МЭИ(ТУ) Физика

так как Q=CU.

Подставляя выражение (1) в (3) и производя дифференцирование, получаем

I = CU0ω0 sin(ω0t +α0 ).

Сила тока в контуре изменяется также по гармоническому закону с той же частотой ω0, что и напряжение, но со сдвигом по фазе на π/2.

Как видно из равенства (2), «магнитный поток изменяется со временем синхронно силе тока (L и N постоянны), следовательно, достигает наибольших значений тогда же, когда и сила тока. Амплитуда силы тока

I0 = CU0ω0 = U0 CL.

Тогда максимальный поток находится из соотношения (2)

омическом сопротивлении цепи энергия уменьшится на порядок за три полных колебания?

Решение. При наличии омического сопротивления колебания будут затухающими, т.е. амплитуда напряжения монотонно убывает по закону

-амплитудное напряжение на обкладках конденсатора. По определению, логарифмический декремент

Согласно условию, за промежуток t=nT энергия уменьшается в 10 раз, следовательно,

Чтобы найти омическое сопротивление контура, надо знать коэффициент затухания β, так как

7. Задачи для обязательного решения

1 Рассчитать индукцию магнитного поля в центре квадратной рамки со стороной 10 см, обтекаемой током силой 1 А.

Ответ: 1,1 ·10-6Тл.

2 Три длинных параллельных провода расположены в одной плоскости на расстояниях 10 ом друг от друга. По первым двум проводам текут

токи силой 1А в одном направлении по третьему-2 А в противоположном. В каких точках индукция магнитного поля равна нулю.

Ответ: между первыми двумя проводами на расстоянии 6,7 см от первого провода.

3.По медному проводу диаметром 4 мм течет ток силой 5 А. Считая плотность тока по поперечному сечению провода постоянной, определить индукцию магнитного поля на расстояниях 1 и 5 мм от оси провода.

Ответ: 2,6·-Ю-4 Тл; 2,0·Ю-4 Тл.

4.В однородном поле с индукцией 0,02 Тл в плоскости, расположенной под углом 30˚ к линиям индукции, помещена квадратная рамка со стороной 10 см, обтекаемая током силой 10 А. Найти вращающий момент, действующий на рамку.

Ответ: 1,7.Ю·-3 Н·м.

5.Рамка гальванометра длиной 4 см и шириной 1,5 см, содержащая 200 витков тонкой проволоки, находится в магнитном поле с индукцией 0,1 Тл. Плоскость рамки параллельна линиям индукции.

Какой вращающий момент действует на рамку, когда по витку течет ток силой 1 мА? Каков магнитный момент рамки при этом токе?

Ответ: 12 мкН·м; 120 мкА·м2.

6.В однородном магнитном поле с индукцией 0,002 Тл в плоскости, перпендикулярной к линиям индукции, движутся со скоростью 107 м/с электрон и протон. Определить радиус кривизны траекторий этих частиц. Определить величину и направление напряженности электрического поля, которое надо возбудить одновременно с описанным магнитным полем, чтобы частица двигалась прямолинейно.

Ответ: 2,8 см; 52 м; 2·Ю4 В/м.

7.Электрон движется в магнитном поле с индукцией 0,02 Тл по окружности радиуса 1 см. Какова кинетическая энергия электрона в джоулях и электрон-вольтах?

Ответ: 3,52 кэВ.

8.Заряженная частица прошла ускоряющую разность потенциалов 104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (10 кВ/м) и магнитное (0,1 Тл) поля. Найти отношение заряда частицы к ее массе, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.

Ответ: 48 мкКл/кг.

9.В одной /плоскости с длинным прямолинейным проводом, по которому течет ток силой 100 А, находится квадратная рамка со сторонами 10 см. Расстояние от прохода до ближайшей, параллельной проводу, стороны рамки 10 см. Определить магнитный поток, пронизывающий рамку.

Ответ: 1,4·Ю-6 Вб.

10.Принять, что в предыдущей задаче по рамке течет ток силой 20 А, который в ближайшей к проводу стороне рамки натравлен противоположно току в проводе.

Определить:

1)силы, действующие на каждую сторону рамки;

2)работу сил поля при перемещении рамки на 10 см вдоль провода;

3)работу сил поля при повороте рамки на 180° вокруг стороны, перпендикулярной проводу.

Ответ:1) 4,0·10-4 H, 2,8·10-4 H, 2,0·10-4 H;

2)0;

3)5,6·10-5 Дж.

11.В однородном магнитное поле (B=0,02 Тл) движется прямолинейный проводник с током силой 10 А со скоростью 4 м/с, направленной перпендикулярно к проводнику и к линиям индукции. Определить работу сил поля по перемещению отрезка проводника длиной 2 м за 5 с движения.

Ответ: 8 Дж.

12.Внутри длинного соленоида (l=40 см. N=1000 витков, I= 2 А) около его середины находится маленькая катушка (S0=2 см2, N0=100 витков, I0=0,1 А). Оси соленоида и

катушки и направления токов совпадают. Определить работу внешних сил по перемещению катушки к краю соленоида и повороту ее оси на угол 60˚. Найти вращающий момент, действующий на катушку в этом положении.

Ответ: 9,4·10-6 Дж; 5,4·10-6 Н.м.

