МЭИ(ТУ) Физика

Задача 4.2. По соленоиду течет ток 2 А. Магнитный поток, пронизывающий поперечное сечение соленоида, равен 4·10-6Вб. Определить индуктивность соленоида, если он имеет 800 витков.

Решение. Индуктивность есть величина, численно равная собственному потоку индукции Ψ, сцепленному со всеми витками соленоида (потокосцепление), когда по нему идет ток, равный единице силы тока:

L = YI .

Заменив здесь потокосцепление Ψ его выражением через магнитный поток Ф и число витков N соленоида (Ψ=ФN), получим

Задача 4.3. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода. Диаметр провода 0,2 мм, диаметр соленоида 5 см. По соленоиду течет ток 1 А. Определить, какое количество электричества протечет через обмотку, если концы ее замкнуть накоротко. Толщиной изоляции пренебречь.

Решение. Количество электричества dq, которое протекает по проводнику за время dt при силе тока I, определяется равенством

В формулу (1) вместо силы тока можно подставить значение ЭДС индукции εинд и сопротивление соленоида R, т. е.

I = εRинд .

Подставив это выражение тока в формулу (1), найдем dq = εRинд dt.

Но εинд связана с изменением потокосцепления Ψ в единицу времени по закону Фарадея—Максвелла:

Для определения заряда, протекшего через обмотку соленоида, следует найти индуктивность соленоида и сопротивление R обмотки соленоида, которые выражаются формулами:

R = ρ sl = π4dρ2l ,

где μ0-магнитная постоянная; N—число витков; l1-длина соленоида; S1-сечение соленоида; ρ-удельное сопротивление провода; l-длина провода; S-сечение провода; d-диаметр провода; D-диаметр соленоида.

Подставив найденные выражения L и R в формулу (4), получим

5. Энергия магнитного поля. Магнетики

1. Энергия W магнитного поля, локализованного в соленоиде индуктивностью L

W = LI22 ,

где I-сила тока в соленоиде.

2. Объемная плотность ω энергии магнитного поля (энергия, заключенная в единице объема) определяется

ω = B2 . 2μμ0

Энергия .магнитного поля, локализованного в объеме поля V, равна

W = òωdV.

V

3.Магнитная индукция В связана с напряженностью H магнитного поля соотношением

B = μμ0H

где μ-относительная магнитная проницаемость среды.

4. Напряженность магнитного поля H связана с количественной характеристикой намагниченного состояния вещества - вектором намагниченности J

где Pm— магнитный момент i-го атома из общего числа п атомов, содержащихся в объеме V.

Задача 5.1. На стержень из немагнитного материала длиной 50 см и сечением 2 см2 намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится

20 витков. Определить энергию магнитного поля внутри соленоида, если сила тока в обмотке 0,5 А.

Решение. Энергия магнитного поля соленоида с индуктивностью L, по обмотке которого течет ток I, выражается формулой

Индуктивность соленоида в случае немагнитного сердечника зависит только от числа

Подставим числовые значения в формулу (4) и произведем вычисления

W = 12 3,14 ×10−7 × (2 ×103 )2 (0,5)2 2 ×10−4 × 0,5 =1,26 ×10−4 Дж.

Задача 5.2. По цилиндрическому медному проводника радиуса 2 см течет ток 100 А Считая проводник очень длинным, найти энергию магнитного поля сосредоточенного внутри участка проводника длины 1 м.

Решение. Симметричность поля позволяет применить для расчета индукции магнитного поля закон полного тока

Относительная магнитная проницаемость меди постоянна и практически равна единице. Энергия магнитного поля в объеме V = πr02l0

Выберем контур интегрирования l (рис 13) в форме окружности, совпадающей с одной из линий индукции, радиус которой r . Тогда

òBdl = òBdl cos(dl B)= B2πr

l l

при угле между векторами dl и B равном нулю, когда направление обхода контура совпадает с направлением линии индукции

Если плотность тока постоянна по поперечному сечению проводника, то сумма токов, сцепленных с контуром интегрирования,

Подставим выражения (3) и (4) в (1)

B2πr = μ0 Ir2 ,

r02

откуда

Элементарный объем dV в выражении (2) должен быть таким, чтобы в нем плотность энергии, а, следовательно, и индукция магнитного поля оставались постоянными. Этому условию удовлетворяет тонкий цилиндрический слой, объем которого dV=2πr0ldr. Тогда равенство (1) с учетом (5) имеет вид

W = òωdv =

V

Энергия поля, отнесенная к длине,

Задача 5.3. Обмотка тонкой тороидальной катушки с железным сердечником состоит из 500 витков. Средний радиус тора 8 см. (рис. 14). Найти индукцию магнитного поля внутри катушки, намагниченность и относительную магнитную проницаемость сердечника при силе тока в обмотке 0,5А и 1,5А.

