МЭИ(ТУ) Физика

Проверим полученную формулу, пользуясь размерностями единиц измерения в

СИ:

Задача 3

Однородный стержень подвешен на двух параллельных нитях длиной l каждая (рис. 27). Найти период колебаний стержня, возникающих при повороте его на малый угол вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Нити прикреплены к концам стержня.

Рис. 27

АНАЛИЗ

Для того чтобы найти период колебаний, надо найти соотношение между ускорением и смещением стержня. Колебательный характер движения стержня становится очевидным из качественного анализа: при повороте стержня центр масс поднимается, оставаясь на одной и той же вертикали, но нити отклонятся от вертикального положения: следовательно, возникнет момент сил натяжения относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс. При прохождении через начальное положение, когда нити займут вертикальное положение и момент действующих на стержень сил будет равен нулю, стержень будет обладать некотором кинетической энергией, причем угловая

скорость стержня будет направлена в сторону, противоположную начальному смещению. По инерции стержень повернется дальше на некоторый угол, и весь процесс начинается сначала.

Момент силы тяжести относительно вертикальной оси будет равен нулю, так как эта сила параллельна оси. При отклонении нитей от вертикального положения момент силы натяжения нити не равен нулю. Очевидно, что вращающий момент будет созда-

где fн – сила натяжения нити; α – угол отклонения нити от вертикали; x – расстояние от конца стержня (от точки приложения силы fн) до оси.

Вертикальные составляющие обоих сил натяжения должны уравновешивать силу

РЕШЕНИЕ

Движение стержня рассматривается как вращение вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. Очевидно, угол φ отклонения стержня от начального положения будет связан с углом α отклонения нити от вертикали соотношением

По условию угол φ мал, а следовательно, мал и угол α. Поэтому можно положить,

(знак «минус» означает, что момент силы натяжения стремится уменьшить угол φ). Из выражений (2) и (6) следует

С учётом того, что обе нити действуют на стержень относительно выбранной оси одинаково, основное уравнение динамики для стержня может быть записано следующим образом:

Id 2ϕ2 = −2M н , dt

где I – момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его середину. Подставляя сюда выражения (7) и (8), получаем

Последнее уравнение однозначно определяет, что стержень будет совершать гар-

Задача 4

К горизонтальной стойке прикреплена пружина, ко второму концу которой подвешен груз. Определить характер движения груза при колебаниях пружины и период колебаний, если статическое растяжение пружины x0 = 20 см (рис. 28). Массой пружины пренебречь.

АНАЛИЗ

В процессе движения на груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости пружины. Сила упругости пружины однозначно определяется величиной растяжения пружины или величиной смещения ее конца.

Если х – смещение конца пружины от прямой AA' – уровня, на котором находился конец пружины при отсутствии груза, то сила натяжения записывается следующим образом:

Примем направление вниз за положительное. Тогда II закон Ньютона для подвешенного груза запишем в скалярной форме

Рис. 28

Если перенести начало координат в положение равновесия груза, т. е в положение, при котором сила тяжести уравновешивается силой упругости, то уравнение примет иной вид. Обозначим текущее смещение тела от положения равновесия через ξ, а расстояние положения равновесия от прямой AA' (т. е. статическое растяжение) через x0, тогда

РЕШЕНИЕ

Полученное уравнение (6) показывает, что груз будет совершать гармоническое

колебательное движение с периодом

T = 2π mk ,

в котором отношение mk находится из равенства (5)

mk = xg0 .

Подставим это выражение в формулу периода и вычислим

Задача 5

Акробат прыгает в упругую сетку с высоты h = 10 м. Во сколько раз наибольшая сила давления акробата на сетку больше силы тяжести, если статический прогиб сетки x0 = 20 см ? Массой сетки пренебречь.

АНАЛИЗ

При падении акробата в сетку возникает сила f' действия сетки на акробата, равная в любой момент искомой силе давления акробата на сетку. Эта сила достигнет максимального значения в низшей точке.

Вследствие того, что сетка упругая, сила f пропорциональна прогибу сетки, т. е. f = kx ,

где k – коэффициент упругости сетки, х – прогиб сетки. В низшей точке x = xmax и искомое отношение n будет равно

Максимальный прогиб сетки может быть определен из закона сохранения энергии, применимого к системе акробат-Земля-сетка. Система консервативна, так как никаких внешних сил нет.

При переходе из верхнего положения в самое нижнее потенциальная энергия чело-

Потенциальная энергия деформированной упругой сетки увеличится на величину

Вследствие невесомости сетки ее потенциальная энергия относительно Земли не учитывается. Кинетическая энергия акробата и в верхнем, и в нижнем положениях равна нулю.

