МЭИ(ТУ) Физика

вым линиям поля. Каковы должны быть направление и величина индукции магнитного поля, чтобы электрон не испытывал отклонений?

Анализ. По условию задачи силы, действующие на электрон со стороны электри- ческого и магнитного полей, должны быть направлены в противоположные стороны и равны по величине, т. е.

- Fe = Fm .

Сила Fe = eE; она направлена против вектора E (рис. 96). Следовательно, сила Fm = e[vB] должна быть параллельна силовым линиям электрического поля. Применяя пра- вило левой руки, но направляя согласно этому правилу вытянутые пальцы против ско- рости электрона (заряд электрона отрицателен и векторное произведение [vB] направ- лено против силы Fm), находим, что магнитное поле должно быть перпендикулярно плоскости рисунка и направлено «от нас».

evB = eE .

Отсюда

B = Ev .

Скорость электрона

v = 2W .

me

Здесь me = 9 · 10-31 кг – масса электрона, W = 103 эВ = 1,6 · 10-19 Дж (по условию). Таким образом,

Проверим размерность последней формулы:

в левой части

[B]= Тл = Вм×2с ;

в правой части

Задача 13

Электрон движется в магнитном поле, индукция которого B = 50 Гс, по винтовой линии с радиусом r = 2 см и шагом «винта» h = 5 см. Определить энергию электрона в электронвольтах и направление вектора скорости в начальный момент.

Анализ. На электрон, влетающий в магнитное поле со скоростью v, действует сила FЛ = e[vB]; направление этой силы меняется в пространстве по мере изменения направ- ления вектора v, вызванного действием этой силы; при этом она остается все время перпендикулярной к вектору скорости. Это означает, что под действием магнитной со-

ставляющей силы Лоренца движущийся заряд может приобретать только нормальное ускорение.

Если бы электрон влетел в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции, то он двигался бы по дуге окружности в плоскости, перпендикулярной к линиям индук- ции. Движение по винтовой линии (рис. 97) с постоянным шагом означает наличие составляющей скорости, направленной вдоль поля и, следовательно, не меняющейся ни по величине, ни по на- правлению. Надо отметить, что при движении по винтовой линии вектор результирующей скорости электрона меняет свое направ-

ление в пространстве, но не меняется по величине, следовательно, и кинетическая энер- гия электрона остается постоянной. Это означает, что магнитная составляющая силы Лоренца никогда не совершает работы.

Решение. Представим вектор начальной скорости v как сумму двух скоростей v = v1 + v2, где v1 направлена вдоль поля, v1 перпендикулярна индукции B.

Радиус винтовой линии определяется из равенства mean = FЛ ,

2 me

Шаг «винта» определяется соотношением

h = v1T ,

где T – период обращения электрона, равный

Следовательно, продольная составляющая скорости

Кинетическая энергия электрона с учетом выражений (1) и (2) равна

Расчет дает

W = 1,64 ×10−18 Дж »103 эВ.

Угол α может быть найден из отношения скоростей v1 и v2:

α = arctg v2 = arctg 2πr . v1 h

Подставляя числовые значения r и h, находим α = 68o .

В ходе данного занятия крайне важно научить студентов не только рассчитывать значения Ei и индуцируемого тока, но и анализировать всю совокупность явлений, свя- занных с электромагнитной индукцией. Возникновение индуцируемого тока неизбежно приводит к изменению условий и характера движения проводника. Если же по услови- ям задачи они остаются неизменными, то это всегда означает действие внешних сил. Очень важен также энергетический анализ рассматриваемых явлений.

Часть задач настоящего параграфа содержит несколько вопросов. В более слабых аудиториях эти задачи рекомендуется разбить на отдельные. Некоторые вопросы мож- но рассматривать качественно (например, второй и третий вопросы в задаче № 5).

Задача 1

Найти, не пользуясь правилом Ленца, направление индуцируемого тока и знак Ei в следующих случаях:

1)если в однородном магнитном поле в плоскости, перпендикулярной линиям ин- дукции, находится замкнутый провод, сложённый в виде узкого прямоугольника и по- степенно деформируемый в квадрат;

2)если в вертикальной плоскости, перпендикулярной плоскости магнитного мери- диана, расположены параллельные шины, по которым свободно соскальзывает провод- ник;

3)если в плоскости, перпендикулярной линиям индукции однородного магнитного поли, находится сплошной медный диск, вращающийся вокруг своей оси с постоянной скоростью.

Анализ и решение. 1. Предположим, что поле направлено перпендикулярно плос- кости рисунка «на нас» (рис. 98, а). В качестве положительного выберем направление

Рис. 98.

