МЭИ(ТУ) Физика

2.Если по условию задачи требуется рассчитать наиболее вероятную скорость молекул, а также среднюю или среднеквадратичную скорости по известным параметрам идеального газа или решить обратную задачу, то расчет произвести по соответствующим выражениям для этих скоростей (формулы (2,3), (3.4), (3.5)).

3.Значения функции Максвелла для заданных скоростей найти по формуле (3.1). При этом часто удобно в выражение для функции Максвелла ввести наиболее вероятную скорость (3.4).

4.Расчет числа молекул или доли молекул от общего их числа в заданном интервале скоростей от v1 до v1 + ∆v произвести по формулам (3.2) и (3.3).

Использование формулы (3.2) возможно при наличии специальных таблиц для интегрирования численными методами или ЭВМ.

Использование формулы (3.3) возможно для малых интервалов ∆v, когда в преде-

лах этого интервала f(v, T) можно считать постоянной. Оценка точности расчета может быть произведена сравнением значений функции Максвелла для v = v1 и v = v1 + ∆v.

Задача 3-1

Некоторый газ массой m = 0,02 кг занимает при давлении р = 1·105 Па объем V = 0,02 м2. Найти наиболее вероятную и среднюю скорости молекул газа.

Рассматривается идеальный газ в равновесном состоянии, для которого искомые величины могут быть рассчитаны по формулам (3.4) и (3.5). Ни температура, ни молярная масса газа не известны. Однако в выражения (3.4) и (3.5) входит отношение этих величин, которое может быть найдено из уравнения Клапейрона-Менделеева (1.1)

RTµ = pVm .

Отсюда

Задача 3-2

При температурах T1 = 240 К и T1 = 480 К рассчитать для кислорода: 1) наиболее вероятные скорости молекул; 2) значения функции Максвелла: а) при v = vв, б) при v = vв + 200 м/с, в) при v = vв – 200 м/с.

Рассматривается идеальный газ при двух равновесных состояниях при разных температурах. Молярная масса кислорода µ = 32·10-3 кг/моль. Расчет по формуле (3.4) дает

Используя выражение (3.4), функцию Максвелла удобно записать в виде

Задача 3-3

Окись азота находится при температуре Т = 300 К. Найти долю молекул (в процентах), обладающих скоростями от v1 = 520 м/с до v2 = 530 м/с.

Рассматривается идеальный газ при заданной температуре, для которого справедливо распределение Максвелла. Молярная масса окиси азота µ = 30·10-3 кг/моль.

Требуется найти относительное число ∆N/N молекул, скорости которых лежат в заданном интервале ∆v = v2 – v1 = 10 м/с. Можно предположить, что в этом небольшом интервале функция Максвелла будет с достаточной степенью точности оставаться постоянной.

Расчет значений функция Максвелла удобно производить, подставив в формулу (3.1) выражение для vв (3.4). Такая подстановка дает

т. е. с точностью до двух значащих цифр f(v1, T) = f(v2, T) = 1,8·10-3 с/м. Следовательно,

расчет искомого относительного числа молекул можно произвести по приближенной формуле (3.3)

∆NN = f (v1,T )∆v =1,8 10−2 =1,8% .

4. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

Первое начало термодинамики может быть записано в виде

Q = ∆U + A , (4.1)

где Q – количество теплоты, которым газ обменивается с окружающими телами; ∆U = U2 – U1 – изменение внутренней энергии газа; A – работа сил давления газа.

Для идеального газа внутренняя энергия определяется только суммой кинетических энергий всех его молекул, т. е. формулой (2.5). Изменение внутренней энергии идеального газа

где i – число степеней свободы, T1 и Т2 – начальная и конечная температуры. Изменение внутренней энергии не зависит от процесса, а только от начального и конечного состояний газа. При нагревании газа T2 > T1, внутренняя энергия возрастает.

Работа сил давления газа

где V1 и V2 – начальный и конечный объемы газа. При расширении газа V2 > V1, работа газа положительна.

Для расчета работы газа при любом квазистатическом процессе следует найти давление как функцию объема при данном процессе и полученное выражение p(V) подставить в интеграл (4.3). При изображении процесса в координатах р-V работа численно равна площади, ограниченной графиком p(V), осью абсцисс и ординатами p(V1) и p(V2). Таким образом, работа газа зависит от характера процесса. Количество теплоты вычисляется по формуле

где C – молярная теплоемкость.

Так как работа газа зависит от процесса, то и количество теплоты Q зависит от характера процесса и молярная теплоемкость различна для разных процессов.

В частности, при изохорном процессе

Количество теплоты Q считается положительным, если газ получает тепло от окружающих тел, и отрицательным, если газ отдает тепло. Знак Q должен быть определен из первого начала термодинамики (4.1). В процессах с постоянной и положительной теплоемкостью, как видно из (4.4), количество теплоты Q > 0 при нагревании газа, то есть при T2 > T1.

При изопроцессах, когда один из параметров состояния (р, V, T) остается постоянным, справедливы уравнения (1.2), (1.3), (1.4).

