МЭИ(ТУ) Физика
.pdf
относительное число молекул может быть приближенно найдено по формуле
∆N |
4 |
v2 |
e |
−v2 / vB2 ∆v |
|
|
N = |
π |
vв2 |
vв |
, |
(2) |
где
∆v = v2 − v1 , v = v1 +2 v2 .
В первом случае скорости молекул должны лежать в интервале от (vв – 10) м/с до
(vв + 10) м/с. Это значит, что
∆v = 20 |
м ; |
|
|
|
с |
v = vв = |
2RT . |
|
|
|
µ |
При t1 = 27°C vв1 = 15,8·102 м/с; при t2 = 227°C vв2 = 20,4·102 м/с.
Подставляя найденные значения наиболее вероятной скорости в формулу (2) и учитывай, что v = vв, получим
∆N1 |
= |
4 |
e−1 0,2 |
=1,0% ; |
N |
|
π |
15,8 |
|
∆N2 |
= |
4 |
e−1 0,2 |
= 0,81% . |
N |
|
π |
20,4 |
|
Таким образом, с увеличением температуры число молекул, скорости которых лежат вблизи наиболее вероятной, уменьшается.
Во втором случае надо найти относительное число молекул, скорости которых лежат в пределе от v до v + ∆v, где
v = 40 102 мс ;
∆v = 0,2 102 мс .
При t1 = 27°C
v2 |
= 6,4 ; e− |
v2 |
|
vв2 |
=1,7 10−3 ; |
||
vв2 |
|
|
|
∆N 3 = |
|
4 |
6,4 1,7 10 |
−3 |
0,2 |
= 0,03% . |
|
N |
|
|
π |
|
|
15,8 |
|
При t2 = 227°C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
v2 |
= 3,8 ; e−vvв2 = 2,7 10−2 ; |
|||||
|
vв2 |
|
|
|
|
|
|
∆N4 |
= |
4 |
3,8 2,7 10 |
−2 |
0,2 |
= 0,23% . |
|
N |
|
π |
|
|
20,4 |
||
Таким образом, число молекул, скорости которых велики, т. е. v > vв с возрастанием температуры увеличивается.
Если проделать подобный расчет для интервала от v до v ± ∆v, где v < vв то мы по-
лучили бы, что с ростом температуры относительное число молекул, скорости которых лежат в указанном интервале, будет уменьшаться. Это значит, что максимум кривой максвелловского распределения (рис. 33) будет с ростом температуры уменьшаться и смещаться вправо; для v < vв кривая, соответствующая большей температуре, пойдет выше первоначальной.
T1 < T2
Рис. 33
Задача 11
При опытном определении числа Авогадро по методу Перрена было найдено, что при увеличении высоты наблюдаемого слоя жидкости на величину h =13 мкм концентрация частичек гуммигута уменьшается вдвое. Найти радиус частичек, если температура опыта t = 17°C, плотность гуммигута ρ = 1,2·103 кг/м3, плотность жидкости (сла-
бый спиртовой раствор) ρ1 = 0,9·103 кг/м3.
АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ
Мелкие частички, взвешенные в жидкости или в газе, ведут себя подобно молекулам, поэтому изменение их концентрации с высотой подчиняется распределению Больцмана:
n = n0 e |
− U |
(1) |
kT , |
где п – концентрация на высоте h; U – потенциальная энергия на высоте h; n0 – концентрация на высоте h = 0, принимаемой за начало отсчета потенциальной энергии.
Потенциальная энергия одной частички на высоте h может быть записана как |
|
U =V ( ρ − ρ1 )gh , |
(2) |
где V – объем одной частички.
Поставляя в равенство (1) логарифм отношения nn0 , равного по условию задачи двум, и выражение (2) для потенциальной энергии, получим
V = |
kT ln 2 |
= 72,5 10−21 м3 . |
(3) |
|||
( ρ − ρ |
1 |
)gh |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
Рассматривая каждую частичку гуммигута как правильный шар искомого радиуса r, найдем r = 2,58·10-7 м.
Необходимо указать студентам на то, что распределение Больцмана не зависит от уровня, выбираемого за начало отсчета для потенциальной энергии.
Задача 12
Рассчитать среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при температуре t = 17°C и давлении p = 1 атм, если эффективный диаметр d молекул воздуха можно принять равным 3·10-8 см.
АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ
Средняя длина свободного пробега может быть непосредственно рассчитана по формуле
λ = |
1 |
|
2πd 2 n0 . |
(1) |
Если концентрацию n0 молекул выразить как отношение
n0 = kTp ,
то при подстановке получим
λ = |
kT |
=10−5 см . |
|
2πd 2 p |
|
После расчета следует разобрать, как будет меняться длина свободного пробега в зависимости от температуры и давления в различных процессах при условии, что эффективный диаметр предполагается постоянным. Полученные результаты удобно занести в таблицу:
|
V = const |
p = const |
T = const |
|||
|
|
|
|
|
|
|
λ(p) |
const |
– |
~ |
|
1 |
|
|
|
|
|
p |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
λ(T) |
const |
~ T |
|
– |
||
|
|
|
|
|
|
|
λ = |
1 |
|
2πd 2 n0 . |
(2) |
|
Из условия λ =100 а и формул (1) и (2) находим |
|
|
n0 = ( |
2πd 2 100)−32 . |
(3) |
Подставляя числовые значения, найдем, что искомая концентрация для водорода n0 = 8,7·1024 м-3; для азота n0 = 3,5·1024 м-3.
