.

Таким образом, тепло поглощается только на участке 1-2, а отдается холодильнику только на участке 3-4. При данном направлении процессов работа газа за цикл Aц > 0 и численно равна площади фигуры 12341. Искомыми величинами являются температуры нагревателя T1 и холодильника T2. По заданной величине работы внешних сил на участке адиабатного сжатия 4-1 можно найти разность температур T1 – T2. Работа газа на этом участке

A41 = −∆U 41 = −2i mµ R(T1 −T2 ).

Так как работа внешних сил A'41 = –A41, то

Из выражения для коэффициента полезного действия цикла Карно

T1 = T1 η−T2 = 400 К и T2 = 200 К .

Работа газа на участке 1-2 адиабатного расширения

A23 = −∆U23 = −2i mµ R(T2 −T1 )= 49,8 кДж .

Работу газа на этом участке можно найти, не прибегая к непосредственному расчету. Для адиабатного процесса A = –∆U, и так как процессы 2-3 и 4-1 протекают между одними и теми же изотермами, то A23 = |A41| = A'41.

По условию задачи требуется найти отношение количества теплоты Q1, полученного газом от нагревателя, к количеству теплоты Q2, отданному холодильнику. Производя почленное деление в выражении (5.2), получим

откуда

Q2 = T2 = 2 ,

Q1 T1

т. е. количество теплоты, которое газ получает от нагревателя, в 2 раза больше количества теплоты, которое газ отдает холодильнику.

Задача 5-2

Кислород в количестве ν = 500 моль совершает цикл Карно в интервале температур от T1 = 500 К до T2 = 300 К. Отношение максимального за цикл объема к минимальному b = V2/V1 = 10. Найти: 1) КПД теплового двигателя, работающего по этому циклу; 2) количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя за цикл; 3) работу двигателя за цикл.

Рассматривается известный идеальный газ (ν = mµ = 500 моль , i = 5), совершающий

цикл Карно при известных температурах нагревателя T1 и холодильника T2. График рассматриваемого цикла показан на рис. 10.

Процессы, составляющие цикл:

1-2 – изотермическое расширение, Т = const = T1, pV = const, V2 > V1, A12 = Q12 > 0; 2-3 – адиабатное расширение, pVγ = const, V3 > V2, A23 > 0, Q23 = 0;

3-4 – изотермическое сжатие, Т = const = T2, pV = const, V4 < V3, A34 = Q34 < 0;

4-1 – адиабатное сжатие, pVγ = const, V1 < V4, A41 < 0, Q41 = 0.

При данном направлении процессов работа газа за цикл Aц > 0 и численно равна площади фигуры 12341.

Так как температуры T1 и T2 известны, то согласно (5.2):

η = T1 −T2 = 0,4 .

T1

Газ получает тепло от нагревателя только на участке изотермического расширения 1-2, т. е. Q1 = Q12 = A12. Работа может быть рассчитана по формуле (4.3) после подстановки выражения для давления из уравнения Клапейрона-Менделеева

жет быть записано в виде

b =V3 = V3 V2 . V1 V2 V1

Отсюда

V2 = bV2 .

V1 V3

Так как объемы V2 и V3 являются начальным и конечным объемами адиабатного процесса 2-3, то их отношение может быть найдено из уравнения адиабаты (4.7) и уравнений Клапейрона-Менделеева, записанных для состояний 2 и 3. Произведя соот-

ветствующие преобразования, получим T1V2γ −1 =T2V3γ −1 . Отсюда

Отношение конечного V2 и начального V1 объемов при изотермическом расширении 1-2

Подставляя это выражение в (1), найдем

Учитывая, что γ = i +i 2 =1,4 , получим

Q1 = 8,3 5 102 500(ln10 +2,5 ln 0,6)= 2,8 106 Дж .

Работу, совершенную газом за цикл, можно найти из выражения для коэффициента полезного действия (5.1):

Aц =ηQ1 =1,1 106 Дж .

Задача 5-3

Двухатомный газ изотермически расширяется от объема V1 = 0,006 м3 до объема V2 = 0,012 м3, затем изохорно охлаждается до температуры, в n = 1,5 раза меньшей начальной, затем изотермическим сжатием и изохорным нагреванием возвращается в исходное состояние. Найти: 1) КПД описанного цикла; 2) КПД цикла Карно, работающего между максимальной и минимальной температурами описанного цикла.

Рассматривается двухатомный идеальный газ, i = 5, совершающий цикл из двух изотерм и двух изохор, изображенный на рис. 11.

Процессы, составляющие цикл:

1-2 – изотермическое расширение, Т = const = = T1, pV = const, V2 > V1, A12 = Q12 > 0;

2-3 – изохорное охлаждение, V = const = V2, p/T = const, A23 = 0, Q23 = ∆U23 < 0;

3-4 – изотермическое сжатие, Т = const = T2, Рис. 11 pV = const, V4 < V3, A34 = Q34 < 0;

4-1 – изохорное нагревание, V = const = V1, p/T = const, A41 = 0, Q41 = ∆U41 > 0;

При данном направлении процессов работа газа за цикл Aц > 0 и численно равна площади фигуры 12341.

Коэффициент полезного действия цикла может быть рассчитан по формуле (5.1). Газ получает тепло на участках 1-2 и 4-1, следовательно, Q1 = Q12 + Q41. Газ отдает

тепло на участках 2-3 и 3-4, следовательно, Q2 = Q23 + Q34.

Изохорные процессы 2-3 и 4-1 проводятся в одном интервале температур T1 и T2, поэтому Q41 = |Q23|. С учетом этого равенства выражение (5.1) примет вид