где å I -сумма макротоков, сцепленных с контуром I, который должен совпадать с одной из линий напряженности (в нашем случае по средней линии тора). Зная напряженность поля внутри тороида при заданном значении силы тока, можно определить индукцию поля, воспользовавшись графиком (рис. 15) зависимости В(Н) для данного сорта железа. Намагниченность может быть найдена из соотношения Энергия поля, отнесенная к длине,

Задача 5.3. Обмотка тонкой тороидальной катушки с железным сердечником состоит из 500 витков. Средний радиус тора 8 см (14). Найти индукцию магнитного поля внутри катушки, намагниченность и относительную магнитную проницаемость сердечника при силе тока 1,5А.

Решение. В данном случае магнитное поле создается как ма-кротоками, текущими по

где å I -сумма макротоков, сцепленных с контуром l ,который должен совпадать с одной из линий напряженности (в нашем случае по средней линии тора). Зная напряженность поля внутри тороида при заданном значении силы тока, можно определить индукцию поля, воспользовавшись графиком (рис. 15) зависимости В(Н) для данного сорта железа.

Намагниченность может быть найдена из соотношения

Если направление обхода контура в уравнении (1)) выбирать по линиям

напряженности, то во всех точках контура угол между векторами H и dl равен нулю,

вследствие симметрии значения вектора H вдоль контура постоянен, поэтому

òHdl = òHdl = H òdl = H 2πr0.

l l l

С контуром l сцеплены все N витков обмотки, поэтому å Ii = NI . Подставим два последние выражения в уравнение (1), получим

H = IN . 2πr0

Расчет напряженности дает для силы тока 0,5А H=500 А/м, для 1,5 А H2=1500 А/м. Найдем индукцию магнитного поля внутри тора по полученным значениям H, используя график рис. 15. При Н=Н1 и Н=Н2, индукции B1=1,07 Тл и B2=1,37Тл. Используя найденные значения Н и В, рассчитаем намагниченность и относительную магнитную проницаемость сердечника по формулам (2) и (3):

Следует отметить, что в данном случае напряженность поля прямо пропорциональна силе тока в обмотке, тогда как индукция магнитного поля и намагниченность железа не

То что B2 B1 и J2 J1 практически не отличаются друг от друга, подчеркивает, что основной вклад в индукцию поля сделан микротоками образца, а не токами в обмотке катушки.

6.Электромагнитные колебания

1.Свободные электрические колебания в колебательном контуре (рис. 16) являются гармоническими, если его электрическое сопротивление R=0 и описываются уравнением

Циклическая частота ω0 и период Т этих колебаний удовлетворяют формуле

Заряд q конденсатора, сила тока I в контуре изменяются по законам: q = q0 sin(ω0t +α );

I = I0 cos(ωt + α0 )= I0 sin(ω0t +α0 + π2),

где q0 - амплитуда заряда конденсатора; I0 = ω0q0 = q0 1

LC

-амплитуда силы тока; α0-начальная фаза колебаний заряда конденсатора.

2. Полная энергия электромагнитных колебаний в контуре не изменяется с течением

Заряд q конденсатора в контуре изменяется по закону

q = q0e−βt sin(ωt +α0 ),

где q0e−βt - амплитуда затухающих колебаний.

Циклическая частота о и период Т определяются соотношением

Логарифмический декремент затухания

δ = ln ( ) = βT,

A t + T

где A(t)- амплитуда .колебаний в момент времени t А(t+Т)- амплитуда колебаний через период колебания.

Задача 6.1. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 2 ×10−8 Ф и катушки с общим числом витков 300 индуктивностью 5 ×10−5 Гн (рис. 16). Омическим сопротивлением контура можно пренебречь. Максимальное напряжение на обкладках конденсатора 120 В. Определить максимальный магнитный поток, пронизывающий катушку, и начальную фазу колебаний напряжения, если в момент t==0 энергия конденсатора равна магнитной энергии катушки.

Решение. Изменение напряжения на обкладках конденсатора описывается гармонической функцией

Положительное направление тока соответствует уменьшению заряда на обкладках конденсатора, следовательно