Задача 14
Известно, что относительное число молекул, длина свободного пробега которых лежит в пределах от х до x + dx определяется формулой
x
dNN = Ae −λ0 dx ,
где А – некоторый постоянный коэффициент, λ0 – средняя длина свободного пробега. Найти коэффициент А и относительное число молекул, длина свободного пробега которых больше, чем 2λ0.
АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ
Отношение dNN показывает вероятность того, что длина свободного пробега моле-
кулы лежит в пределах от х до x + dx. Вероятность того, что длина свободного пробега молекулы лежит в пределах от x1 до х2, может быть найдена интегрированием:
x |
Ae− |
x |
|
|
W = ∫2 |
|
|
|
|
λ0 dx . |
(1) |
|||
x1 |
|
|
|
|
Вероятность того, что длина свободного пробега лежит в пределах от нуля до бесконечности, обязательно равна единице:
∞∫ Ae− |
x |
|
|
λ0 dx =1. |
(2) |
||
0 |
|
|
|
Произведя интегрирование, найдем значение коэффициента А, называемого обычно нормирующим множителем. (В максвелловском распределении нормирующим множи-
телем является сомножитель |
4 |
; находится он аналогично.) Итак, |
|
π |
|
∞− x
∫Ae λ0 dx =1,
0
откуда
A = 1 .
λ0
Найдя множитель А, можно найти относительное число молекул, длина свободного пробега которых равна или больше 2λ0:
∆N |
= ∞∫ |
1 |
|
e− |
x |
|
|||
|
λ0 dx . |
||||||||
N |
λ |
0 |
|
||||||
|
2λ0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
После интегрирования получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆N |
= e−2 |
|
= 0,13 . |
|||||
|
N |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 15
Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами заполнено водородом при нормальном давлении р0 и температуре t = 17°C. Радиусы цилиндров соответственно равны r1 = 10,0 см и r2 = 10,5 см. Внешний цилиндр приводят во вращение со скоростью ν = 15 об/с. Какой момент нужно приложить к внутреннему цилиндру, чтобы он оставался неподвижным? Длина цилиндров l = 30 см. Эффективный диаметр молекул водорода d = 2,3·10-8 см.
АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ
Слой молекул газа, адсорбированный внутренней поверхностью вращающегося цилиндра, будет обладать той же направленной скоростью, что и цилиндр, т. е.
u2 = 2πνr2 . |
(1) |
В пространстве между цилиндрами (на расстоянии ∆r = 0,5 см) направленная скорость молекул будет непрерывно (и, мы предположим, линейно17) уменьшаться до нуля: молекулы, адсорбированные внешней поверхностью меньшего (внут-
17 Предположение линейной зависимости скорости для плоской задачи, т. е. если ∆r << r.
Рис. 34
реннего) |
цилиндра, |
будут |
неподвижны |
(рис. |
34), |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
u1 = 0 . |
|
(2) |
|
|
Сила, действующая на боковую поверхность внутреннего цилиндра, |
|
||||
F = dudr η S ,
где η – коэффициент внутреннего трения водорода при заданных условиях, S – боковая
поверхность внутреннего цилиндра, |
du – градиент направленной скорости. |
|
|
|
dr |
|
|
Момент, действующий на внутренний цилиндр, |
|
||
|
M = Fr1 . |
(4) |
|
Подставляя значение F и учитывая, что S = 2πr1l , получим |
|
||
|
M = 2πr lη du . |
(5) |
|
|
1 |
dr |
|
|
|
|
|
Коэффициент внутреннего трения водорода может быть рассчитан по формуле
η = |
1 |
λ |
vρ , |
(6) |
|
3 |
0 |
|
|
где λ0 – средняя длина свободного пробега молекул газа, v – их среднеарифметическая скорость, ρ – плотность газа при заданных условиях.
Ввиду сложности вычислений каждый из сомножителей будем рассчитывать отдельно:
λ0 = |
kT |
=1,7 10−7 |
м; |
|
2πd 2 p |
|
|
|
|
0 |
|
v = |
8RT |
=1,8 103 м |
; |
|
πµ |
с |
|
ρ = RTp0 µ = 8,4 10−2 мкг3 .
Подставляя полученные значения в формулу (6), находим
η = 8,6 10−6 мкгс .
Так как было предположено, что скорость между цилиндрами меняется с расстоя-
нием линейно, то
du = u2 − u1 . dr ∆r
Подставив сюда значения u1 и u2 из выражений (1) и (2), найдем по формуле (5) момент, действующий на внутренний цилиндр:
M = 3,2 10−3 Н м.
