МЭИ(ТУ) Физика

5.4. На ступенчатый цилиндрический блок намотаны в противоположных направлениях две невесомые нерастяжимые нити, к которым подвешены грузы m1 = 0,3 кг и m2 = 0,2 кг (см. рис. 5.1). Найти угловое ускорение блока и натяжение нитей, если мо-

Рис. 5.1 Рис. 5.2

5.5. Маховик В массой т = 1000 кг жестко связан со шкивом А (см. рис. 5.2). К окружности шкива, радиус которого r = 0,2 м, приложена постоянная сила F = 100 Н. Масса маховика распределена по его ободу на расстоянии R = 1 м от оси вращения. Через какой промежуток времени угловая скорость маховика достигнет значения

ω= 5 рад/с?

5.6.Груз массой m = 10 кг, падая, тянет нить, перекинутую через невесомый блок А и намотанную на шкив В радиуса r = 0,4 м, к которому прикреплены четыре спицы с

точечными грузами m1 = 1,0 кг каждый. Грузы закреплены на расстоянии R = 0,5 м от оси вращения (см. рис. 5.3). Момент инерции шкива В со спицами I0 = 1,0 кг·м2. Найти натяжение нити.

B

5.7.На диск массой m = 6 кг намотана нить, один конец которой прикреплен к потолку (см. рис. 5.4). Предоставленный самому себе диск падает вниз, разматывая нить. Найти ускорение центра масс диска при его падении и натяжение нити.

5.8.Маховик, представляющий собой однородный диск радиусом R = 8 см с массой m = 49 кг, вращается, делая n = 600 об/мин. Его останавливают, придавливая тормоз-

ную колодку к поверхности маховика с силой F=392 Н. Сколько оборотов сделает маховик за время торможения, если коэффициент трения колодки о поверхность диска

µ= 0,3?

5.9.По наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол α = 30°, скатывается без скольжения под действием силы тяжести диск. С каким ускорением будет двигаться параллельно наклонной плоскости центр тяжести диска?

Указание. При качении тело участвует в двух движениях: поступательном вместе с центром масс и вращательном относительно центра масс.

Для поступательного движения скатывающегося с наклонной плоскости тела следует применить теорему о движении центра масс. Рассматривая вращательное движение скатывающегося тела, нужно обратить внимание на то, что центр тяжести движется ускоренно, и поэтому система отсчета, связанная с ним, не инерциальна. Законы динамики в такой системе можно применять, если кроме реально действующих сил ввести силу инерции, равную произведению массы тела на ускорение системы со знаком минус. Однако вращательного момента она не создает, так как сила инерции должна быть приложена к центру масс. Поэтому основное уравнение динамики вращательного движения в неинерциальной системе, связанной с центром масс, оказывается таким же, как если бы система была инерциальной.

Основное уравнение для вращения можно записать еще относительно мгновенной оси, проходящей через точку соприкосновения катящегося тела с плоскостью (в каждый данный момент скорость этой точки равна нулю). В этом случае момент инерции катящегося тела следует рассчитывать по теореме Штейнера.

5.10.Колесо, скатившись по наклонной плоскости, получило скорость v = 20 м/с.

Найти угол, который наклонная плоскость составляет с горизонтом, если колесо скатилось с нее за время τ = 5 с. Массу колеса считать равномерно распределенной по ободу.

5.11.Колесо вкатывается без скольжения на наклонную плоскость, составляющую

сгоризонтом угол α, под действием постоянной силы F, приложенной к оси колеса и направленной вдоль наклонной плоскости. Найти ускорение центра масс колеса. Массу колеса считать равномерно распределенной по ободу.

5.12.Маховик А приводится во вращение так, как показано на рис. 5.5. Момент инерции маховика I, радиус r, масса груза B равна m, коэффициент трения между грузом и наклонной плоскостью µ (наклонная плоскость составляет с горизонтом угол α). Найти угловую скорость маховика ω как функцию времени.

r

5.13.Через невесомый блок перекинута нить; к одному концу нити прикреплен груз массой m = 0,5 кг, другой конец нити намотан на цилиндрический шкив той же массы и радиуса r = 0,1 м (см. рис. 5.6). Груз и шкив предоставляются самим себе. Найти натяжение нити во время движения груза и шкива и угловое ускорение шкива. При решении задачи принять, что центр шкива движется по вертикальной прямой.

