МЭИ(ТУ) Физика

Из последнего выражения видно, что неизвестное давление p1 сокращается. После преобразований получим

Как видно из рис. 11, Tmax = T1, Tmin = T1/n. Следовательно, КПД цикла Карно, совершающегося между этими температурами, согласно (5.2):

ηК = nn−1 = 0,33 .

Заметим, что в выражение для коэффициента полезного действия рассматриваемого цикла входит i – число степеней свободы молекул газа, т. е. КПД этого цикла, в отличие от цикла Карно, зависит от природы рабочего тела.

Задача 5-4

Тепловой двигатель работает по циклу, состоящему из изотермического, изобарного и адиабатного процессов, причем изобарный процесс является процессом нагревания от температуры T1 = 200 К до температуры T2 = 600 К. Рабочим телом является идеальный газ. Найти: 1) КПД этого цикла; 2) КПД цикла Карно, совершаемого между максимальной и минимальной температурами рассматриваемого цикла.

Рассматривается неизвестный идеальный газ, совершающий цикл, состоящий из трех заданных процессов, причем последовательность процессов в условии задачи не оговорена.

Так как это цикл теплового двигателя, то работа газа за цикл положительна (Aц > 0). Известно также, что изобарный процесс является процессом нагревания, следовательно, и процессом расширения (так как V/T = const). Эти два условия позволяют считать, что в координатах р-V прямая, изображающая изобарный процесс, лежит выше кривых, изображающих изотермический и адиабатный процессы. При этом последовательность

где mµ и i – неизвестные из условий задачи число количество вещества и число степе-

ней свободы молекулы.

Количество теплоты, отданное в процессе 3-1, равно работе газа в этом процессе и может быть найдено по формуле (4.3). После подстановки выражения для давления из уравнения Клапейрона-Менделеева получим

причем отношение объемов V1/V3 неизвестно. Это отношение можно получить из уравнений изобары 1-2 и адиабаты 2-3:

Извлекая корень степени (γ – 1) из второго уравнения и умножая почленно на первое уравнение, получим:

Таким образом,

Подставляя выражения (2) и (3) в (1) и сокращая одинаковые сомножители, полу-

чим

Так как γ = i +i 2 , то после преобразований имеем

Коэффициент полезного действия цикла Карно, совершаемого между максимальной T2 и минимальной T1 температурами рассматриваемого цикла согласно (5.2):

ηК = 0,67

6. СРЕДНЯЯ ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА МОЛЕКУЛЫ

Согласно молекулярно-кинетической теории среднее число соударений, испытываемых молекулой за единицу времени,

где п – концентрация молекул, v – средняя скорость молекул, рассчитываемая по

формуле (3.5), d – эффективный диаметр молекулы.

Эффективный диаметр молекулы, строго говоря, зависит от температуры газа. Однако в первом приближении его можно считать постоянным для молекул данного газа. Его значения находят в соответствующих таблицах. Произведение πd2 пропорционально эффективному сечению молекулы.

Средняя длина свободного пробега молекулы

Анализ и решение задач этого параграфа проводятся в такой последовательности:

1.Выяснить, что является объектом задачи: идеальный газ в равновесном состоянии или некоторый квазистатический процесс.

2.В случае равновесного или квазиравновесного состояния газа величины λ, Z могут быть рассчитаны по формулам (6.1) и (6.2). Эффективный диаметр молекулы, если он не задан, находится из таблиц. Остальные величины находятся по соответствующим формулам: например, средняя скорость по формуле (3.5), концентрация по формуле (2.1). Если газ назван, то его молярную массу следует считать известной.

3.Если газ переходит из одного равновесного состояния в другое, то для нахождения изменения средней длины свободного пробега следует найти соотношения между параметрами начального и конечного состояний газа (см., например, задачу 6-2) и найти характер зависимости средней длины свободного пробега от параметров состояния газа. При этом могут быть использованы уравнение Клапейрона-Менделеева и уравнения процессов.

Задача 6-1

Азот, взятый в количестве т = 0,03 кг, занимает при давлении р = 1,2·105 Па объем V = 0,02 м3. Эффективный диаметр молекулы азота d = 3,1·10-10 м. Найти: 1) среднее число столкновений за 1 с и среднюю длину свободного пробега молекулы; 2) во сколько раз средняя длина свободного пробега молекулы больше ее эффективного диаметра.

Рассматривается идеальный газ в равновесном состоянии, для которого среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекулы могут быть найдены по формулам (6.1) и (6.2), для чего необходимо найти концентрацию молекул и среднюю скорость.