Если разделить уравнение (5) на коэффициент k и использовать выражение (4), то получим

xmax2 − 2x0 xmax − 2x0 h = 0 ,

x max = x 0 ± x 02 +2x 0 h .

При подстановке числовых значений находим

xmax = 2,2 м

(отрицательный корень отбрасывается, так как мы рассматриваем нижнее положение, где заведомо х > 0). На основании равенства (1а) получим

n = 11.

Необходимо указать, что амплитуда А колебаний сетки не равна xmax, так как колебания совершаются около положения равновесия, т. е.

A = xmax − x0 .

В положении равновесия кинетическая энергия сетки достигает максимального значения.

Задача 6

К пружине, один конец которой закреплен, подвешен груз массой m = 0,5 кг, лежащий на подставке так, что пружина не растянута. Подставка без толчка убирается. Найти закон движения груза, его амплитуду, циклическую частоту, начальную фазу; найти максимальную силу натяжения пружины. Коэффициент упругости пружины k = 50 Н/м.

АНАЛИЗ

По аналогии с задачей 4 можно сразу сказать, что груз будет совершать гармонические колебания около положения равновесия, при котором пружина уже растянута и ее удлинение равно x0. Величина этого удлинения – статического растяжения может быть найдена из соотношения

Обозначим смещение груза относительно положения равновесия через ξ, тогда

ξ = Asin(ωt +α).

Величина ω определяется параметрами системы m и k; величины A и α могут быть найдены из начальных условий:

при t = 0 ξ = −x0 ; ξ& = 0 .

но, учитывая условия (2), следует брать α0 = 32 π . Тогда

A = x0 = mgk = 9,8 см.

Натяжение пружины будет максимальным при ξ = A. Растяжение пружины x = x0 + ξ, следовательно, при ξ = A x = 2x0. Отсюда максимальное натяжение пружины

fmax = 2kx0 = 2mg = 9,8 Н .

Амплитуду колебаний пружины, вернее, её максимальное растяжение, можно найти еще из закона сохранения энергии. При опускании груза его потенциальная энергия, обусловленная взаимодействием с Землей, уменьшается на величину

∆Eп1 = −mgxmax ;

потенциальная энергия пружины увеличится на величину

где xmax – наибольшее растяжение пружины. Кинетическая энергия системы в обоих крайних положениях равна нулю. Следовательно,

отсюда

=2mg =

xmax k 2x0 .

Амплитуда колебаний

A = xmax − x0 = x0 .

Задача 7

Амплитуда затухающих колебаний за время t1 = 20 с уменьшилась в n1 = 2 раза. Во сколько раз она уменьшится за время t2 = 1 мин?

АНАЛИЗ

Амплитуда затухающих колебаний в момент времени t определяется выражением

РЕШЕНИЕ

Логарифмируя формулу (1) и учитывая выражение для n1, получим

ln n1 = βt1 . (2)

Подставив из выражения (2) значение β в формулу (1), написанную для момента времени t = t2 находим

Задача 8

Затухающее колебание происходит по закону x =10e−0,2t cos8πt (м). Найти амплитуду после N = 10 полных колебаний.

АНАЛИЗ

Амплитуда затухающих колебаний в момент времени t может быть выражена, если известен логарифмический декремент, следующим образом:

−Θt

A(t)= A0 e T ,

где θ = βT – логарифмический декремент, Т – период колебаний.

Отношение Tt равно заданному числу N полных колебаний.

Начальная амплитуда A0, период колебаний Т и логарифмический декремент Θ могут быть найдены из сравнения общего вида закона движения затухающих колебаний с заданным.

РЕШЕНИЕ

Рассматривая заданный закон движения, находим

A0 =10 м;

T= 0,25 с;

Θ= βT = 0,05 .

Искомая амплитуда

AN = A0e−ΘN = 6 м.

Задача 9

Найти логарифмический декремент математического маятника длиной l = 50 см, если за время τ = 8 мин он теряет 99% своей энергии.

АНАЛИЗ

Полная энергия тела, совершающего колебания, пропорциональна квадрату амплитуды. Амплитуда затухающего колебания

Из отношения конечной (по истечении τ = 8 мин) и начальной энергии можно найти величину коэффициента затухания. Для определения логарифмического декремента надо знать период колебаний маятника. Считая затухание малым, период можно рассчитать по обычной формуле математического маятника13.

РЕШЕНИЕ

Используя соотношение (1), можно написать следующую систему уравнений:

Здесь τ – заданный промежуток времени, E1 и E2 – значения энергий маятника в момен-

ты времени, разделенные промежутком τ. Из условий задачи E2 = 0,01 . Подставив в

E1

это условие выражения (2), получим

13 Правильность этого предположения необходимо подвергнуть последующей проверке.