МЭИ(ТУ) Физика

Анализ и решение. Размеры тороида, данные в условии, показывают, что тороид тонкий, поэтому поле внутри него можно считать однородным. Это позволяет легко найти магнитную энергию через плотность энергии магнитного поля:

где V = Sl – объем пространства, в котором сосредоточено магнитное поле рассматри-

Внутри тонкого тороида индукция поля

где N – общее число витков обеих обмоток.

Подставляя написанные выше значения V и ωm и выражение (2) для B в формулу (1), получаем

W = μ0l2 N 2 S = 25 ×10−3 Дж . 2l

При отключении одной из обмоток число витков и, следовательно, индукция маг- нитного поля уменьшаются вдвое. Энергия магнитного поля уменьшится вчетверо.

Этот результат надо особенно подчеркнуть. Если каждую из обмоток рассматри- вать как самостоятельную систему, то полная энергия

W = W1 +W2 +Wвз ,

где W1, W2 – магнитные энергии каждой из обмоток; Wвз – взаимная энергия. Выражая энергии через магнитные потоки, находим

W1 = i1F211 , W2 = i1F222 ,

Wвз = i1F21 = i2F12 .

Здесь Φ11, Φ22 – собственные потоки соответственно первой и второй обмоток; Φ12 – поток, созданный первой обмоткой и пронизывающий вторую; Φ21 – поток, созданный второй обмоткой и пронизывающий первую. Ввиду полной идентичности обмоток все потоки равны между собой, поэтому

W1 = W2 = 12Wвз .

Отсюда вытекает, что отключение одной из обмоток уменьшает энергию системы в че- тыре раза.

Задача 4

На полый картонный цилиндр длиной lк = 50 см, диаметром D = 3 см навита в два ряда медная проволока диаметром D0 = l мм. Полученная таким образом катушка под- ключена к гальваническому элементу E = 1,4 В (рис. 105). Через

какое время τ после перевода ключа из положения 1 в положе- ние 1 сила тока в катушке уменьшится в 1000 раз? Какое коли- чество джоулевой теплоты выделится в катушке за это время? Чему равнялась магнитная энергия катушки до переключения? ρмеди = 0,017 Омм× мм2 .

Анализ. После перевода ключа в положение 2 катушка будет замкнута накоротко. Единственная электродвижущая сила в цепи – это ЭДС самоиндукции.

Это значит, что ток в катушке исчезнет не мгновенно, а будет постепенно умень- шаться до нуля. При этом на омическом сопротивлении будет выделяться джоулева те- плота. Количество джоулевой теплоты, которое выделится на сопротивлении за время прохождения тока после отключения источника, равняется магнитной энергии катушки до отключения источника. Необходимо отметить, что при включении источника номи-

где R – сопротивление катушки. Подставим в формулу (1) выражение для Es, тогда iR = -L dtdi

(здесь L – индуктивность катушки). Разделение переменных приведет к выражению

В начальный момент времени ток в цели равнялся i0. Производя интегрирование равенства (2) в пределах от 0 до t по времени и от 0 до i0 по току, находим1:

Тогда количество джоулевой теплоты, выделившееся на сопротивлении R за время τ,

равно

Анализируя выражение (6), видим, что при τ → ∞ Q = W0. Так как значения индуктив- ности и омического сопротивления рассчитаны, можно найти начальную энергию

W0 = L2ER22 = 4,4 ×10−4 Дж .

При подсчете величины Q оказывается, что вычитаемое, стоящее в скобках, со- ставляет величину порядка 10-6. Это значит, что практически за время τ =6,2 · 10-3 с вся магнитная энергия катушки превратилась в джоулеву теплоту.

§ 4. МАГНЕТИКИ

Независимо от того, дано ли на лекциях электронное толкование магнитных свойств веществ или нет, гипотеза о молекулярных токах позволяет свести действие среды к действию совокупности элементарных витков (аналогично тому, как в электро- статике действие диэлектрика заменяется действием совокупности диполей). Поэтому в любом случае можно сказать, что магнитное поле B в среде будет складываться из поля B0 макротоков и поля B' микротоков, т. е.

Это положение будет справедливо всегда, независимо от характера поля и формы маг- нетика.

В некоторых частных случаях, например в случае однородного магнетика в одно- родном магнитном поле (тонкая тороидальная катушка со сплошным сердечником), можно показать, что индукция B' поля, созданного микротоками, однозначно определя- ется вектором J интенсивности намагничения, который представляет собой магнитный

В общем случае индукция результирующего поля будет определяться макротоками и микротоками. Поэтому закон полного тока в среде может быть записан следующим об- разом:

òBdl = μ0 (åI + åi).

L

Здесь åI – сумма макротоков, åi – сумма микротоков, сцепленных с контуром L.

Вычисление суммы микротоков в самом общем случае (произвольное поле, произ- вольное распределение сред) показывает, что

åi = òJdl .

L

Подставляя это выражение в закон полного тока, после несложных преобразований

получаем

Выражение, стоящее под интегралом в скобках, называется напряженностью Н

магнитного поля и представляет собой вспомогательную характеристику магнитного поля. Итак,

Таким образом, выражение (4) есть определение вектора напряженности, выражение (5)

– закон полного тока для вектора H.

