МЭИ(ТУ) Физика

Контрольные вопросы

1.Что называется моментом инерции материальной точки относительно оси вращения?

2.Что называют моментом инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс?

3.Сформулировать теорему Штейнера. Как используется теорема Штейнера для нахождения момента инерции пластины относительно оси, проходящей через центр масс?

4.Вывести формулу для теоретического определения момента инерции параллелепипеда относительно одной из осей симметрии.

5.Вывести формулу для экспериментального определения момента инерции груза.

6.Что такое I0?

7.Как можно определить угловую жесткость упругой пружины?

Лабораторная работа № 25

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТРЕНИЯ КАЧЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ НАКЛОННОГО МАЯТНИКА

Цель работы: измерение коэффициента трения качения для различных материалов.

1. Описание установки и метода измерений

В данной работе измеряется коэффициент трения качения, возникающего при качении латунного (или стального) шара 1 по поверхности латунной или стальной пластины 2 (рис. 1a). Шар подвешен на нерастяжимой нити 3.

γ

Пластина 2 наклоняется с помощью специального поворотного механизма на угол β (β – угол между вертикалью и нормалью к пластине, π/2 – β – угол между нитью и вертикалью в состоянии равновесия (рис. 1б). Шар, подвешенный на нерастяжимой нити, представляет собой математический маятник. Если в начальном положении шар был отклонен на угол α0 (рис. 1а), то он покатится по пластине 2 и будет совершать колебания.

Движение шара по поверхности пластины можно представить в виде суммы двух движений: поступательного движения центра масс шара и вращательного движения от-

носительно оси, проходящей через центр масс (для однородного шара совпадающей с геометрической осью). Если шар радиуса R движется по плоскости без проскальзывания, то скорость центра масс vC связана с угловой скоростью ω вращательного движе-

ния соотношением vC = ωR, где R – радиус шара, ускорение центра масс в этом случае равно aC = εR, где ε – угловое ускорение.

Отсутствие скольжения обеспечивается действием сил со стороны пластины на шар. Эти силы сводятся к силе нормального давления N и к касательной силе Fтр. При отсутствии скольжения сила Fтр есть сила трения сцепления (сила трения покоя). Сила трения покоя Fтр не изменяет механическую энергию. Однако, при качении шара без проскальзывания всегда имеет место сила трения качения, связанная с потерями механической, энергии (переходом механической энергии в тепловую). При качении шар и плоскость деформируются под действием силы давления шара на плоскость, так как реальные тела не являются абсолютно твердыми. Силы, возникающие при этом, создают тормозящий момент, называемый моментом трения качения и направленный в сторону, противоположную моменту силы сцепления Fтр, обеспечивающему качение шара без проскальзывания.

Отношение этого момента трения Mтр к величине силы давления N, действующей

Для измерения fк необходимо выразить силу давления N и момент трения Mтр через величины, которые можно найти из опыта. Будем считать, что сила N направлена по нормали n к плоскости пластины, по которой происходит качение шара (рис. 2). Это справедливо для достаточно твердых материалов.

Рассмотрим колебания маятника с одновременным качением шарика по поверхности пластины. Если пластина отклонена от вертикали на угол γ, то сила давления N

Пусть маятник (шарик массы m на нити длиной l) в начальный момент времени отведен от положения равновесия на малый угол α0 (см. рис. 1). При этом шарик в на-

чальном положении приподнят относительно положения равновесия на расстояние h1 = l(1 – cos α0) (рис. 3а). Так как пластина отклонена от вертикали на угол γ, то высота подъёма шарика над нулевым уровнем потенциальной энергии (рис. 3б) равна

Рис. 3а Рис. 3б

Если шарик отпустить, он под действием силы тяжести вернется в начальное положе-

ние равновесия, пройдет его и отклонится на угол α01 , причем α01 < α0 , так как часть

потенциальной энергии маятника будет расходоваться на потенциальную энергию закручивания нити и на работу против сил трения качения. Под действием силы тяжести шарик снова вернется в положение равновесия, пройдёт его и отклонится на угол

α1 < α01 < α0 , что соответствует концу первого колебания. В этом положении его по-

тенциальная энергия равна Wп1 и определяется по формуле (3) для α1. Изменение потенциальной энергии шарика после первого колебания равно

где ∆Wкр = Wкр(α1) – Wкр(α0), Wкр(α1) – потенциальная энергия кручения нити в конце первого колебания, Wкр(α0) – потенциальная энергия кручения нити в начале первого колебания, Aтр – работа силы трения качения.

