МЭИ(ТУ) Физика

ЗАДАЧА 6. КЛАССИЧЕСКИЙ РАДИУС ЭЛЕКТРОНА [7]

1.Постановка задачи

Вклассической физике электрон рассматривается как заряженный шарик, заряд ко-

торого равномерно распределен по объему. В СТО известно соотношение E = mc2, свя- зывающее энергию и массу частицы. Считая, что вся энергия электрона есть энергия его электростатического поля, получаем возможность найти радиус электрона.

2. Формулировка задачи

Исходя из классических представлений об электроне, найти его классический ра- диус R, если m0 = 9,1 · 10-31 кг – масса покоя электрона; q = 1,6 · 10-19 Кл – его заряд; c = 3 · 108 м/с – скорость света в вакууме.

3. Решение

По условию задачи энергия покоя электрона его равна электростатической энергии

W

m0c2 = W.

Электростатическую энергию электрона (равномерно заряженного шарика) можно, на- пример, рассчитать, используя выражение объемной плотности энергии электростати- ческого поля w = ε0E2/2. Для этого предварительно найдем напряженность электриче- ского поля внутри Е1 и вне E2 электрона по теореме Гаусса. Получим

где r – расстояние от центра заряженного шарика. Тогда энергия электростатического

поля электрона равна

Приравниваем энергию покоя электрона его электростатической энергии:

Отсюда классический радиус электрона равен

4. Обсуждение

Классическая теория имеет определенные границы применимости. Хорошо объяс- няя одни опытные факты, она вступает в противоречие с другими.

Так представление об электроне как о заряженном шарике не подтверждается ря- дом опытных фактов, из которых, в частности, следует, что величина гиромагнитного отношения собственных магнитного и механического моментов электрона не соответ- ствует гиромагнитному отношению, которое должно иметь заряженный вращающийся шарик. Вследствие чего следует считать, что спин электрона обусловлен не вращением, а является таким же неотъемлемым свойством электрона, как его заряд и масса. Т. е. представление об электроне как о заряженном шарике определенного радиуса – непра- вомерно.

В подтверждение этого положения приведем следующие численные оценки. По

классическим представлениям момент импульса электрона

L = Iω = 52 m0 R2 Rv = 0,4m0vR ,

L = 0,4 · 9,1 · 10-31 · v · 1,7 10-15,

где v = ωR – скорость электрона на «экваторе».

С квантовой точки зрения L ~ ħ = 1,06 · 10-34 Дж · с. Из этих двух формул получаем,

что v = 1,06 · 10-34/0,4 · 9,l · 1,7 · 10-46 ≈ 1,7 · 1011 м/с, т. е. скорость электрона больше скорости света, а это противоречит постулатам специальной теории относительности.

ЗАДАЧА 7. КУЛОНОВСКАЯ ЭНЕРГИЯ ЯДРА [3, 7, 8]

1. Постановка задачи

Электростатическая энергия ядра играет большую роль в исследовании свойств яд- ра. Эта энергия дает основной вклад в энергию, выделяющуюся три распаде ядер.

Ядро атома можно представить в виде равномерно заряженного шарика, радиус ко- торого определяется эмпирической формулой R = R0A1/3, где R0 ≈ 1,2 · 10-15 м; A – число нуклонов в ядре3.

2. Формулировка задачи

Считая ядро равномерно заряженным шариком радиуса R = R0Al/3, рассчитать его электростатическую энергию W.

3. Решение

Электростатическую энергию равномерно заряженного шара можно рассчитать как энергию поля внутри шара и вне его (см. задачу 6). Но существует и другой способ.

Рассчитаем электростатическую энергию ядра по работе, затраченной на то, чтобы «собрать» равномерно заряженный шар из бесконечно удаленных зарядов. Будем соби- рать шар, наслаивая друг на друга заряд dQ и размещая его тонким слоем от r до r + dr, пока не получим радиус R.

Пусть Qr – заряд шара, когда его радиус равен r, φr – его потенциал. Тогда работа перемещения заряда dQ из бесконечности на шар равна

δA = dQ ×ϕr = dQ Qr . 4πε0r

Если объемная плотность заряда равна ρ, то Qr = ρ 43πr3 ; dQ = ρ4πr2dr . Тогда

δA = ρ4πr2dr ρ4πr3 = 4πρ2r4 dr . 4πε0 3r 3ε0

Полная электростатическая энергия шара радиуса R равна

3 * Интересно отметить, что величина радиуса ядра имеет тот же порядок, что и класси- ческий радиус электрона.

Учитывая, что полный заряд шара равен Q = ρ 34πR3 , получим

Для ядра с зарядом Q = zq, где z – число протонов в ядре, имеем

W= 3 (zq)2 .

5 4πε0R

Однако для небольшого числа протонов это уравнение не совсем правильно.