5.14.Две нити намотаны на ступенчатый блок и к их свободным концам прикреплены грузы, как показано на рис. 5.7. Найти ускорения грузов в системе при следую-

щих данных: момент инерции блока относительно оси вращения I = 0,01 кг·м2, m1 = 5 кг, m2 = 2 кг, α = 30°, r1 = 0,08 м, r2 = 0,04 м. Трение не учитывать.

5.15.На горизонтальной плоскости лежит цилиндр массой m1 = 10,0 кг. На цилиндр намотана нить, к свободному концу которой прикреплен груз массой m2 = 5,0 кг. Нить перекидывается через невесомый блок и система предоставляется самой себе (рис. 5.8). Предполагая, что цилиндр катится по плоскости без скольжения и нить не провисает, найти ускорения груза и центра масс цилиндра, а также силу натяжения нити.

5.16.На цилиндр массой m1 = 1,0 кг намотана нить, перекинутая через невесомый блок, вращающийся без трения (см. рис. 5.8), к концу нити привязан груз массой m2 = 1,0 кг. Трение между поверхностью цилиндра и плоскостью отсутствует. Найти ускорение цилиндра, груза и натяжение нити.

5.17.К тележке, стоящей на горизонтальной плоскости, привязана нить, перекинутая через укрепленный у края стола невесомый блок; к концу нити прикреплен груз

массой m1 = 500 г. Найти ускорение тележки, если масса платформы тележки m2 = 1,40 кг, масса каждого колеса m3 = 400 г. Колеса представляют собой сплошные диски и катятся по поверхности стола без скольжения (тележка имеет четыре колеса) (см. рис. 2.1, б).

5.18.На двух цилиндрических катках радиусом R и массой т каждый, лежащих на горизонтальной плоскости, находится доска массой т1, к которой приложена горизонтальная сила, Найти величину этой силы, если угловое ускорение катков ε. Считать, что скольжение отсутствует.

5.19.На горизонтальном столе лежит катушка с намотанной на нее ниткой. Нитка перекинута через невесомый блок и к концу ее подвешен груз т1. Принимая, что катушка катится без проскальзывания, найти ускорения центра масс катушки и груза. Масса катушки т, момент инерции I, характерные размеры R и r (см. рис. 5.9).

5.20.По наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол α, катится вверх без проскальзывания катушка с намотанной на нее ниткой. Нитка перекинута через невесомый блок и к ней привязан груз массой т1 (см. рис. 5.10). Найти ускорение груза и центра тяжести катушки, считая момент инерции катушки равным I, массу катушки т2. Радиусы катушки R и r.

5.21.Найти кинетическую энергию цилиндрического снаряда радиусом r, вылетающего из орудия со скоростью v. Шаг винтовой нарезки ствола h, масса снаряда т.

5.22.Тупоконечная пуля за время равноускоренного движения в стволе ружья по его нарезкам сделала n = 20 оборотов. Время движения пули в стволе t = 0,004 с. Длина ствола ружья l = 0,5 м. Какой кинетической энергией обладает пуля при вылете из ствола? Пуля представляет собой цилиндр, масса которого m = 0,02 кг, радиус пули r = 0,005 м.

5.23.При n = 5 об/с кинетическая энергия маховика Wк, вращающегося вокруг оси, равна 1000 Дж. Какую силу надо приложить по касательной к его ободу, чтобы за вре-

мя τ = 30 с уменьшить число оборотов в k (k = 2) раз? Маховик представляет собой сплошной диск радиуса R = 20 см.

5.24.Маховик с моментом инерции I = 0,5 кг·м2 соединен со шкивом радиуса r = 4 см. На шкив навернута нить, к концу которой привязан груз массой m = 500 г. Груз устанавливают на высоте h = 1 м от поверхности пола. С каким числом оборотов в секунду будет вращаться маховик, когда груз достигнет пола?

5.25.Под действием вращающего момента, равного М, маховик стал вращаться равноускоренно. Найти кинетическую энергию маховика через время τ после начала движения. Момент инерции маховика I.

5.26.Нить намотана на цилиндрический блок массой т1 = 2,40 кг. К свободному концу нити привязан груз массой m2 = 400 г. Найти ускорение груза и его кинетическую энергию после того, как груз пройдет расстояние h = 80 см.

5.27.Однородный стержень длиной l = 4,0 м может вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через один из его концов. Какую горизонтальную скорость необходимо сообщить нижнему концу стержня, чтобы последний достиг горизонтального положения?

