МЭИ(ТУ) Физика

мент импульса системы был равен моменту импульса только второй гантельки, т. е.

r1 sinα1 = r2 sinα2 = 2l

и вектор L1 момента импульса направлен перпендикулярно плоскости рисунка «от нас»

(по определению момент импульса материальной точки Li = [ri mi vi ]). После удара момент импульса системы будет складываться из моментов импульса обеих гантелек:

Такая запись соответствует предположению, что после удара вторая гантель сохранит свое направление движения, а первая будет вращаться вокруг своего центра по часовой стрелке. Учитывая, что после удара первая гантель будет совершать и поступательное, и вращательное движение, закон сохранения энергии для первой гантели за-

РЕШЕНИЕ

Приравнивая правые части выражений (2) и (3) в силу закона сохранения момента импульса, найдем

Подставляя выражение ω 2l в уравнение (4), после элементарных преобразований по-

u1 = 13 (v1 +2v2 ); u2 = 13 (2v1 + v2 );

ω = 34l (v2 − v1 ).

При заданном направлении начальных скоростей скорости u1 , u2 поступательного движения обязательно положительны; столкновение произойдет только при условии, если v1 > v2, следовательно, ω < 0, т. е. первая гантель будет вращаться против часовой стрелки.

Если v2 < 0, то гантели движутся навстречу друг другу, и при v1 = 2 v2 первая ган-

тель будет только вращаться с угловой скоростью ω = − 4 vl 2 . Знак «минус» по-

прежнему указывает, что вращение будет происходить против часовой стрелки. При v1 = 21 v2 после удара остановится вторая гантель.

§ 4. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Кинематика

Механические колебания отличаются от рассмотренных выше видов движения тем, что ускорение при колебательном движении есть переменная величина. В силу этого необходимо тщательно рассмотреть на упражнениях соотношения между кинематическими параметрами колебательного движения.

Изучение колебаний следует начинать с гармонических колебаний. Гармоническим колебательным движением называется такое движение, при котором смещение точки или тела меняется со временем по гармоническому (синусоидальному) закону.

В зависимости от характера движения его можно описывать при помощи либо линейной, либо угловой координаты. И в том, и в другом случаях закон гармонического движения имеет следующий вид:

где х – значение координаты (угловой φ или линейной s) в момент времени t; x0 – ам-

плитуда колебаний (угловая или линейная); ω – круговая частота; ωt +α0 – фаза коле-

корению.

Следует обратить внимание учащихся на то, что:

1) ускорение при гармоническим колебании прямо пропорционально смещению, взятому с обратным знаком, а коэффициент пропорциональности равен квадрату кру-

говой частоты:

d 2 x = −ω2 x ; dt 2

2) величина скорости достигает максимального значения, когда смещение и ускорение равны нулю.

Задача 1

Какова частота, амплитуда и начальная фаза колебаний, заданных уравнением (в

СИ) s = sin(630t +1)? Каковы максимальные скорость и ускорение точки, колеблющей-

ся по заданному закону?

РЕШЕНИЕ

Простое сравнение общей формулы гармонического колебательного движения s = Asin(ωt +α0 )

с заданным законом движения

s = sin(630t +1)

позволяет сразу же ответить на поставленные вопросы:

A =1м; ω = 630 с-1 ;

v = 2ωπ = 20 Гц ; α =1 рад;

vmax =ωA = 630 мс ;

amax = ω2 A = 4 105 см2 .

Задача 2

За какую долю периода тело, совершающее гармонические колебания, пройдет пути, равные половине амплитуды и амплитуде, если в начальный момент тело проходило через положение равновесия?

АНАЛИЗ

Путь l, пройденный телом, в данном случае может быть выражен как разность смещений тела s в разных положениях. Тогда

l = s − s0 ,

где s и s0 – смещения колеблющегося тела от положения равновесия соответственно в

РЕШЕНИЕ

Тело совершает гармонические колебания по закону

s = Asin ωt ; (3)

Такая запись закона движения вытекает из условия, что начальная фаза равна нулю. При t = 0 имеем

s = s0 = 0 ; при t = t1 s = s1 = A2 .