где D – жесткость упругой нити, φ – угол, на который закручивается шарик (вместе с нитью) при качении по образцу.

Работа силы трения за одно колебание равна

где Mтр – момент силы трения качения, ∑ϕ – сумма углов скручивания нити при каче-

нии шарика за время одного колебания.

Выразим угол φ через угол α. Очевидно, что если l – длина маятника, а r – радиус крутящегося шарика, то lα = rφ в отсутствие скольжения и угол φ пропорционален углу α, φ = lα/r. Тогда сумма углов кручения (взятых по модулю) за первое колебание равна

Работа силы трения за одно колебание с учетом (1), (2), (6), (7) равна

Можно показать, что изменение потенциальной энергии кручения, пропорциональной φ2 (формула (5)), пренебрежимо мало по сравнению с работой силы трения качения при повороте нити на угол α.

Полагая также, что α0 + 2α01 +α1 = 4α0 для изменения потенциальной энергии ша-

рика после первого колебания, имеем

С другой стороны, изменение потенциальной энергии в поле силы тяжести равно

∆Wп (1)= mgl(1 − cosα1 )sin β − mgl(1 − cosα0 )sin β = mgl sin β(cosα0 − cosα1 ).

Учитывая, что cos α0 – cos α1 = –2 sin [(α0 + |α1|)/2] · sin [(α0 – |α1|)/2] ≈ – (α0 + |α1|) х х (α0 – |α1|)/2 ≈ –α0 (α0 – |α1|), так как α0 + |α1| ≈ 2α0, получим

Проведя аналогичные преобразования, получим формулу для n-го колебания для расчета fк:

где r – радиус шара, α0 – угол начального отклонения маятника, αn – угол отклонения маятника после n полных колебаний (рад), β – угол наклона плоскости маятника, отсчитанный по боковой шкале.

2. Порядок выполнения работы

1.Прикрепить шар на нерастяжимой нити, предварительно измерив его диаметр.

2.Наклонить плоскость маятника на угол β = 30°.

3.Включить установку в сеть, нажав клавишу СЕТЬ.

4.Отклонить шар от положения равновесия на угол α0 = 4-5° (указатель – на 4-5 делений по лицевой шкале прибора).

5.Нажать клавишу СБРОС. Индикатор числа колебаний должен показывать нуль. Отпустить шар.

6.Нажать клавишу СТОП после того, как индикатор покажет n – 1 колебание, при этом маятник совершит n полных колебаний, что будет зафиксировано индикатором. Записать в таблицу угол αn. Отсчет угла ведется по изображению нити в зеркале, укрепленном над шкалой отсчета. Опыт повторить 5 раз. (Число колебаний можно измерить

ивизуально, не включая индикатор.)

7.Повторить измерения для двух других значений углов β.

8.Провести измерения для других образцов – пластин или шаров (по указанию преподавателя).

Таблица

Материал: пластины – латунь, шара – латунь

3. Обработка результатов измерений

1.Вычислить коэффициенты трения качения по формуле (12) для различных материалов.

2.Найти погрешность измерений по формуле

3. Записать окончательный результат измерений

fк = fк ± ∆fк .

Контрольные вопросы

1.Как определяется в работе коэффициент трения качения?

2.Какие колебания совершает шарик?

3.Для чего в работе меняют угол наклона маятника β?

4.Каков характер движения шарика по образцу?

5.От чего зависит коэффициент трения качения?

6.Сформулировать закон сохранения полной механической энергии. Как он используется для вывода расчетной формулы?

7.Чему равна энергия кручения?

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ МЕХАНИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Введение

Неотъемлемой частью экспериментальных исследований, в том числе и проводимых в физическом практикуме, являются измерения физических величин. Измерения могут быть прямыми или косвенными. При прямом измерении значение измеряемой величины получают непосредственно в ходе измерения (например, измерения длины стержня линейкой), а при косвенном окончательный результат может быть получен только после проведения соответствующих расчетов (например, при измерении площа-

ди пластины придется воспользоваться формулой S = a b).