При решении задачи следует обратить внимание студентов на размерность коэффициента внутреннего трения и, хотя расчет этого коэффициента производился по формуле (6), выводить размерность коэффициента надо из формулы (3), так как именно при макроскопическом описании явления было введено понятие коэффициента внутреннего трения и определен его физический смысл.
После решения следует рассмотреть зависимость коэффициента внутреннего трения (и теплопроводности) от температуры и давления при разных процессах. Результаты удобно свести в таблицу:
|
p = const |
T = const |
|||
|
|
|
|
|
|
η(p) |
– |
const |
|||
|
|
|
|
||
η(T) |
|
1 |
|
– |
|
~ T 2 |
|||||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
При изотермическом расширении коэффициенты внутреннего трения и теплопроводности не зависят от давления только до тех пор, пока длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению, т. е. до тех пор, пока длина свободного пробега много меньше размеров сосуда.
Задача 16
Сколько жидкого воздуха испарится за 1 час из плохо откаченного дьюаровского сосуда, если поверхность стенок сосуда S = 6·10-2 м2; расстояние между стенками l = 1 см; температура жидкого воздуха t1 = –180°C, температура наружных стенок t2 = 17°C? Теплота испарения жидкого воздуха Λ = 202 кДж/кг; в пустом сосуде, т. е. когда температура обеих стенок t2 = 17°C, давление воздуха p0 = 0,13 Н/м2. Эффективный диаметр молекул воздуха d = 3·10-8 см.
АНАЛИЗ
Прежде всего следует вычислить среднюю длину свободного пробега молекул воздуха, заключенного между стенками дьюаровского сосуда. Если полученная величина
окажется меньше, чем расстояние между стенками сосуда, то можно использовать формулу для коэффициента теплопроводности:
K = |
1 |
λ |
vρc , |
(1) |
|
3 |
0 |
v |
|
где cV – удельная изохорная теплоемкость газа.
Если же окажется, что длина свободного пробега больше или равна расстоянию между стенками, то формула (1) будет неприменима.
Если λ0 > l, то соударениями молекул можно пренебречь и учитывать только удары молекул о стенки сосуда.
В этом случае в пространстве между стенками имеются как бы два встречных потока молекул; один поток– молекулы, летящие со средней скоростью и имеющие среднюю энергию, соответствующую температуре более горячей стенки; другой поток – молекулы, летящие уже со средней скоростью и обладающие средней энергией, соответствующей температуре холодной стенки.
РЕШЕНИЕ
Из условий задачи получим, что
λ0 = |
kT 2 |
= 0,08 м > l . |
|
2πd 2 p |
|||
|
|
||
|
0 |
|
Для расчета теплоты, получаемой 1 см2 холодной стенки сосуда за 1 с, необходимо знать число ударов, испытываемых стенкой за 1 с, и энергию, теряемую одной молекулой при ударе. При расчете предположим, что от стенки к стенке движется одна треть всех молекул, и все молекулы, летящие от стенки с температурой Т, обладают скоро-
стью |
|
|
|
|
|
v = |
3RT |
|
(2) |
|
|
µ |
|
|
и энергией |
|
|
|
|
W0 = |
5 kT . |
|
(3) |
|
|
|
2 |
|
|
Энергия, отдаваемая одной молекулой холодной стенке при ударе, |
|
|||
δW = 5 k(T −T ) , |
(4) |
|||
0 |
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
где T2 – температура наружной стенки, T1 – температура жидкого воздуха.
Число ударов, испытываемых стенкой за 1 с,
z = N3 τ1 ,
где τ – время между двумя последовательными ударами молекулы о холодную стенку, N – общее число молекул.
Учитывая, что
τ = |
l |
+ |
l |
= l |
v1 + v2 |
, |
||
v |
v |
|
|
|||||
|
|
2 |
|
v v |
2 |
|
||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
||
получим значение энергии, теряемой молекулами за 1 с в результате ударов о холодную стенку:
∆W = δW0 |
N |
|
v1v2 |
|
|
. |
(5) |
|||
3 |
|
l(v + v |
2 |
) |
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
Учитывая выражение (2), найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3RT 1T2 |
|
|
|
|
||
|
v1v2 |
= |
|
µ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
T1 + T2 |
|
|
|
|||||
|
v1 + v2 |
|
|
|
|
|||||
Если учесть выражение (4) для δW0, то найдем
∆W = |
5 Nk( T − |
T ) 3RT1T2 . |
(6) |
||
|
6l |
2 |
1 |
µ |
|
|
|
|
|
||
Энергия, теряемая молекулами за промежуток времени ∆t, а следовательно, и теплота, получаемая жидким воздухом,
Q = ∆W ∆t . |
(7) |
Общее число молекул N может быть рассчитано из формулы p = VN kT , что при начальных условиях (давление W0, температура T2) дает
N = |
p0 |
Sl . |
(8) |
|
kT |
||||
|
|
|
||
|
2 |
|
|
Подставив выражения (8) и (6) в формулу (7), найдем
Q = |
5 p0S ( T2 − |
T1 ) |
3RT 1T2 |
∆t = 2,9 Дж . |
|
6T2 |
|
µ |
|