МЭИ(ТУ) Физика

2. Построить график зависимости εi от угла α между нормалью к плоскости рамки и вектором индукции B.

3. Что изменится, если ось вращения будет, совпадать с короткой стороной рамки?

Будет лежать в плоскости рамки ил проходить через ее середину?

9.6. В одной плоскости с длинным прямым проводом, по которому идет ток I = 2,0 А, находится прямоугольная рамка cо сторонами a = 25 см и b = 40 см. Рамка на- чинает двигаться поступательно и прямолинейно с ускорением a0 = 0,40 м/с2 в направ- лении, перпендикулярном к прямому проводу, расположенному параллельно ее длин- ной стороне. Найти ЭДС, индуцируемую в рамке, через t = 0,50 с от начала движения. В начале движения рамка примыкала к проводу.

9.7. В однородном магнитном поле с индукцией B = 0,010 Тл в плоскости, нор- мальной линиям индукции, расположены параллельные шины, замкнутые на сопротив- ление R = 0,050 Ом. По шинам движется поступательно с постоянной скоростью

v= 1,0 м/с проводник длиной l = 50 см (рис. 9.5).

1.Найти ток в цепи, если сопротивлением шин и скользящего проводника можно пренебречь.

2.Найти модуль и направление силы, которую надо приложить к проводнику, что- бы он двигался с указанной скоростью. Индуктивностью и емкостью всего контура пренебречь.

9.8.В горизонтальной плоскости параллельно расположены стержни C и D и пря- мой длинный* провод (рис. 9.6). Расстояния от провода до стержней x1 = 5 см,

2

Рис. 9.6.

x2 = 15 см. По проводу идет ток I = 10 А. Стержни конца замкнуты на сопротивление R = 0,050 Ом. По стержням скользит проводник с постоянной скоростью v = 5,0 м/с. Найти ток, индуцированный в контуре.

9.9. Обмотка соленоида длиной l = 70 см, диаметром d = 10 см состоит из N = 1000 витков. На соленоид, в среднем его сечении, плотно надето медное кольцо с попереч- ным сечением S = 2 мм2. Ток в соленоиде в течение некоторого времени: а) возрастает

по закону I = I1 + k1t, где I1 = 0,5 А, k1 = 0,1 А/с; б) убывает по закону I = I2ехр(– k2t2),

где I2 = 4,0 А; k2 = 0,5 с-1.

1. Найти закон изменения индуцированного в кольце тока.

2. Найти его экстремальные значения. Удельное сопротивление меди

ρ= 1,7 · 10-8 Ом · м.

9.10.На столе, в магнитном поле Земли, индукция которого B = 5,8 · 10-5 Тл, угол магнитного наклонения φ = 72° (см. задачу 6.4), лежит плоская круглая рамка. Обмотка, состоящая из N = 20 витков, радиусом r = 15 см каждый, с суммарным сопротивлением R =4,0 Ом, замкнута накоротко. Какой заряд пройдет через поперечное сечение обмот- ки, если рамку перевернуть на другую сторону?

9.11.В пространстве между полюсными наконечниками электромагнита располо-

жена маленькая рамка, обмотка которой состоит из N = 100 витков, площадью S = 5,0 см2 каждый, с суммарным сопротивлением R1 = 250 Ом. Обмотка рамки под- ключена к баллистическому гальванометру, сопротивление которого R2 = 500 Ом. При быстром удалении рамки через гальванометр проходит заряд Q = 1,0 · 10-5 Кл. Найти магнитную индукцию в пространстве между наконечниками электромагнита.

9.12.На тонкий* тороид (кольцевой соленоид) поперечным сечением S = 3,0 см2, со средним радиусом r0 = 20 см навиты две обмотки. По первичной обмотке, содержащей N1 = 1000 витков, идет ток I = 2,0 А. Вторичная, замкнутая накоротко, состоит из N2 = 500 витков суммарным сопротивлением R = 50 Ом. Какой заряд пройдет через вторичную обмотку: а) при выключении тока в первичной обмотке; б) при коммутиро- вании тока в первичной обмотке?

9.13.Соленоид, однослойная обмотка которого состоит из N = 1000 витков, облада- ет индуктивностью L = 5,0 мГн. Чему равны магнитный поток и потокосцепление, соз- даваемые соленоидом при токе I = 0,60 А?

9.14.Двухпроводная система выполнена в виде длинного* воздушного коаксиаль- ного кабеля, радиус внутреннего провода r1 = 1 мм, радиус внешней r2 = 10 мм. Пре- небрегая полем внутри металла, рассчитать индуктивность единицы длины такой сис- темы и энергию магнитного поля при токе I = 2,0 А.