Процесс, при котором газ не обменивается теплом с окружающими телами, Q = 0,

где

γ= C p = i +2 .

CV i

Работу газа при адиабатном процессе удобнее рассчитывать не по общей формуле (4.3), а из первого начала термодинамики (4.1).

Решение задач этого параграфа рекомендуется начинать с качественного рассмотрения, используя графики процессов и первое начало термодинамики в общем виде. Только после этого следует приступать к количественному решению задачи.

Качественное решение задач следует проводить в такой последовательности.

1.Выяснить, в каком процессе или в каких процессах участвует рассматриваемый газ, как изменяются при этом параметры состояния газа.

2.В координатах p, V построить графики рассматриваемых процессов (на одном чертеже) и указать направления процессов.

3.Используя первое начало термодинамики, выяснить из условия задачи и построенных графиков (для каждого из процессов), является ли работа газа положительной или отрицательной, возрастает или убывает внутренняя энергия газа, поглощает или отдает газ тепло.

4.Если по условию задачи требуется сравнить несколько различных процессов, то из построенных графиков выяснить соотношение между величинами, входящими в первое начало термодинамики, в сравниваемых процессах.

Количественное решение задачи проводится в такой последовательности:

1.Если сравниваются несколько процессов, то решение проводится последовательно для каждого из сравниваемых процессов.

2.Если рассматривается сложный процесс, который можно разбить на несколько отдельных стадий, то решение проводится последовательно для каждой из стадий.

3.Если газ назван, то считаются известными его молярная масса µ и число степеней свободы i молекулы.

4.Записать первое начало термодинамики в общем виде (4.1), а затем для рассматриваемого процесса.

5.Выражения для количества теплоты, работы газа и изменения его внутренней энергии могут быть получены из общих формул (4.2), (4.3) и (4.4). Если какие-либо из величин, входящих в эти формулы, неизвестны, то для их нахождения использовать уравнение состояния (1.1), записанное для начального и конечного состояний, а также

уравнения процессов (1.2), (1.3), (1.4) и (4.7). Работу при адиабатном процессе (Q = 0) удобнее рассчитывать непосредственно из первого начала термодинамики (4.1).

6. Полученные в пп. 4 и 5 соотношения позволяют найти искомые величины.

Задача 4-1

Трехатомный газ, занимающий при давлении р = 0,5·105 Па объем V1 = 0,004 м3, сжимается изобарно до объема V2 = 0,003 м3. Найти изменение внутренней энергии, количество теплоты, которым газ обменивается с окружающей средой, и работу газа.

Рассматривается процесс изобарного сжатия трехатомного газа, i = 6. Начальный и конечный объемы заданы.

График рассматриваемого процесса 1-2 показан на рис.4.

Так как V1 > V2, работа газа A12 < 0, т. е. внешние силы совершают положительную работу против сил давления газа.

При изобарном процессе объем газа прямо пропорционален его температуре, следовательно, температура газа убывает, и U = U2 – U1 < 0.

На основании первого начала термодинамики Q12 = ∆U + A12 < 0, т. е. в рассматриваемом процессе газ отдает тепло окружающим телам.

Изменение внутренней энергии газа согласно (4.2):

∆U = 2i mµ R(T2 −T1 )= 2i p(V2 −V1 )= −1,5 102 Дж .

Количество теплоты, отданное газом, может быть рассчитано по (4.4) с учетом

(4.6):

Q12 = i +2 2 mµ R(T2 −T1 )= i +2 2 p(V2 −V1 )= −2,0 102 Дж .

Работа с газа может быть найдена из первого начала термодинамики (4.1) или непосредственно по формуле (4.3)

A12 =Q12 − ∆U = p(V2 −V1 )= −0,5 102 Дж .

Задача 4-2

Азот в количестве m = 0,14 кг нагревается от температуры T1 = 300 К до температуры T2 = 400 К. Найти изменение внутренней энергии и количество теплоты, которым

газ обменивается с окружающими телами, в двух случаях: 1) процесс изохорный, 2) процесс изобарный. Начальный объем в обоих случаях одинаков.

Рассматривается процесс нагревания известного газа (µ = 28·10-3 кг/моль, i = 5) заданной массы.

Графики рассматриваемых процессов показаны на рис. 5. Точка 1 соответствует начальному состоянию, одинаковому для обоих процессов; точки 2 и 3 соответствуют конечному состоянию при изохорном и изобарном процес-

сах и, согласно условию задачи, лежат на одной изотерме, Рис. 5 показанной пунктиром.

Работа газа при изохорном процессе A12 = 0, при изобарном процессе A13 < 0.

Газ нагревается, поэтому в обоих процессах внутренняя энергия возрастает. Так как по условию задачи T2 = T3, то ∆U12 = ∆U13.

Согласно первому началу термодинамики, газ в обоих процессах получает тепло, причем Q13 > Q12 > 0.

При изохорном процессе

Q12 = ∆U12 = 2i mµ R(T2 −T1 )=1,04 104 Дж .

