МЭИ(ТУ) Физика

трическим слоем однородного диэлектрика с относительной диэлектрической прони- цаемостью ε и наружным радиусом R2 (рис. 3.2).

Р е ш е н и е . Емкость уединенного проводника C = ϕQ . Если выбрать потенциал равным нулю в бесконечности и учитывать, что напряженность в любой точке диэлек-

Задача 3.3. Два одинаковых конденсатора соединены последовательно и подклю- чены к источнику U0. Во сколько раз изменится разность потенциалов на одном из кон- денсаторов, если другой погрузить в жидкость с относительной диэлектрической про- ницаемостью ε, отключив их от источника?

Р е ш е н и е . Так как конденсаторы одинаковы, то разность потенциалов на каждом из них равна U1 = U2 = U20 .

После погружения одного конденсатора в жидкий диэлектрик емкость его увели-

где C – емкость конденсатора до погружения его в диэлектрик. Заряды последователь-

но соединенных конденсаторов одинаковы и равны

Q = CбU0 = εε+C1U0 .

Разность потенциалов на первом конденсаторе стала U1 '= QC = 1εU+ ε0 .

Следовательно,

U1 = 1+ ε .

U1 ' 2ε

Задача 3.4. Плоский воздушный конденсатор емкостью C1 = 0,2 мкФ заряжен до разности потенциалов U = 600 В. Найти изменение энергии конденсатора и работу, со- вершенную полем при заполнении конденсатора диэлектриком с диэлектрической про- ницаемостью ε = 2. Конденсатор все время подключен к источнику .

Р е ш е н и е . При заполнении конденсатора диэлектриком емкость его увеличива- ется в ε раз (С2 = εC1), разность потенциалов не меняется, так как конденсатор все вре- мя подключен к источнику. Следовательно, энергия конденсатора увеличивается. Из- менение энергии конденсатора W = W2 – W1 равно сумме работы внешних сил A' и ра- боты Aбат, совершаемой источником тока, который поддерживает постоянную разность потенциалов на обкладках конденсатора, т. е.

W = W2 – W1 = A' + Aбат.

Появившиеся на концах диэлектрика связанные заряды частично компенсируют действие зарядов на обкладках. Чтобы напряжение между обкладками оставалось не- изменным, на пластины должны перейти от источника дополнительные заряды, равные связанным зарядам на диэлектрике. Следовательно, работу источника тока по измене-

Задача 3.5. Найти изменение энергии конденсатора и работу поля, если в условии предыдущей задачи конденсатор, заряженный от источника U, заполнили диэлектри- ком , отключив его от источника.

Р е ш е н и е . Изменение энергии конденсатора в этом случае равно работе внешне- го поля W = A' = – A или A = W1 – W2. Так как конденсатор отключен от источника, то его заряд в процессе заполнения диэлектриком не изменяется. Поэтому для расчета

энергии конденсатора удобно воспользоваться формулой W = Q2 . Следовательно,

2C

Задача 3.6. Заряд Q распределен равномерно по объему шара из диэлектрика с по- стоянной объемной плотностью ρ. Относительная диэлектрическая проницаемость ди- электрика ε. Найти энергию электростатического поля внутри и вне шара. Радиус шара равен R.

Р е ш е н и е . Объемная плотность энергии электростатического поля в диэлектрике

w = εε0 E2 , где E – численное значение напряженности поля в рассматриваемой точке.

2

Напряженность поля для произвольной точки внутри шара E1 = 3εερr0 (см. задачу 2.3),

где r – расстояние от центра шара до рассматриваемой точки поля, ρ – объемная плот- ность заряда.

Энергия dW в объеме dV поля, заключенного между сферическими поверхностями, радиусы которых равны r и r + dr, а центры совпадают с центром шара, равна

Задача 3.7. Внутри металлического шара имеется асимметрично расположенная сферическая полость, в центре которой находится точечный заряд Q = l,2 · 10-8 Кл. Най- ти напряженность и потенциал электрического поля вне шара на расстоянии r0 = 10 см от его центра (рис. 3.4).