9.15.Два длинных* проводника круглого сечения радиусом r = 2,0 мм каждый, оси которых расположены параллельно друг другу, на расстоянии a = 50 мм, образуют двухпроводную систему. Найти индуктивность единицы длины такой системы и энер- гию при токе I = 10 А. При расчете поля внутри металла не учитывать.

9.16.На тороидальную катушку (без сердечника) длиной l = 25 см, с поперечным сечением S = 1,0 см2 навиты две обмотки, одна поверх другой, по N = 1000 витков каж- дая. По обмоткам, соединенным последовательно, протекают токи одного направления.

1. Найти индуктивность и энергию магнитного поля такой катушки при токе

I = 5,0 А.

2.Как изменится энергия, если одну из обмоток отключить?

9.17.В цепь, состоящую из источника постоянной ЭДС, катушки с индуктивностью L = 0,10 Гн и сопротивления R1 = 50 Ом, быстро включают добавочное сопротивление R2 = 100 Ом, размыкая ключ К (рис. 9.3). Через сколько времени после включения до- бавочного сопротивления ток уменьшится в 2 раза?

9.18.Через соленоид с индуктивностью L = 0,50 Гн идет ток I = 1,0 А. Концы об- мотки соленоида отключаются от источника ЭДС и мгновенно подключаются к балли- стическому гальванометру с сопротивлением R = 1000 Ом. Найти заряд, который изме- рит гальванометр.

9.19. Дроссель с индуктивностью L = 6 Гн и омическим сопротивлением R1 =200 Ом и безындуктивное сопротивление R2 = 1000 Ом присоединены параллельно

Рис. 9.7.

к магистрали, в которой поддерживается разность потенциалов U0 = 120 В (рис. 9.7). Какая разность потенциалов будет между точками A и B схемы через τ = 0,0010 с после размыкания ключа?

9.20. Катушка с индуктивностью L = 0,50 Гн и сопротивлением R1 = 10 Ом мгно- венно отключается от источника ЭДС ε = 110 В и замыкается на сопротивление

R2 = 60 Ом.

1. Найти магнитную энергию, которой обладала катушка до переключения, и коли-

чество тепла, которое выделится в цепи за первую сотую долю секунды после пере-

ключения.

2. Найти максимальную разность потенциалов, которая возникнет на зажимах ка- тушки после переключения.

9.21. В однородном магнитном поле, индукция которого B1, расположено тонкое жесткое кольцо радиуса r. Индуктивность кольца L, сопротивление практически равно нулю (сверхпроводник). В начальный момент плоскость кольца параллельна линиям

индукции, ток отсутствует. Кольцо поворачивают так, что плоскость его становится перпендикулярной линиям индукции поля B1.

1.Какой ток возникнет в кольце после того, как оно будет повернуто? Чему будет равен при этом полный магнитный поток, пронизывающий кольцо?

2.Какую работу должны совершить внешние силы, чтобы осуществить этот пово- рот? Зависит ли величина работы от скорости движения кольца при повороте?

9.22.По длинному цилиндрическому медному проводнику круглого сечения идет ток I = 30 А. Плотность тока постоянна. Считая, что относительная магнитная прони- цаемость, меди постоянна и очень близка к единице, найти энергию магнитного поля внутри проводника на единицу его длины.

9.23.В однородном магнитном поле, индукция которого B и линии индукции на- правлены вертикально, в горизонтальной плоскости расположены параллельные шины, замкнутые на сопротивление R. Расстояние между шинами равно l. По шинам может свободно скользить проводник массы m. Проводнику сообщают начальную скорость v0

(рис. 9.8 а).

1.Найти закон изменения скорости проводника со временем.

2.Найти количество теплоты, которое выделится в сопротивлении R за все время движения проводника.

B

Рис. 9.8 а, б.

9.24. В горизонтальной плоскости на расстоянии l друг от друга расположены па- раллельные шины, по которым может скользить проводник массой m. Шины замкнуты на сопротивление R, и вся система находится в однородном магнитном поле с индукци- ей B, линии индукции которого направлены вертикально. На проводник начинает дей- ствовать постоянная сила F (рис. 9.8 б), приложенная к его середине и направленная параллельно шинам.

1.Найти закон изменения скорости со временем.

2.Нарисовать примерный график зависимости скорости проводника от времени (начальная скорость равна нулю).

3.Найти максимальную скорость, приобретаемую проводником.

Ответы

9.1.ϕ = Blτg sinα cosα = 0,021В .