Указание. Движение стержня удобно рассматривать как чисто вращательное относительно неподвижной оси. Не забудьте, что изменение потенциальной энергии определяется по изменению положения центра тяжести тела.

5.28.Однородный стержень длиной l = 1 м может вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к его длине, отстоящей от одного из концов стержня на расстояние h = 0,3 м. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают. Найти линейную скорость центра масс при прохождении стержня через вертикальное положение.

5.29.Обруч скатывается без скольжения по наклонной плоскости, высота которой h = 0,2 м. Найти скорость обруча в нижней точке наклонной плоскости.

Указание. При качении без скольжения имеется сила трения, которая создает вращающий момент относительно оси, проходящей через центр масс катящегося тела. Так как проскальзывание отсутствует, работа этой силы трения равна нулю.

5.30.Обруч и диск одинаковых масс и диаметров скатывают с одной и той же наклонной плоскости. Диск скатывается быстрее, чем обруч, на τ = 0,155 с и приобретает

вконце наклонной плоскости скорость v1 = 4 м/с. Найти длину наклонной плоскости.

5.31. По наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол α = 30°, катятся без скольжения сплошной и полый цилиндры одинакового радиуса и одинаковой массы m = 1,0 кг, скрепленные стержнем, как показано на рис. 5.11. Найти ускорение

центра тяжести системы и натяжение в стержне. Стержень счи- Рис. 5.11 тать невесомым.

5.32.Тонкий невесомый стержень длиной l = 0,80 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его середину и перпендикулярной его длине. К концам стержня прикреплены небольшие тела массами m1 = 0,80 кг и m2 = 0,20 кг. Стержень приводят в горизонтальное положение и предоставляют самому себе. Найти угловую скорость и угловое ускорение стержня в зависимости от угла поворота. Тела m1 и т2 считать точечными.

5.33.В условиях предыдущей задачи найти силу давления стержня на ось в горизонтальном и вертикальном положении.

5.34.На скамье Жуковского стоит человек, держа в вытянутых в стороны руках по гире массой m = 10 кг каждая. Расстояние между осью вращения и каждой гирей при этом r1 = 0,75 м. Скамью приводят во вращение со скоростью п1 = 0,50 об/с и предоставляют систему самой себе. Какую работу должен произвести человек, чтобы во время

вращения системы приблизить гири к оси вращения до расстояния r2 = 25 см? Момент инерции человека и скамьи относительно оси вращения I0 = 0,60 кг·м2 считать постоянным. Трением пренебречь.

5.35.На неподвижной скамье Жуковского стоит человек, держа в руках ось мас-

сивного колеса, вращающегося в горизонтальной плоскости с числом оборотов n = 10 об/с. Ось колеса совпадает с осью вращения скамьи Жуковского. Найти угловую скорость системы после того, как человек повернет колесо на угол π вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр масс колеса. Моменты инерции относительно оси вращения: человека I1 = 1,8 кг·м2, скамьи I2 = 0,4 кг·м2 и колеса I3 = 1,0 кг·м2.

5.36. Человек стоит на скамье Жуковского, держа в руках ось неподвижного колеса, направление оси которого совпадает с осью вращения скамьи. Найти угловую скорость, которую получит система, если человек усилием рук приведет колесо во вращение со скоростью n = 1 об/с. Моменты инерции относительно оси вращения: человека I1 = 1,2 кг·м2; скамьи I2 = 0,4 кг·м2; колеса I3 = 0,8 кг·м2.

5.43. Тонкий однородный стержень массой т и длиной l может

C1

вращаться вокруг вертикальной оси (рис. 5.13). В конец стержня попадает пуля массой m1, летящая горизонтально перпендикулярно стержню со скоростью v. Пуля застревает в стержне. Найти кинети-

ческую энергию системы после попадания пули. Как изменилась энергия системы после попадания пули?

5.44. Однородная доска массой m1 = 1,25 кг может свободно

вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через ее верхний

Рис. 5.13

край перпендикулярно ее длине. В доску попадает пуля, двигавшаяся горизонтально с некоторой скоростью в направлении, перпендикулярном плоскости

доски, и застревает в ней. Находившаяся первоначально в покое доска после удара пули отбрасывается от своего вертикального положения на угол α = 70°. Найти скорость пули перед ударом о доску, если расстояние точки попадания пули до оси вращения доски h = 60 см, а расстояние центра тяжести доски до оси вращения l = 40 см. Масса пули m = 10 г. Момент инерции доски относительно оси вращения I = 0,25 кг·м2 (рис. 5.14).