Используемые при измерениях технические средства, прошедшие необходимый контроль, называются средствами измерения, а величины, получаемые с их помощью,

принимаются как результат измерения.

Всякое измерение сопряжено с погрешностями, поэтому в результате измерений получают не истинное значение искомой величины, а значение, приближенное к нему настолько, что может быть использовано как действительное значение физической величины. Поэтому, в конечном итоге, мы можем лишь указать интервал – интервал достоверности (доверительный интервал), в пределах которого лежит измеряемая ве-

личина. Так, измеряя длину стержня с помощью штангенциркуля с точностью нониуса 0,1 мм, можно лишь указать, что истинное значение длины l лежит, например, в интер-

вале 13,4 ≤ l ≤ 13,6 мм, что и отражается в форме записи результата измерения:

l = (13,5 ± 0,1) мм.

Эта запись означает, что действительное значение длины стержня l = 13,5 мм, а истинное значение этой величины лежит в интервале 13,4 ÷ 13,6 мм.

Под погрешностью измерения понимается отклонение результата измерения от истинного значения. При этом различают абсолютную и относительную погрешность измерения.

Абсолютная погрешность – это величина, равная отклонению действительного значения от истинного значения измеряемой величины:

x = xдейств − xист .

Так как истинное значение неизвестно, то на практике можно дать лишь приближенное значение абсолютной погрешности.

Относительная погрешность равна отношению абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины (которая, практически, заменяется ее действительным значением)

δ = ∆хх .

Очевидно, что именно относительная погрешность характеризует качество измерения, его точность. Эта величина безразмерна и часто выражается в процентах.

1. Классификация погрешностей прямых измерений

По характеру проявления в эксперименте различают систематическую погрешность, случайную погрешность и грубые промахи.

Систематическая погрешность измерения – это составляющая погрешности изме-

рения, остающаяся постоянной (по величине и знаку) при повторных измерениях. В свою очередь, по источнику появления эти погрешности можно разбить на несколько групп.

Одна из них – это систематические погрешности, природа и величина которых известны (например, сдвиг нуля измерительного прибора), эти поправки могут быть определены до начала измерений и учтены в конечном результате. Примером этого типа погрешностей является также методическая погрешность. Она определяется недостатками выбранного метода измерения или неточностью расчетных формул. Так, если взвешивать тело на аналитических весах без введения поправки на потерю веса груза в воздухе, то появится ошибка взвешивания, которую можно классифицировать как методическую.

Другая группа систематических погрешностей – это погрешности, для которых известно их предельное значение, но неизвестен знак. К ним, в частности, относится инструментальная погрешность. Она обусловлена конструкцией измерительного прибора, неточностью его изготовления. Величина этой погрешности определяется классом точности прибора, но знак ее неизвестен (его можно оценить, сравнивая показания данного инструмента измерения с прибором более высокого класса точности). Инструмен-

тальную погрешность принято записывать со знаком ±, подчеркивая этим, что без дополнительных исследований мы не знаем знак отклонения от истинного значения.

Случайная погрешность – это составляющая погрешности, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Данная погрешность вызывается причинами, которые не всегда поддаются оценке: зазоры в опорах, колебания стола, электромагнитные наводки и т. д. Она проявляется при повторных измерениях в виде разброса измеряемых значений, как по величине, так и по знаку. Случайная ошибка носит вероятностный характер. Ее можно уменьшить за счет увеличения числа измерений и соответствующей статистической обработки результатов измерений.

Грубые промахи обусловлены либо небрежным отсчетом, либо временной неисправностью прибора или внезапным сильным внешним воздействием. Эти погрешности легко исключить сравнением результатов измерений, проведенных в данной серии опытов.

Окончательный результат измерения после исключения выявленных систематических погрешностей и грубых промахов необходимо представить в виде

x = xизм ± ∆x , P =K

Здесь xизм – действительное значение измеряемой величины, ∆х – полная погрешность измерения, Р – коэффициент достоверности (надёжность), т. е. вероятность того, что истинное значение измеряемой величины находится в интервале ± ∆х. Так если Р = 0,95, то, это, грубо говоря, будет означать, что из 100 повторных замеров результаты 95

измерений будут лежать в пределах указанного интервала достоверности ± ∆х.