9.2.1. ε = Bω2l2 = 0,040 В .

2.Dϕ1 = Bω8l2 = 0,010 В ; Dϕ2 = 83 Bωl2 = 0,030 В.

9.3.Dϕ = 34πBnr2 = 0,029 В.

9.4.εmax = μ0πr2r02n = 3,1×10−7 В.

9.5.1. εmax = 2πBNnab = 6,3 В .

2.См. рис. 9.9.

Рис. 9.9.

9.9. 1. а) Ii = μ0k1NSd ;

4ρl

б) Ii = μ0k2 NSdI2t exp(- k2t2 ). 2ρl

2. а) Imax = Ii = 5,3×10−4 А ;

9.11. B = Q(R1 + R2 ) = 0,15 Тл .

NS

9.12. а) Q = μ0 IN1N2S = 6,0 мкКл . 2πr0R

б) Q = 2Qa .

9.13.F = LI = 3,0 ×10−3 Вб ; Ψ = NLI = 3,0 Вб .

9.16.1. L = 4μ0 N 2S l = 2,0 мГн .

2.W = μ0 N 2 I 2S = 6,2 мДж . 2l

2. Umax = ε R2 = 660 В .

R1

9.21. 1. I = πB1r2 L , F = F1 + Fсобств = 0.

2. A'= π 2B12r4 , не зависит. 2L

Рис. 9.10.

3. vmax = BFR2l2 .

10. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

Уравнения Максвелла устанавливают связь между характеристиками E, D, H, B электромагнитного поля. Ниже предложены задачи, в которых рассматривается ток смещения и обусловленное им магнитное поле (см. пример 10.1).

При симметричном распределении макротоков уравнения Максвелла (закон полно- го тока) позволяет легко рассчитать распределения напряженности магнитного поля (аналогично тому, как это сделано в примере 6.2). Материальные уравнения системы уравнений Максвелла позволяют найти магнитную индукцию (пример 10.2). При этом следует иметь в виду; что магнитная проницаемость ферромагнетиков и магнитная ин-

Рис. 10.1.

дукция в них сложным образом зависят от напряженности магнитного поля. В качестве примера такой зависимости на рис. 10.1 приведена кривая намагничивания B(H) для мягкого железа. У сверхпроводников удельное сопротивление ρ = 0, и при помещении их в магнитное поле (которое разрушает это состояние) магнитное поле внутри отсут- ствует: B = 0.

Примеры решения задач

Пример 10.1. Длинный* цилиндрический конденсатор заряжается от источника ЭДС, создающего в своей цепи ток I. Пренебрегая краевыми эффектами, найти ток смещения в диэлектрике, заполняющем пространство между обкладками конденсатора.

Согласно уравнениям Максвелла плотность тока смещения jсм = ∂∂Dt . Ток смеще-

ния в диэлектрике равен потоку плотности тока через цилиндрическую поверхность S радиусом r (рис. 10.2):

Итак, Iсм = I.

Пример 10.2. Железный сердечник кольцевого соленоида (тора) имеет форму кольца средней длины l = 100 см с воздушным зазором толщиной l' = 0,20 см. Попереч- ное сечение тора S = 30 см2. Обмотка имеет N = 800 витков, по которым идет ток

I = 2,0 А. Найти величину магнитного потока в сердечнике, если при заданных услови- ях его относительная магнитная проницаемость μ = 1000. Краевыми эффектами пре- небречь.

Магнитный поток в сердечнике

Φ = òBжdS ,

Sж

где Bж – магнитная индукция в сердечнике, Sж – сечение сердечника. Так как измене- ниями линий магнитной индукции на краях зазора можно пренебречь, то магнитный поток в сердечнике и в зазоре одинаков:

òBжdS = òBвозdS .

Sж Sвоз

Учитывая, что площади сечения зазора и сердечника равны, получим Bж = Bвоз = B. Со-

гласно материальным уравнениям Максвелла в сердечнике напряженность магнитного поля Hж = B/μ0μ и в воздухе (в зазоре) Hвоз = B/μ0.

Распределение макротоков, определяющих напряженность магнитного поля, сим-

метрично, линии напряженности – окружности, концентричные самому тору. Следо-

вательно, можно рассчитать напряженность, по закону полного тока

òHdl = åI .

L

Выберем контур интегрирования L совпадающим с линией напряженности по средней линии тора. Тогда всюду на ней вектор H коллинеарен dl и

òHdl = òHжdl + òHвозdl = Hж (l - l')+ Hвозl' .

Так как тор тонкий*, максимальную индукцию можно читать одинаковой во всех