5.45.Подвешенный на шарнире однородный стержень длиной l = 30 см и массой т1 = 3 кг падает без начальной скорости из горизонтального положения. В вертикальном положении конец стержня ударяет небольшой груз призматической формы массой m = 500 г, сообщая ему движение по горизонтальной плоскости. Считая удар стержня о груз неупругим, найти расстояние, которое пройдет груз. Груз рассматривать как материальную точку. Коэффициент трения µ = 0,1 (рис. 5.15).

5.46.Шарик радиуса r = 1 см скатывается без скольжения по расположенному в вертикальной плоскости желобу, образующему круговую («мертвую») петлю радиусом R = 20 см. Пренебрегая сопротивлением, найти, с какой наименьшей высоты над горизонтальной плоскостью, проходящей через нижнюю точку петли, надо пускать шарик, чтобы он описывал полную окружность.

6. Колебания и волны

При гармонических колебаниях, когда смещение тела (линейное или угловое) опи-

смещение имеют противоположные направления). Коэффициент пропорциональности

ω2 есть квадрат собственной частоты свободных колебаний, а период T = 2ωπ . Решая

задачи подобного рода, следует задать системе некоторое смещение из положения равновесия. Записывая II закон Ньютона (в случае поступательного движения) или основное уравнение динамики (при вращательном движении), выражаем ускорение и, обнаруживая его связь со смещением, находим собственную частоту и период колебаний.

6.1. Материальная точка совершает гармонические колебания, амплитуда смещений и наибольшая скорость которых соответственно равны A = 0,5 мм и vmax = 5 см/с.

Найти частоту колебаний точки.

Указание. Записать закон движения материальной точки и использовать дифференциальную связь скорости и смещения.

6.2.Материальная точка совершает гармонические колебания по закону синуса с амплитудой А. Найти, сколько времени (в долях периода) требуется для смещения точки на расстояние A/2 от ее положения равновесия. Сколько времени требуется для перехода точки из этого положения в положение, наиболее удаленное от положения равновесия?

6.3.Расстояние точки, совершающей гармонические колебания, до ее начального

положения равновесия (центра колебания) определяется уравнением x = A sin(bt + c),

где А, b, с – постоянные величины. Найти скорость и ускорение этой точки в зависимости от х.

6.4. Материальная точка совершает два взаимно перпендикулярных колебания, для которых измеренные в мм смещения определяются уравнениями x =10sin π4 t ,

материальной точки.

требуется разложить на два гармонических колебания того же периода и того же направления так, чтобы начальные фазы слагаемых колебаний были 0,3π и 0,05π.

Указание. Задачу следует решать с помощью векторной диаграммы, на которой каждое колебание рассматривается как проекция некоторого вращающегося вектора на неподвижную ось.

6.6. Сколько будет биений в секунду при сложении двух гармонических колебаний,

6.7.Наибольший угол отклонения математического маятника длиной l = 1,0 м от его вертикального положения α1 = 3°. Найти, через какой промежуток времени после прохождения маятником отвесного положения угол его отклонения от этого направления будет равен α2 = 2°. Чему равны в этот момент угловая скорость маятника и линейная скорость его конца?

6.8.Упругая пружина закреплена верхним своим концом в неподвижной точке, к нижнему концу подвешен груз массой m = 4,0 кг. В недеформированном состоянии пружина имеет длину L = 50 см и под действием статической нагрузки, равной силе тяжести подвешенного груза, вытягивается на l0 = 9,0 см. Груз приводится в положение, при котором длина пружины делается равной l = 54 см и отпускается без начальной скорости. Найти период колебаний груза Т и наибольшую силу натяжения пружи-

ны Fmax.

6.9. Налитую в U-образную трубку (рис. 6.1.) жидкость выводят из положения равновесия и предоставляют самой себе. Пренебрегая капиллярными силами и силами трения, найти период колебаний Т налитой в трубку жидкости. Объем трубки, занимаемый жидкостью, принять равным объему цилиндра одинакового поперечного сечения и длиной, равной длине осевой линии трубки l = 50 см.

6.10. Жидкость налита в трубку, изогнутую так, что ее колена образуют с горизонтом углы α и β. Найти период колебаний жидкости, налитой в эту трубку и выведенной из положения равновесия, если длина осевой линии трубки l. Капиллярные силы и вязкость не учитывать.