Концентрация молекул

Для нахождения средней скорости молекул в формулу (3.5) следует подставить выражение для температуры из уравнения Клапейрона-Менделеева, что дает

Подстановка числовых значений дает

Задачи 6-2

Найти, во сколько раз изменится средняя длина свободного пробега молекулы при двукратном увеличении объема газа, если расширение происходит: а) изобарно, б) изотермически.

Рассматривается идеальный газ, участвующий в квазистатических процессах, причем и обоих процессах V2/V1 = 2.

Длина свободного пробега λ зависит от характеристик молекул газа (d, m0), искомое отношение λ2/λ1, очевидно, не зависит от природы газа.

Отношения длин свободного пробега в двух состояниях газа, согласно (6.2),

λ2/λ1 = n1/n2.

При неизменном количестве газа концентрации обратно пропорциональны объемам (n = N/V), следовательно, независимо от характера процесса расширения

λ2 = V2 = 2 .

λ1 V1

7. ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЯЗАТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.Найти молярную массу, давление и плотность смеси 10 г водорода и 112 г азота, находящейся в объеме 2 л при температуре 550 К.

Ответ: 0,014 кг/моль; 2,05·107 Па; 61 кг/м3.

2.Найти число молекул, содержащихся в 3 л кислорода при давлении 2 атм, если их средняя квадратичная скорость 500 м/с.

Ответ: 1,37·1023.

3.Найти среднеквадратичную скорость, среднюю кинетическую, энергию поступательного движения и среднюю полную кинетическую энергию молекулы гелия и молекулы азота при температуре 27°С. Найти полную энергию всех молекул, содержащихся

в56 г каждого из этих газов.

Ответ: 1370 м/с; 520 м/с; 6,2·10-21 Дж; 6,2·10-21 Дж; 6,2·10-21 Дж; 1,0·10-20 Дж; 5,2·104 Дж; 1,2·104 Дж.

4.Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа при нормальных условиях равна 461 м/с. Какое количество молекул содержится в 1 г этого газа?

Ответ: 1,88·1022.

5.Кинетическая энергия поступательного движения. молекул азота в сосуде объёма 0,02 м3 равна 5·103 Дж, а средняя квадратичная скорость его молекул равна 2·103 м/с. Найти массу и давление азота в сосуде.

Ответ: 2,5·10-3 кг; 1,67·105 Па.

6.Найти энергию вращательного движения молекул, содержащихся в 1 кг азота при 7°С?

Ответ: 8,3·104 Дж.

7.Газ при давлении 2 атм занимает объем 4 л. Найти внутреннюю энергию газа для кислорода, гелия и метана.

Ответ: 2,03·103 Дж; 1.21·103 Дж; 2,43·103 Дж.

8.При изобарном нагревании гелия поглощено 836 Дж теплоты. Найти изменение внутренней энергии и работу, совершенную газом.

Ответ: 502 Дж; 334 Дж.

9. Один моль некоторого идеального газа изобарически нагрели на 72 К, сообщив ему количество теплоты 1,50 кДж. Найти совершенную газом работу, приращение его

внутренней энергии и отношение C p .

CV

Ответ: 0,60 кДж; 0,90 кДж; 1,66.

10. Один моль кислорода, находящегося при температуре 290 К, адиабатически сжали так, что его давление возросло в 10 раз. Найти температуру газа после сжатия и работу внешних сил.

γ −1

Ответ: T2 =T1n γ = 560 К ; A' = 5,6 кДж.

11. 280 г окиси углерода сначала подвергают адиабатному расширению до тех пор, пока температура не понизится на 10 К, после чего изохорно нагревают до прежней температуры. Найти работу, совершенную газом, и количество полученной или отданной теплоты в течение всего процесса.

Ответ: 2080 Дж; 2080 Дж.

12. Вычислить γ = C p для газовой смеси, состоящей из 2 молей кислорода и 3 мо-

CV

лей углекислого газа. Газы считать идеальными.

Ответ: 1,36.

13.При адиабатном сжатии 2 молей двухатомного газа в тепловом двигателе, работающем по идеальному циклу Карно, внешние силы совершают работу 9000 Дж. Температура холодильника 280 К. Найти КПД цикла.

Ответ: 0,44.

14.88 г двуокиси углерода, занимающей при температуре 3°С объем 2 л, совершают цикл, состоящий из трех этапов: 1) изотермическое сжатие до объема 1 л; 2) изобарическое расширение до прежнего объема; 3) изохорическое охлаждение до исходного состояния. Найти изменение внутренней энергии на каждом этапе, работу за весь цикл

иКПД цикла.

