МЭИ(ТУ) Физика

где k — тепловой эквивалент электрической энергии. На основании измерений было установлено, что

k= 0,238 кал/дж.

Втаком случае q может быть рассчитано по одной из следующих формул:

Последнее соотношение носит название закона Джоуля—Ленца. Формулы (33), (34) и (35), а равно (37), (38) и (39) являются равнозначными, но в зависимости от конкретных условий одна из формул имеет преимущество перед другими либо по простоте расчета, либо по удобству при анализе явления.

§ 13. Электронная теория проводимости металлов

Современное учение о строении вещества установило, что в атоме любого вещества находятся положительные и отрицательные электрические заряды в равных количествах, и в целом атом является электрически нейтральным. Но в металлах, находящихся в твердом или жидком состояниях, в первом приближении можно считать, что часть отрицательного электричества в виде электронов отщеплена от атомов. Эти электроны получили название свободных электронов.

Атомы металла, находящегося в твердом состоянии, после отщепления электронов становятся ионами, и они, располагаясь в узлах кристаллической решетки металла, совершают колебательное движение. В свою очередь, свободные электроны, расположенные в промежутках между ионами, находятся в непрерывном беспорядочном тепловом движении. Весь коллектив свободных электронов получил название электронного газа.

В металле, помещенном в электрическом поле, свободные электроны приобретают дополнительную скорость упорядоченного движения, направленную против поля, то есть возникает электрический ток проводимости. Так теория объясняет механизм электропроводности металлов.

Опыт, подтверждающий идею о существовании электронного газа в металлах, был впервые поставлен Мандельштамом и Папалекси. Суть опыта в упрощенном виде можно описать так. Если металлическое кольцо приводить во вращение относительно его оси (рис. 17), то свободные электроны вначале будут отставать от ионов кристаллической решетки и лишь при длительном вращении кольца с неизменной скоростью, бла-

годаря столкновениям электронов с ионами, весь электронный газ будет вовлечен в движение с той же скоростью. Наоборот, при торможении кольца ионы кристаллической решетки будут отставать от электронов, которые некоторое время будут двигаться по инерции. Таким образом, при ускоренном вращении и при торможении кольца будет существовать ток. Этот ток, в частности, вызывает магнитное поле, дейст-

вующее на находящуюся около кольца магнитную стрелку. Мандельштам и Папалекси обнаружили, что при торможении и ускорении кольца магнитная стрелка отклоняется то в одну, то в другую сторону. На рис. 17 указано положение стрелки в момент торможения кольца.

Другой опыт, подтверждающий идею об электронном газе и позволяющий проверить ее с количественной стороны, был основан на аналогичных соображениях: если привести в ускоренное движение проводник, то электроны, отставая от ионов, будут накапливаться на одном

конце проводника и заряжать его отрицательно, а другой конец проводника, где будет недостаток электронов, зарядится положительно (рис. 18). Следовательно, между концами проводника появится разность потенциалов. Такое же явление будет наблюдаться и в момент торможения проводника. Если в эти моменты концы проводника замкнуть неподвижным проводником, то в цепи возникает ток, а через гальванометр G, включенный в эту цепь, пройдет определенный заряд.

Сам опыт был проделан так. На деревянную катушку, которая может вращаться около горизонтальной оси, наматывался провод длиной 500 м. Концы катушки присоединялись гибкими проводниками, расположенными вдоль оси катушки, к баллистическому гальванометру (рис. 19). При вращении катушки подводящие проводники хотя и скручивались, но обеспечивали соединение катушки с гальванометром. Если привести катушку в быстрое вращение, доведя линейную скорость проводника до величины υ (порядка 300 м/сек), а затем резко затормозить катушку до полной остановки, то при торможении через гальванометр пройдет заряд Q, которой и будет измерен гальванометром. Но, с другой стороны, Q можно рассчитать следующим образом. Пусть при торможении разность потенциалов на концах провода равна ϕ1 – ϕ2, а тогда образующееся при этом в проводнике электрическое поле по абсолютной величине найдем из формулы:

где L — длина движущегося проводника.

Электрон, имеющий заряд е и массу m, в момент . торможения перемещается отно-

сительно ионов решетки с ускорением ω, которое можно считать вызванным действием на электрон силы, равной по величине еЕ.

Величину тока, появившуюся в цепи при торможении, найдем по закону Ома:

i= ϕ2 R−ϕ1 = meRωL ,

атогда заряд dQ, протекающий через гальванометр при торможении проводника за время dt, будет равен:

dQ = idt = meRωL dt.

Весь заряд Q, протекший в проводнике за время полного торможения проводника до его остановки, найдем путем интегрирования последнего выражения:

где υ — скорость проводника. После интегрирования получим:

= mLυ .

Q (42)

eR

Величины Q, L, R, υ, входящие в конечную формулу, доступны непосредственному измерению. Следовательно, опыт дает возможность определить e/m для электрона. Для e/m в этом опыте была получена величина, совпадающая с результатами измерений в

других опытах, то есть me =1,77 1011 кгк .

Таким образом, эти эксперименты подтвердили идею о существовании электронного газа в металлах и дали основание пользоваться ею.

Электронная теория, исходящая из понятия электронного газа, подчиняющегося основным законам молекулярно-кинетической теории, называется классической электронной теорией. Основные положения теории таковы. В металле существует элек-

тронный газ; при этом электроны, подобно молекулам газа, совершают неупорядоченное тепловое движение, средняя квадратичная скорость которых равна:

где k — постоянная Больцмана и Т — абсолютная температура. Распределение электронов по скоростям в этой теории считалось совпадающим с Максвелловским.