Р е ш е н и е . Так как шар металлический, то на внутренней и внешней поверхно- стях возникают индуцированные заряды, благодаря которым напряженность результи- рующего поля в толщине шара станет равной нулю. На внутренней поверхности полос- ти шара индуцируется отрицательный заряд Q1 (рис. 3.4). Согласно теореме Остроград-

ри металла, см. рис. 3.4). Q + Q1 = 0, так как E = 0, следовательно, Q1 = – Q.

На внешней поверхности шара появится индуцированный заряд Q2, и так как ме- таллический шар не заряжен, то Q2 = – Q1, по закону сохранения заряда

Q2 + Q1 = 0.

Заряды Q1 и Q2 распределены на внешней и внутренней поверхностях шара равно- мерно, так как заряд Q находится в центре сферической полости и кривизна этих по- верхностей постоянная. Используя теорему Гаусса для поверх-

ности S2 (рис. 3.4)

(òS )EdS = ε10 (Q - Q1 + Q2 )

и подставляя в нее Q1 = – Q и Q2 = – Q1 = Q, получим напря- женность поля на расстоянии r0 от центра шара

Потенциал, равный нулю, выбираем в бесконечности.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО КУРСУ «ФИЗИКА». ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ.

1. Магнитное поле в вакууме. Закон Био—Савара— Лапласа. Закон полного тока

В качестве основной силовой характеристики магнитного поля принимается индукция B поля. Расчет индукции магнитного поля производится либо на основании закона Био–Савара–Лапласа и принципа суперпозиции, либо с помощью закона полного тока.

1. Закон Био—Савара—Лапласа. Магнитная индукция dB поля, создаваемая элементом проводника с током, пропорциональна длине элемента dl проводника, силе тока I в проводнике и синусу угла α между направлением тока в элементе проводника и радиусом-вектором r , проведенным от элемента проводника в точку, индукция поля в которой нас интересует, и обратно пропорциональна квадрату модуля радиусавектора:

Вектор dB магнитной индукции в данной точке С магнитного поля перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы dl элемента проводника и радиус-вектор r данной точки (рис.1).

4. При наложении магнитных полей (в соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей) магнитная индукция B результирующего поля равна векторной

(геометрической) сумме магнитных индукций B1,B2,..., Bn складываемых полей

B= åBi .

Вчастном случае наложения двух полей

B = B1 + B2,

а - абсолютное значение вектора магнитной индукции

B = B12 + B22 + 2B1B2 cos α ,

где α -угол между векторами B1 и B2 .

5. Закон полного тока. Циркуляция вектора индукции B магнитного поля вдоль замкнутого контура в вакууме пропорциональна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром

òBdl = μ0 åIi

l

При вычислении алгебраической суммы токов ток считается положительным, если смотреть вдоль направления тока (вектора плотности тока), то обход контура l происходит по часовой стрелке. В противном случае ток считается отрицательным.

6. Магнитная индукция поля, создаваемого длинным соленоидом в средней его части (или тороида на его оси)

B = μ0nI,

где п-число витков, приходящихся на единицу длины соленоида, l- cила тока в одном витке.

Задача 1.1. Определить индукцию B магнитного поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного прямого провода, в точке, равноудаленной от концов отрезка и находящейся на расстоянии 20 см от середины его. Сила тока, текущего по проводу, 30 А, длина отрезка 60 см.

Для определения индукции магнитного поля, создаваемого отрезком провода, воспользуемся законом Био—Савара—Лапласа

где r—расстояние от элемента dl до точки, индукцию поля в которой надо найти, α—

угол между направлением тока в элементе и направлением радиус-вектора r. Радиусвектор направлен от элемента провода к точке, в которой вычисляется индукция поля. Прежде чем интегрировать выражение (1), его следует преобразовать так, чтобы можно

Чтобы определить индукцию магнитного поля, создаваемого отрезком проводника, проинтегрируем выражение (3) в пределах то α1 до α2

или

B = μπ0rI (cosα1 − cosα2 )

4 0

Заметим, что при симметричном расположении точки А относительно отрезка провода

сosα2 = −cosα1 .

С учетом этого формула (4) примет вид

B = μπ0rI (cosα1 )

2 0

Из рис.3 следует

Подставляя выражение cosα1 в формулу (5), получим

Подставим числовые значения в формулу (7) и произведем вычисления:

элементарные dB полей, созданных элементами дуги l, коллинеарны между собой, и интегрирование выражения (2) по дуге l дает