нормали к плоскости рамки также «на нас». Начальный поток в этом случае положите- лен. При деформации проводника площадь, им охватываемая, будет увеличиваться; следовательно,

dΦ > 0 . dt

Индуцируемый ток, возникающий при этом в проводнике,

Ii = − R1 ddtΦ < 0 .

Следовательно, направление нормали выбрано неверно: если смотреть «от нас», т. е. с конца выбранного вектора нормали, то ток будет идти по часовой стрелке.

Проверим по правилу Ленца: ток, идущий так, как показано на рисунке, будет соз- давать собственное поле, направленное навстречу внешнему, т. е. препятствующее уве- личению внешнего магнитного потока.

2.Предположим, что плоскость рисунка перпендикулярна плоскости магнитного меридиана, и тогда горизонтальная составляющая земного поля направлена, как пока- зано на рис. 98, б. При перемещении проводника вниз с ним вместе движутся вниз и свободные электроны. Если расположить левую руку так, чтобы линии индукции вхо- дили в ладонь, а вытянутые пальцы навстречу скорости проводника, то отогнутый большой палец покажет направление силы Лоренца, действующей на электроны. Сле- довательно, у левого конца движущегося проводника будут накапливаться электроны.

Проверим по правилу Ленца: если шины замкнуть, то по проводнику пойдет ток. Ток в движущемся проводнике направлен от «–» к «+» (надо указать, что рассматри- ваемый проводник представляет собой источник, в котором действует стороннее поле; внутри источника ток всегда идет от «–» к «+».

На этот ток будет действовать сила Ампера, направленная вверх, т. е. препятст- вующая начальному движению проводника.

3.Поток, пронизывающий диск, остается все время постоянным, но любой радиус диска при вращении будет пересекать линии индукции. Свободные электроны будут двигаться вместе с диском, и, следовательно, на них со стороны поля будет действовать лоренцева сила. Предположим, что поле направлено так, как показано на рис. 98, в. Рассмотрим мысленно выделенный радиальный участок 1-2. При указанном направле- нии вращения сила Лоренца, действующая на электроны рассматриваемого участка, будет направлена к центру диска. В центре будет происходить накопление отрицатель- ных зарядов, на ободе – положительных. Следует показать, что такое же распределение зарядов получится в любом другом радиальном участке.

Проверим по правилу Ленца: если к оси и ободу диска подвести скользящие кон- такты, от которых идут провода, замкнутые на сопротивление, то по цепи пойдет ток. В

диске ток будет опять идти от «–» к «+», т. е. от центра к ободу. Амперова сила, дейст- вующая на этот ток, направлена в сторону, противоположную вращению диска, т. е. будет препятствовать его начальному движению.

Задача 2

В центре плоской круглой рамки, состоящей из N1 = 50 витков радиусом r = 20 см каждый, расположена маленькая рамка, состоящая из N2 = 100 витков площадью S = 1 см2 каждый. Эта рамка вращается вокруг одного из диаметров первой рамки с по- стоянной угловой скоростью ω = 300 с-1. Найти максимальное значение возникающей Ei, если в обмотке первой рамки идет ток I = 10 А.

Плоскости обеих рамок в начальный момент совпадают.

Анализ. Так как вторая рамка мала по сравнению с первой, индукцию поля в ее пределах можно считать постоянной и равной индукции поля в центре первой рамки,

т. е.

B = μ20rI N1 .

Выберем положительное направление нормали к маленькой рамке по внешнему полю (рис. 99). Тогда в начальный момент магнитный

Рис. 99. поток сцепления маленькой рамки Φ0 = BSN2 .

При вращении маленькой рамки поток будет меняться вследствие изменения угла φ = (n0, B). Следовательно, в маленькой рамке будет возникать электродвижущая сила

Ei = − ddtΦ .

Решение. Так как скорость вращения рамки постоянна, то в любой момент времени угол φ = ωt и поток, пронизывающий маленькую рамку, равен

Φ = BSN2 cosωt . (2)

Подставляя сюда значение B из формулы (1), находим Φ = μ20rI SN1N2 cosωt .

Отсюда выражение для ЭДС индукции будет иметь вид

Ei = − ddtΦ = μ20rI SN1N2ω sinωt .

Экстремального значения Ei будет достигать каждый раз, когда sin ωt будет обращаться в ± 1, т. е. когда

ωt = (2n +1)π2 .

При этом

Ei max = - ddtF = μ20rI SN1N2ω = 4,7 ×10−3 эВ .