При изобарном процессе

∆U13 = ∆U12 =1,04 104 Дж , Q13 = ∆U13 + A13 ,

однако количество теплоты Q13 можно рассчитать и непосредственно:

Q13 = i +2 2 mµ R(T2 −T1 )=1,45 104 Дж .

Задача 4-3

Двухатомный газ, занимавший при давлении р = 1,2·105 Па объем V1 = 0,005 м3, изобарно расширился до объема V2 = 3/2 V1, затем в результате изохорного процесса давление газа уменьшилось в 1,5 раза. Найти работу газа, изменение внутренней энергии и количество теплоты, которым газ обменивается с окружающими телами, в течение всего процесса.

Изменение внутренней энергии можно найти по формуле (4.2). Используя уравнение Клапейрона-Менделеева (1.1) для состояний 1 и 2, получим

∆U12 = 2i p1 (V2 −V1 )= 7,5 102 Дж .

Из первого начала термодинамики

Q12 = ∆U12 + A12 =10,5 102 Дж .

Количество теплоты можно также найти непосредственно по формуле (4.4)

Q12 = mµ C p (T2 −T1 )= i +22 p1 (V2 −V1 ).

Рассмотрим процесс 2-3 (V = const, p/T = const). Как уже было выяснено, A23 = 0 и

Q23 = ∆U23 = 2i mµ R(T3 −T2 ).

Используя уравнение Клапейрона-Менделеева для состояний 2 и 3 и учитывая, что p2 = p1, получим

Q23 = 2i V2 (p3 − p1 )= −7,5 102 Дж .

Суммарная работа за весь процесс 1-2-3

A13 = A12 + A23 = 3,0 102 Дж .

Изменение внутренней энергии в течение всего процесса

∆U13 = ∆U12 + ∆U23 = 0 .

Этот результат можно было предугадать на основании условия задачи: в процессе 1-2 V2/V1 = T2/T1 = 3/2, в процессе 2-3 p2/p3 = T2/T3 = 3/2, следовательно, T3/T1 = 1, то есть

T3 – T1 = 0 и ∆U13 = 0.

Количество теплоты, которым газ обменивается с окружающей средой в течение всего процесса,

Q13 = Q12 +Q23 = 3,0 102 Дж ,

т. е. в итоге всего процесса газ получает тепло от окружающих тел.

Задача 4-4

Аргон, взятый в количестве m = 0,04 кг и находившийся при температуре T1 = 250 К, расширяется так, что его объем возрастает в 2 раза. Найти изменение давления и температуры газа, работу, совершенную газом, изменение его внутренней энергии и количество теплоты, которым газ обменивается с окружающими телами. Рассмотреть два случая: 1) процесс протекает изобарно, 2) процесс протекает изотермически. Начальный объем в обоих случаях одинаков.

При изобарном расширении V/T = const, следовательно, температура газа растет, T2 > T1 и ∆U12 > 0. При изотермическом расширении T1 = T2 и ∆U13 = 0.

Согласно первому началу термодинамики газ в обоих случаях получает тепло от окружающих тел: Q12 > 0 и Q13 > 0, причем Q12 > Q13.

Рассмотрим процесс 1-2: p = const, V/T = const. Следовательно, p1 = p2, T2/T1 = = V2/V1 = 2.

Работа газа при изобарном процессе согласно (4.3) и (1.1)

A12 = p1 (V2 −V1 )= mµ R(T2 −T1 )= 2,1 103 Дж .

Изменение внутренней энергии

∆U12 = 2i mµ R(T2 −T1 )= 3,1 103 Дж .

Количество теплоты, полученной газом,

Q12 = i +2 2 mµ R(T2 −T1 )= 5,2 103 Дж .

Рассмотрим процесс 1-3: T = const, pV = const. Следовательно, T3 = T1, p3/p1 = = V1/V3 = V1/V2 = 1/2.

Изменение внутренней энергии ∆U13 = 0.

Работа газа рассчитывается по формуле (4.3). Выражая давление р из уравнения (1.11) и учитывая, что T = const, получим

Согласно первому началу термодинамики для изотермического процесса

Q13 = A13 =1,4 103 Дж .

Задача 4-5

Двухатомный газ, занимающий при давлении р1 = 1,2·105 Па объем V1 = 3,5·10-3 м3, расширяется до объема V2, вдвое большего начального, один раз изотермически, второй раз адиабатно. Найти для обоих процессов: 1) конечное давление газа (объяснить разницу в полученных результатах, исходя из молекулярно-кинетических представлений); 2) работу газа и изменение его внутренней энергии.

Рассматривается неизвестный двухатомный газ (i = 5), участвующий в двух независимых процессах: изотермическое расширение 1-2 и адиабатное расширение 1-3. Оба процесса начинаются из одного начального состояния 1 (p1, V1, T1). Конечные состояния характеризуются одинаковым значением объема: V2 = V3 = 2V1.

При изотермическом процессе согласно (1.4) давление Рис. 8 обратно пропорционально объему.