Электроны обладают энергией теплового движения, средняя величина которой для одного электрона равна:

Наконец, электронный газ обладает давлением, величина которого равна

p = nkT, (45)

где n — число свободных электронов в единице объема металла. Механизм электропроводности, как указывается выше, объясняется действием электрического поля на свободные электроны, которые приходят в упорядоченное движение вдоль поля, приобретая при этом дополнительную энергию. При столкновении электронов с ионами, масса которых многим больше массы электронов, дополнительное упорядоченное движение переходит в не упорядоченное, а энергия упорядоченного движения переходит в энергию теплового движения. Так электронная теория объясняет нагревание проводни-

ка током. Наконец, для плотности тока в проводнике δ, которая численно равна заряду, проходящему за единицу времени через единицу сечения проводника, расположенному нормально к скорости, электронная теория дает:

(46)

где е — заряд электрона, n — число свободных электронов в единице объема и υ — средняя скорость упорядоченного движения электронов вдоль поля.

то есть плотность тока пропорциональна напряженности поля, что и совпадает с законом Ома в дифференциальном виде.

Далее, сопоставляя формулы (34) и (15), можно получить формулу для удельной электропроводности в следующем виде:

Таким образом, из электронной теории получен не только закон Ома, рассчитана удельная электропроводность металла.

Но полученная теоретическая формула для электропроводности требует опытной проверки. Непосредственная проверка оказалась затруднительной, так как в формулу входят неизвестные λ и n,о численной величине которых можно высказываться лишь предположительно.

В связи с этим, проверка формулы вначале была осуществлена косвенным путем с помощью закона Видемана и Франца, устанавливающего связь между электропроводностью и теплопроводностью металлов.

В последней формуле k и e есть постоянные величины, а, следовательно, полученное выражение является законом Видемана и Франца.

Однако дальнейшее уточнение формулы для электропроводности и теплопроводности металлов показало не случайный характер совпадения формулы (53) с законом Видемана и Франца: оказывается, если выполнить более точный расчет, учитывающий то, что, скорости теплового движения электронов распределены по закону Максвелла, то для закона Видемана и Франца получится совершенно иной результат.

Далее, электронная теория дает несовпадающий с опытами расчет теплоемкости металлов. Действительно, молекулярная теплоемкость металла составляет около 6

кал/(моль град), тогда как из классической электронной теории вытекает, что теплоемкость металла определяется теплоемкостью ионной решетки, которая, с учетом числа степеней свободы равна 6 кал/(моль град), и теплоемкостью электронного газа, со-

ставляющей 3 кал/(моль град), а всего получается 9 кал/(моль град).

Несоответствие было получено и для температурной зависимости сопротивления металлов: на опыте было установлено, что удельное сопротивление увеличивается пропорционально Т, тогда как из формулы для электропроводности получается, что единственной величиной, зависящей от температуры, является скорость теплового движе-

ния электронов, которая пропорциональна T . Отсюда следует, что и удельное сопро-

тивление должно расти пропорционально T , что также не совпадает с опытом.

Наконец, было обнаружено, что при очень низких температурах порядка 2—8° по абсолютной шкале — сопротивление некоторых веществ практически равно нулю. К таким веществам относятся алюминий, олово, свинец, цинк и ряд их сплавов. Это явление называется сверхпроводимостью. Сверхпроводимость, являющаяся исключительно интересным для теории явлением, также не получила своего объяснения в рамках классической электронной теории.

Следовательно, классическая электронная теория, качественно весьма просто объясняющая электропроводность металлов, не может объяснить многих опытных данных и является приближенной теорией, которая лишь в некоторых случаях приводит к правильным результатам.

Электронная теория получила свое дальнейшее развитие лишь в квантовой механи-

ке.

Вквантовой механике исходят из того, что каждый из электронов металла находится

вопределенном стационарном состоянии, удовлетворяющем осевым квантовым усло-

виям: параметры состояния определяются уравнением с коэффициентами, зависящими от целых чисел натурального ряда, названных квантовыми числами. Всего квантовых чисел, характеризующих состояние электрона, равно четырем, из них три числа определяют движение электрона вдоль трех координатных осей, и четвертое определяет ориентировку момента собственного вращения электрона (спина электрона). Каждой определенной комбинации квантовых чисел соответствует определенное состояние, в котором может находиться лишь два электрона с противоположно направленными спинами и в этом состоянии они обладают определенной энергией. Эта энергия называется уровнем энергии или энергетическим уровнем. Закономерность заполнения энергетических уровней зависит от величины энергии, сообщенной металлу.

W

Все эти новые не свойственные классической физике положения, приводят к новым представлениям о поведении электронного газа в металле и, в частности, по-новому объясняется распределение электронов по скоростям и энергиям.

Это отличие заключается в следующем. По молекулярной теории распределение молекул по энергиям при некоторой температуре Т1 характеризуется кривой I рис. 20, то есть существуют молекулы как с малыми, так и с большими энергиями. С повышением температуры число молекул с большой энергией увеличится (кривая II). В свою очередь, при Т = 0 кинетическая энергия всех молекул равна нулю.

В квантовой теории дело обстоит иначе: при Т = 0 энергия электронов достигает наименьшего значения, а поэтому должны быть заполнены все низшие уровни до величины, например, Wi (рис. 21), а уровни с энергией, превышающей Wi, свободны. Свободные уровни изображены на рисунке пунктирными линиями. Распределение электронов по энергиям при Т = 0 характеризуется кривой I рис. 22. (Следует отметить, что