МЭИ(ТУ) Физика

При рассмотрении сил, действующих на проводник с током в магнитном поле, на- до обязательно обратить внимание студентов на то, что переход от дифференциальной

формулы Ампера

dF = i[dl B]

к выражению

F = ilBsinα

возможен только в случае прямолинейного проводника, находящегося в однородном магнитном поле. Сделать это следует, конечно, на примере решения задачи.

Направление силы Ампера можно определять либо по правилу левой руки, либо непосредственно по направлению векторного произведения. Направление силы Лорен- ца также можно найти с помощью правила левой руки, но в случае движения электрона четыре вытянутых пальца левой руки следует направлять навстречу скорости электро- на. Если пользоваться направлением векторного произведения, то надо каждый раз подчеркивать, что векторное произведение [vB] и сила, действующая на электрон, на-

Здесь Φ – конечное приращение магнитного потока, пронизывающего контур, пере- мещающийся в поле, равное

ΔΦ = Φ2 − Φ1 .

Знак работы сил поля соответствует знаку указанной разности. Работа внешних сил, как всегда, равна работе поля, взятой с обратным знаком:

A'= I(Φ1 − Φ2 )= −A.

При движении прямого проводника в поле под величиной Φ следует понимать аб- солютное значение магнитного потока, пересеченного проводником при его движении. В этом случае знак работы следует находить по направлению движения проводника. Если направление его движения совпадает с направлением силы Ампера, то A = I Φ, в противном случае A = – I Φ.

Существенно отметить, что формула (6) получена в предположении постоянства тока, обтекающего движущийся проводник, поэтому каждый раз надо оговаривать мед- ленность движения проводника, чтобы можно было пренебречь явлением электромаг- нитной индукции.

Рис. 85.

Наибольшее внимание следует уделить отысканию углов α1 и α2. Решение. Рассмотрим сначала точку A (см. рис. 84):

для первого проводника

α1 = 0, α2 = 135°;

для второго проводника

α1 = 45°, α2 = π.

Расстояние от точки A до каждого из проводов a = r cos 45°.

Если студентам не очевидно, что α1 = 0, α2 = π, то это следует показать, соединив рассматриваемую точку A с нижним концом вертикального провода (или с правым концом горизонтального), чтобы было видно, что при бесконечном удлинении провод- ника α1 → 0, α2 → π

Подставляя полученные значения углов в формулу (1), находим

Векторы индукции полей, создаваемых проводниками 1 и 2 в точке A, направлены пер- пендикулярно плоскости рисунка «от нас».

Следовательно,

В точке C:

для первого проводника

α1" = 0, α2" = 45°;

для второго проводника

α1"' = 135°, α2"' = π;

векторы индукции B1C и B2C по-прежнему направлены в одну сторону, перпендикуляр- но плоскости рисунка «на нас».

Получим окончательный ответ:

Решение. Для нахождения B1 и В2 применим закон Био-Савара-Лапласа:

Интегрируя выражение (3) по дугам l1 и l2 и учитывая, что для любого элемента dl угол

Подставляя выражения (4) в равенство (2), находим

B = 4πρμ0 2 (i1l1 - i2l2 ).

Токи i1 и i2 параллельны и, следовательно, обратно пропорциональны сопротивлениям дуг, т. е. обратно пропорциональны их длинам:

i1 = l2 , i2 l1

откуда i1l1 = i2l2 и искомая индукция

B = 0 .

Можно показать, что из выражения (4) при замене длины дуги длиной окружности l = 2πρ получается известная формула индукции поля в центре витка:

B = μ2ρ0i .

Задача 3

При каком соотношении между длиной l и диаметром D соленоида поле в центре его можно рассчитывать по формуле бесконечно длинного соленоида, чтобы ошибка расчета не превышала 1%?

Анализ. Эта задача носит расчетный характер, но решить ее очень полезно, так как в ней устанавливаются пределы применимости понятия бесконечно длинного соленои- да. Необходимо оговорить, что формулы индукции магнитного поля Bрасч в центре бес- конечно длинного соленоида и индукции B в центре конечного соленоида выведены в предположении сплошного «наката» тока, т. е. в предположении, что витки расположе- ны вплотную друг к другу и плоскость каждого из них перпендикулярна оси соленоида.

Решение. Индукция поля в центре бесконечно длинного соленоида

где n – число витков, приходящееся на единицу длины.

По условию задачи относительная ошибка, сделанная при расчете поля по формуле (1), не должна превышать 1%.

Следовательно,

δB = Bрасч − B £ 0,01.

Bрасч

Подставляя сюда выражения (1) и (5), находим

D2 £ 0,01. 2l2

Отсюда

Dl ³ 7 .

Задача 4

Два витка радиусом r0 = 10 см каждый расположены параллельно друг другу на расстоянии a = 20 см. Найти индукцию магнитного поля в центре каждого витка и на середине прямой, соединяющей их центры, и построить график зависимости индукции от расстояния вдоль этой прямой для двух случаев: 1) витки обтекаются равными тока- ми одного направления; 2) витки обтекаются равными токами противоположного на- правления.

Сила тока в каждом витке I = 3 А. Прямая, соединяющая центры витков, перпенди- кулярна их плоскости.

Анализ и решение. В обоих случаях индукция результирующего поля будет равна векторной сумме индукций, создаваемых каждым витком в отдельности, т. е.

Здесь r0 – радиус витка, x – расстояние от центра витка до любой точки на его оси. В центре витка x = 0, поэтому

B = μ0 I . 2r0

Рис. 88.

В первом случае (рис. 88, а) векторы B1 и B2 во всех точках прямой, соединяющей цен- тры витков, направлены в одну сторону (положительное направление выбрано напра- во), поэтому

Интересно отметить, что в первом случае независимо от расстояния a при x = a2

всегда наблюдается минимум функции B(x).

Задача 5

Ток I = 10 А течет по полой тонкостенной трубе радиуса R2 = 5 см и возвращается по сплошному проводнику радиуса R1 = 1 мм, проложенному по оси трубы. Найти ин- дукцию магнитного поля в точках, лежащих на расстоянии r1 = 6 см и r2 = 2 см от оси трубы. Чему равен магнитный поток единицы длины такой системы? Всю систему счи- тать бесконечно длинной. Полем внутри металла пренебречь.

Анализ и решение. В любой точке индукция результирующего поля может быть рассчитана с помощью закона полного тока, так как бесконечная длина заданной сис- темы позволяет не учитывать поля подводящих проводов, а сама система в силу своей симметричности будет создавать поле, линии индукции которого должны представлять собой окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси трубы и концен- тричные ей.

Рис. 90.

Найдем индукцию поля при r = r1 за пределами трубы (рис. 90). Проведем в плос- кости, перпендикулярной оси трубы, контур интегрирования L1 в виде окружности, центр которой лежит на оси трубы.