Выражения (5), (4) так же, как и выражение (1), справедливы всегда, независимо от характера поля и формы магнетика. Если индукция поля микротоков однозначно опре- деляется вектором J (например, тонкая тороидальная катушка со сплошным сердечни- ком), то индукция B0 поля макротоков будет однозначно связана с напряженностью H

поля соотношением

т. е. для указанного частного случая относительная магнитная проницаемость μ пока- зывает, во сколько раз поле в среде больше, чем в вакууме (при неизменных макрото- ках). Следует обязательно подчеркнуть, что формула (7), аналогично выражениям (1),

(4) и (5), справедлива всегда.

Равенство (8), аналогично выражениям (2) и (6), справедливо в отдельных частных случаях, например для тонкой тороидальной катушки.

Задачи настоящего параграфа ставят своей целью научить студентов пользоваться законом полного тока в среде и познакомить их с некоторыми свойствами магнетиков, в основном ферромагнетиков. Понятие магнитного сопротивления и другие вопросы, изучаемые в электротехнике, не затрагиваются. Как и обычно, большинство задач ре- шается в СИ. Размерность напряженности поля (в любой системе), как видно из закона полного тока,

dim H = iL−1 .

Соответственно в СИ единица измерения напряженности 1 А/м, в системе СГСМ –

СГСМl = 1Э . При нахождении соотношения между этими единицами следует пом-

см нить, что система единиц СИ рационализованная, т. е. в закон Био-Савара-Лапласа был

введен множитель 41π , поэтому

Задача 1

Обмотка тонкой тороидальной катушки с железным сердечником состоит из N = 500 витков. Средний радиус тороида r = 8 см. Найти индукцию магнитного поля внутри тороида, относительную магнитную проницаемость и интенсивность намагни- чения сердечника, если ток в обмотке i = 0,5 А; 1 А; 2 А. Кривая намагничения данного сорта железа приведена на рис. 106 (кривая 1).

Анализ. Следует, прежде всего, обратить внимание студентов на то, что каждый ферромагнетик характеризуется собственной кривой намагничения, т. е. собственным ходом зависимости индукции магнитного поля от его напряженности. Эта кривая ха-

рактеризует данное вещество независимо от размеров и формы сердечника и может быть получена только опытным путем – никакой явной аналитической связи между ве- личинами B и H нет. Поэтому, если, например, с помощью закона полного тока можно будет найти напряженность магнитного поля, то индукцию его, а также характеристики

сердечника (относительная проницаемость, интенсивность намагничения) могут быть найдены только при наличии кривой намагничения.

Решение. Рассмотрим, можно ли с помощью закона полного тока найти напряжен- ность магнитного поля. Однородность сердечника, а также конфигурация самих токов (тонкая тороидальная катушка) позволяют предполо- жить, что линии напряженности, как и линии индук- ции, будут представлять собой окружности, концен- тричные самому тороиду, и что в разных точках такой

окружности напряженность поля по модулю будет одинаковой. Контур L интегрирования согласно ука- Рис. 106. занным выше предположениям следует выбрать в ви-

де окружности, также концентричной заданному тороиду. Если направление обхода контура выбрать в направлении вектора H, то во всех точках контура угол (H, dl) = 0,

поэтому

ò d = òHdl .H l

следовательно,

H× 2πr = åI .

Вданной задаче сумма токов, сцепленных с контуром интегрирования,

Подставляя выражение (2) в формулу (I), находим H для трех значений i, заданных в условии:

H = 2NIπr = 0,5 ×103 Ам ;1,0 ×103 Ам ; 2,0 ×103 Ам .

Пользуясь приведенным графиком, найдем соответственно три значения индукции магнитного поля:

B =1,07 Тл;1,26 Тл;1,45 Тл .

Надо обязательно подчеркнуть, что при наличии сердечника никакой пропорцио- нальности между индукцией B магнитного поля и током в обмотке не существует. Дей- ствительно,

Таким образом, с ростом тока, с ростом напряженности магнитного поля относительная магнитная проницаемость падает, и рост J замедляется – сердечник приближается к на- сыщению.

Интересно отметить, что интенсивность намагничения в 103 раз больше напряжен- ности поля, следовательно, индукция B' поля микротоков соответственно на три поряд- ка выше индукции B0 поля макротоков.

Задача 2

Два одинаковых тонких железных кольца (r = 10 см) имеют обмотки по N = 100 витков каждая. В одном из колец имеется воздушный зазор толщиной l' = 1 мм. Какой силы ток надо пустить по обмотке кольца с зазором, чтобы создать в нем ту же индук- цию, что и в первом (сплошном) кольце при токе i1 =1,25 А? Потоком рассеяния в воз- душном зазоре второго кольца пренебречь. Кривая намагничения железа, из которого сделаны оба кольца, приведена на рис. 106 (кривая 1).

Анализ. Индукция B1 магнитного поля в первом кольце может быть найдена так же, как и в предыдущей задаче. Применяя закон полного тока для H, найдем значение напряженности поля и по графику рис. 106 определим индукцию.

Рассмотрим теперь второе кольцо (с воздушным зазором). Непрерывность линий

индукции обусловливает равенство магнитных потоков в сердечнике и в воздушном зазоре, т. е.

Fс = Fв .

Площадь сечения потока индукции в воздухе обычно больше, чем в сердечнике, т. е. образуется так называемый поток рассеяния. Разница между площадями зависит только от формы сердечника, и она тем меньше, чем меньше толщина воздушного зазора. Со-