Рассмотрим несколько подробнее изменение знака Ei за время одного полного обо- рота рамки. При выбранном направлении нормали Ei > 0, если ωt ≤ π.

В момент, когда ωt окажется равным π, знак ЭДС индукции изменится на противо- положный. В этот момент плоскость рамки расположится перпендикулярно внешнему полю, и, следовательно, поток будет равен нулю.

Задача 3

В однородном магнитном поле вращается плоская прямоугольная рамка. Ось вра- щения перпендикулярна линиям индукции и расположена (рис. 100): а) вдоль средней линии рамки; б) вдоль одной из ее сторон; в) на некотором расстоянии от рамки. Оди- наковая ли ЭДС индукции возникнет в рамке во всех трех случаях, если скорость ее вращения ω не меняется?

Анализ. Рассмотрим каждый случай в отдельности. В случае а) обе стороны рамки, параллельные оси, пересекают при своем движении линии индукции поля, и ЭДС ин-

Рис. 100.

дукции возникает в обеих сторонах, притом направление их одинаково. Например, в момент, изображенный на рис. 100, а, согласно правилу левой руки получим, что в ле- вой стороне отрицательные заряды будут скапливаться наверху, в правой – внизу. Сле- довательно, результирующее значение ЭДС индукции, возникающей в рамке, будет вдвое больше ЭДС индукции, возникающей в одной из ее сторон. В случае б) движется только одна сторона. В случае в) вновь в движении находятся обе стороны, но теперь возникающие в них ЭДС индукции «направлены» навстречу друг другу: и в левой, и в правой сторонах отрицательные заряды будут скапливаться вверху, результирующая

ЭДС индукции будет равна разности E1 – E2, где E1 и E2 – электродвижущие силы ин- дукции, возникающие соответственно в первой и второй сторонах рамки. Однако Ei, возникающая в прямолинейном проводнике, всегда прямо пропорциональна его линей- ной скорости.

В случае а) ЭДС индукции, возникающая в каждой стороне, равна Ei = kω 2l ,

где l – длина стороны рамки, перпендикулярной оси; k – коэффициент пропорциональ- ности, зависящий от длины проводника, индукции поля и, в данном случае, от положе- ния рамки в рассматриваемый момент времени. Суммируя ЭДС по обеим сторонам, по-

лучаем

Eа = kωl .

Вслучае б) линейная скорость стороны 2, находящейся в движении,

v= ωl ,

поэтому

Eб = kωl .

В случае в)

E 2 = kωx0 ,

где x0 – расстояние от стороны 1 до оси вращения; E1 = kω(x0 + l).

Беря, как было указано выше, разность этих величин, находим Eв = kωl ,

т. е. во всех трех случаях ЭДС индукции должна быть одинаковой, независимо от рас- положения оси.

Формальное применение выражения Ei = ddtΦ дает тот же результат, так как закон изменения потока во всех трех случаях одинаков.

Задача 4

В одной плоскости с бесконечно длинным прямым током I = 20 А на расстоянии x0 = 1 см находятся две шины, параллельные току I. По шинам поступательно переме- щается проводник длиной l = 0,5 м. Скорость его v = 3 м/с, постоянна и направлена вдоль шин. Найти разность потенциалов, возникающую на концах проводника.

Анализ. Прежде всего найдем знак ЭДС индукции, возникающей в проводнике l (рис. 101). Поле тока I ниже самого проводника будет направлено, как показано на ри-

Рис. 101.

сунке, «от нас». Применяя правило левой руки, находим, что на ближайшем к току I конце проводника l будут накапливаться положительные, на дальнем – отрицательные заряды. Следовательно,

ϕ1 -ϕ2 = Ei .

Сложность нахождения Ei в данном случае заключается в том, что индукция магнитно- го поля прямого тока меняется вдоль движущегося проводника. Рассмотрим небольшой участок dx проводника l. Как обычно, будем считать dx настолько малым, что в его пределах поле будет постоянным. Тогда разность потенциалов на таком участке равна

dϕ = Bdx × v .

Здесь B – индукция поля, создаваемого током I на участке dx. Интегрируя полученное выражение по всей длине движущегося проводника, найдем искомую разность потен- циалов.

Решение. Если обозначить через x расстояние от прямого тока до рассматриваемо- го участка, то индукция поля на рассматриваемом участке dx:

B= μ0 I

2πx

и

dϕ = 2μπ0xI dx × v .

При суммировании по всему проводнику l расстояние x будет меняться от x0 до x0 + l.

Тогда

Производя интегрирование, получаем

ϕ1 -ϕ2 = μπ0 Ivln x0x+ l = 4,7 ×10−3 В. 2 0