Из этой энергии следует вычесть энергию действия протона «самого на себя», т. е. отдельных его «частей» при «сборке» ядра. Энергия, соответствующая протону, заряд которого равномерно распределен по шару радиуса R, равна

Для z протонов эта энергия в z раз больше. Следовательно, электростатическая энергия

кулоновского взаимодействия протонов в ядре равна

4. Обсуждение

Энергия, выделяющаяся в ядерной реакции деления, обусловлена, главным обра- зом, электростатической энергией ядра.

Подсчитаем электрическую энергию, выделяющуюся в ядерной реакции деления:

= 931 m а. е. м. [МэВ] = 931 · 0,211 = 200 МэВ.

Подсчитаем изменение электростатической энергии ядер в этой реакции:

W = 350 МэВ.

Часть этой энергии выделяется в виде кинетической энергии образовавшихся час- тиц (200 МэВ), а часть тратится на изменение поверхностной энергии ядер и др.

ЗАДАЧА 8. СИЛЫ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ВОЛЬТМЕТРЕ [4]

1. Постановка задачи

На тела, помещенные в электрическое поле, действуют пондеромоторные силы. На этом принципе устроены электростатические вольтметры. Большим преимуществом

таких вольтметров является возможность их применения для измерения напряжения маломощных источников тока. Обу- словлено это тем, что во время измерения напряжения через прибор не протекает постоянный ток. Особенно часто их при- меняют для измерения высоких напряжений.

На рис. 16 изображена схема электростатического вольт- метра, представляющего собой систему двух конденсаторов Рис. 16. (1-1) и (2-2). Конденсаторы выполнены в виде четырех квад-

рантов круга и представляют собой пустотелые металлические коробки. Соединяются квадранты крест накрест друг с другом.

Внутри коробок может перемещаться легкий сектор (3-3) выполненный в форме восьмерки из тонкой алюминиевой фольги. При перемещении сектора (3-3) изменяется взаимная электрическая емкость конденсатора (1-1) и (2-2). Сектор подвешен на упру- гой нити с маленьким зеркальцем, позволяющим производить отсчет угла поворота сектора. Квадранты с сектором размещены внутри замкнутого заземленного металли- ческого корпуса, имеющего лишь небольшое окно для наблюдения за зеркальцем сек- тора. Измеряемая разность потенциалов U подается на квадранты (2-2). Квадранты (1- 1) заземляются, и их потенциал φ1 = 0. На сектор (3-3) подается вспомогательное по- стоянное напряжение V > U. В этой схеме чувствительность вольтметра может дости- гать значений 10000 делений/В и выше. При измерении высоких напряжений исполь- зуют другую схему включения вольтметра, в которой вспомогательное напряжение V отсутствует, а сектор (3-3) присоединяют к одному из квадрантов. В этом случае вольт- метр обладает низкой чувствительностью, но может служить электростатическим вольтметром переменного тока.

Пренебрегая теплотой Джоуля-Ленца и учитывая (5), (8) и (9), из уравнения (3) имеем

Сектор подвешен на упругой нити. Поэтому на него, кроме момента сил поля, действу- ет момент сил упругости со стороны закрученной нити, равный

Подставив (10) и (11) в уравнение (12), получим расчетное выражение для величины угла отклонения:

6. Обсуждение

Рассматривая результаты решения задачи 8.1 (см. рис. 17), можно предположить случай, когда вольтметр отключается от источников тока, т. е. заряды проводников не изменяются. Тогда для энергии электрического поля воспользуемся формулой

W = Q12 (2C1 )+ Q22 (2C2 ). Продифференцировав это выражение, зная dC1 и dC2, найдем изменение энергии поля при повороте сектора (3-3) на угол dφ:

dW = ε20dα [V 2 - (V -U )2 ]dϕ .

Механическая энергия, как и в первом случае, равна dA = – Mdφ. Из закона сохранения энергии dA + dW = 0 получим, что момент силы, действующий со стороны поля на сек- тор, равен

M = ε20dα [V 2 - (V -U )2 ],

т. е. и в этом случае, когда заряды проводников не изменятся, момент положителен.

При включении вольтметра, как показано на рис. 18, из анализа формулы (13) зада- чи 8.2 следует, что данный метод измерения напряжения является абсолютным мето- дом. По известным механическим величинам определяется электрическая. Кроме того, из формулы (13) видно также, что φ ~ U2, т. е. отклонение не зависит от знака разности потенциалов. Поэтому в такой схеме электростатический вольтметр может служить для измерения переменного напряжения.

Следует отметить также, что энергетический подход к решению данной задачи не случаен. Иногда в силу сложности учета краевых эффектов электрических полей про- сто невозможно определить пондеромоторные силы. В то же время применение закона сохранения энергии, как например, в рассмотренном случае, позволяет это сделать.