Подставив эти условия в формулу (1), получим

ωt2 = π2 ; t2 = T4 .

Следует сопоставить оба полученных результата, обратив внимание учащихся на то обстоятельство, что путь в два раза больший пройден за время в три раза большее. Рекомендуется подсчитать: 1) время прохождения второй половины амплитуды; 2)

время, в течение которого тело пройдет путь, равный амплитуде, если s0 = A2 , в двух

случаях: когда тело движется от положения равновесия и когда к положению равновесия.

Задача 3

Плоская спиральная пружина совершает гармонические колебания; при этом мак-

Найти амплитуду φ0 и период колебаний.

АНАЛИЗ

Отличительным признаком гармонических колебании является однозначная связь между амплитудой и максимальными значениями скорости и ускорения:

РЕШЕНИЕ

Из формул (1) и (2) получаем

Подставляя числовые значения, находим

ω = 6,3 с-1 ;

откуда

T = 2ωπ =1с; ϕ0 = 0,1 рад.

Динамика

Так как ускорение при гармоническом колебательном движении прямо пропорционально смещению с обратным знаком, то, следовательно, результирующая сила (результирующий вращающий момент), вызывающая движение тела, тоже прямо пропорциональна смещению тела, взятому с обратным знаком. II закон Ньютона (основное уравнение вращательного движения) при этом условии будет иметь вид

m d 2 s = −ks , dt 2

Id 2ϕ = −Dϕ . dt 2

Решения написанных дифференциальных уравнений имеют вид s = s0 sin(ωt +α0 ) и ϕ =ϕ0 sin(ωt +α0 ).

Параметры системы m, и k (J и D) однозначно определяют значение круговой частоты:

ω2 = mk ,

или по аналогии

ω2 = DI .

Значения амплитуды начальной фазы определяются только начальными условиями. Для тела, совершающего гармоническое колебательное движение, имеет место за-

кон сохранения энергии;

Eк + Eп = const ,

где

или

E к = Iω2 2 ; Eп = D2ϕ 2 .

Задача 1

Найти период колебаний физического маятника, совершающего малые колебания, состоящего из однородного стержня длиной l = 30 см; точка подвеса укреплена на расстоянии x = 10 см от центра масс стержня. Начертить график зависимости периода от расстояния х.

АНАЛИЗ

При малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания с периодом

где I – момент инерции стержня относительно оси, проходящей через точку подвеса, m

– масса стержня. x – расстояние центра масс от точки подвеса.

РЕШЕНИЕ

Момент инерции стержня согласно теореме Штейнера равен

I = ml 2 + mx 2 .

12

Тогда период колебаний

Для того чтобы выяснить характер графика зависимости периода Т от расстояния x, надо найти точки экстремума.

Дифференцируя, выражение для периода Т по х, найдем

При уменьшении расстояния период колебаний будет возрастать; при x = 0 T = ∞,

что соответствует положению безразличного равновесия. При x >> l, что соответствует качанию маятника подвешенного на длинной нити,

период этого маятника будет равен периоду математического маятника

T = 2π ag .

Задача 2

Найти период колебаний столбика ртути в U-образной трубке при выведении его из положения равновесия (рис. 26). Площадь сечения трубки S = 0,3 см2, масса ртути m = 120 г.

АНАЛИЗ

Если ртуть, налитую в U-образную трубку, вывести из положения равновесия, то вся масса ртути будет совершать колебательное движение.

Очевидно, что колебания каждого уровня будут совершаться относительно положения равновесия, соответствующего равным высотам уровней ртути в обоих коленах. Поэтому разность уровней удобно обозначить через 2x. Вся масса ртути будет находиться под действием избыточного давления столба ртути высотой 2х, поэтому

&&

оказываемая первым столбиком высотой 2x, направлена вниз, и правый уровень относительно положения равновесия смещен вверх.

тогда период колебаний