Ответ: 1) 0; 2) 13,5·103 Дж; 3) –13,5·103 Дж. 1380 Дж; 0,077.

15.Двухатомный газ совершает круговой процесс, состоящий из двух изохор и двух изобар: V1 = 0, l м3; V2 = 0,25 м3; p1 = 1,0·105 Па; p2 = 2,5·105 Па. Найти КПД цикла.

Ответ: 0,13.

16.Найти относительное число молекул (в процентах), скорость которых отличается от среднеквадратичной не более, чем на 1 %.

Ответ: 1,9 %.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО МЕТОДОЛОГИЧЕСКИМ И МИРОВОЗЗРЕНЧЕСКИМ ВОПРОСАМ В КУРСЕ МЕХАНИКИ И МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ

ВВЕДЕНИЕ

Формирование научного мировоззрения студентов происходит в процессе воспитания и обучения в целом. Что касается физики, то она относится к наиболее фундаментальным наукам, изучаемым в высшей школе. Необходимо учитывать также, что курс общей физики в технических высших учебных заведениях читается на I и II курсах. Именно здесь, в начале обучения, важно привить студентам интерес к процессу научного познания.

Усвоение таких основных физических принципов, как законы сохранения, относительность и инвариантность, динамические и статистические закономерности, корпус- кулярно-волновой дуализм и т. д. представляет существенный этап в формировании мировоззрения.

Исторический материал в курсе физики делает курс более «живым», сближает его с реальным процессом развития науки – противоречивым, диалектичным, сложным. В курсе физики исторический материал должен быть связан с методологическими задачами этого курса, прежде всего демонстрировать, как «делается наука», «как это получается или не получается».

Необходимо подчеркнуть, что мировоззренческие вопросы должны пронизывать весь курс. Совершенно недостаточно и неэффективно ограничиться упоминанием о философской стороне дела только во вводной лекции. Укажем также на то, что этим вопросам нужно посвящать специальное время и обращать внимание студентов на различные философские обобщения, которые вытекают из явлений, изучаемых физикой.

В первой, вступительной лекции, где определяется предмет физики и методы физического исследования, следует подчеркнуть, что физика является базовой дисциплиной для большого числа общеинженерных и специальных технических дисциплин. Ее

законы и методы исследования широко применяются в курсах сопротивления материалов, электротехники, теплотехники, в различных технологических курсах и т. д.

Останавливаясь на связи физики с техникой, разумно указать на сложность этой связи: часто между физикой и техникой нельзя провести резких границ. В настоящее время для того, чтобы устанавливать новые физические закономерности, чтобы глубже проникать в тайны природы, необходим чрезвычайно высокий уровень техники – очень сложные приборы и сооружения. С другой стороны, технический прогресс приводит к тому, что мы своими «удлиненными руками» захватываем то, что и не ожидали ухватить и, ухватив, не можем сразу объяснить. Таким образом возникают новые физические проблемы.

{Нельзя также забывать, что научно-исследовательские организации все в большей степени ориентируют свою деятельность на решение производственных задач. Внедрение новых научных разработок зачастую осуществляется непосредственно на производстве, в результате чего не только инженеры-исследователи, но и инженерыпроизводственники становятся активными участниками, а нередко и соавторами новых разработок. Существенно увеличивается и объем исследовании, выполняемых самими промышленными предприятиями, в лабораториях и цехах которых создаются новые технологические процессы и изделия.

Необходимо учитывать далее, что в современных условиях научно-технической революции происходит интеграция дисциплин, относящихся к традиционно разным областям науки, техники и культуры. Быстро развиваются, например, инженерная психология, техническая эстетика, эргономика и другие дисциплины, в которых органически объединяются черты, методика и задачи, характерные для естественных и гуманитарных наук, техники и искусства. Важнейшее социальное значение приобретают такие комплексные проблемы, как «человек и машина» и «человек и среда». В их разработке участвуют физики и математики, инженеры и биологи, психологи и архитекторы, художники и медики. Синтезирующая и организационная роль в таких проблемах нередко принадлежит инженерам.

Таким образом, особенности современного развития науки и техники делают все более очевидным, что квалификация специалиста определяется не только объемом его знаний, но и уровнем понимания общих законов развития, а также его умением формулировать встающие перед ним. задачи и решить их с минимальными затратами времени, средств и сил. Все это приводит к необходимости развития у будущих инженеров