13.Катушка с площадью поперечного сечения 240 см2, имеющая 1000 витков, вращается вокруг оси, совпадающей с диаметром витка и перпендикулярной линиям индукции однородного магнитного поля (B=0,2 Тл). При каком числе оборотов в секунду в катушке возникнет максимальная ЭДС индукции, равная 300 В? При каких положениях катушки ЭДС максимальна и минимальна?

Ответ: 40 об/с.

14.На тороидальную катушку с площадью поперечного сечения 2 см2 и плотностью намотки 15 витков/см надето металлическое кольцо с сопротивлением 0,05 Ом. Определить заряд, индуцируемый в кольце, при уменьшении силы тока в катушке с 3 до 1 А и при размыкании цепи.

Ответ: 1,5·10-8 Кл; 2,3·10-6 Кл.

15.Рассчитать энергию магнитного поля, созданного током силой 8 А, текущим по прямому проводу, в объеме, ограниченном двумя соосными с проводом цилиндрическими поверхностями с радиусами 20 и 21 см и высотой 0,5 м.

Ответ: 1,6·10-7 Дж.

16.По длинному коаксиальному кабелю с радиусом внутренней жилы 3 см и радиусом внешней оплетки 12 см течет ток силой 10 А. Рассчитать энергию магнитного поля и индуктивность кабеля на его отрезке длиной 5 м.

Ответ: 6,9·10-6 Дж; 1,4·10-6 Гн.

17.Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 5,0 мкФ и катушки индуктивностью 0,2 Гн. Определить максимальную силу тока в контуре, если максимальная разность потенциалов на обкладке конденсатора 90 В. Сопротивлением контура пренебречь Ответ: 0,45 А.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, ОТРАЖАЮЩИХ НАУЧНЫЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ФИЗИКИ ПО РАЗДЕЛУ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ

ПРЕДИСЛОВИЕ

В данных методических указаниях приведены задачи, отражающие научные и тех- нические приложения физики, связанные по возможности с будущей специальностью студентов. Отобранные задачи призваны сделать изучение физики более интересным.

Методические указания включают обсуждение следующих типов задач: а) задачи, иллюстрирующие принципиальные физические представления, методологические во- просы, историю физики; б) задачи, отражающие технические приложения физики; в) задачи, дающие представление о порядке физических величин, с которыми прихо- дится иметь дело.

Первый выпуск состоит из 11 задач по электростатике. В большинстве задач вы- держана определенная последовательность изложения. Помимо обычно принятых эта- пов формулировки и решения задачи добавлены еще такие, как постановка задачи и ее обсуждение. В постановке задачи дается описание практической важности и техниче- ского содержания вопроса, суть и причины используемых приближений. При обсужде- нии и анализе результатов решения больше внимания уделяется границам применимо- сти данной модели и возможности ее использования в других целях, приводятся чис- ленные оценки величин, иллюстрирующих реальные технические устройства. Некото- рые задачи используют модели, представляющие интерес для всех разделов электро- статики. Например, коаксиальный кабель или p-n-переход можно рассматривать в раз- витии, начиная с расчета напряженности поля и кончая емкостью и энергией. Однако можно ограничиться разбором только одного вопроса, но при этом обязательно обсу- дить техническое приложение модели, границы ее применимости и т. д.

При составлении указаний и отборе задач преследовалась цель не только повысить интерес студентов к физике, но и показать тесную связь физики с их будущей инже- нерной специальностью, научить студентов переходить от конкретных практических задач к моделям, допускающим простое решение и сохраняющим основные черты ис- ходной задачи. Использование задач указанного типа не подразумевает исключение стандартных учебных задач. Более того, в сборнике показано, как можно обычную

стандартную задачу приблизить к инженерной задаче, если дать ее техническое содер- жание и практическое применение. Рассмотренные задачи частью являются оригиналь- ными, а другие позаимствованы из литературы.

ЗАДАЧА I. РАСЧЕТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАРЯДОВ В АНТЕННЕ ПО ЕЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМУ ПОЛЮ

Задача может быть рассмотрена в теме «Закон Кулона и расчет напряженности ме- тодом суперпозиции».

1. Постановка задачи

При изучении свойств антенн важно знать распределение зарядов или токов в них, так как ими определяется излучаемое антенной поле. Заряд распределен в разных уча- стках антенны с разной плотностью и меняется во времени. Так,

Рис. 1.

например, в антенне, состоящей из двух линейных проводников, между которыми включен передатчик, настроенный на частоту ω, зависимость линейной плотности за- ряда от времени синусоидальная: τ = τ0(y) sin ωt, где τ0(y) – функция координаты, имеющая вид, представленный на рис. 1.

Полный заряд антенны Q равен нулю:

Q = òl τ 0 (y)dy = 0 ,

−l

причем обычно τ0(y) – нечетная функция y.

Чтобы экспериментально определить τ0(y), можно измерить напряженность элек-

трического поля в ряде точек на некотором расстоянии от антенны и по этим данным восстановить характер искомой зависимости. Так, например, если предположить, что τ0(y) = ay, то, измерив E(x1) – напряженность электрического поля в точке x1 (см. рис. 1) и подставив это значение в формулу для расчета E, полученную теоретически для дан- ного распределения τ0(y), можно найти постоянную a. Затем, зная значение a, вычис-

4. Обсуждение

Рассмотрим численный пример. Если известны измеренные значения E(x1) = 13,8 В/м и E(x2) =2,4 В/м, то сначала из формулы (1) найдем a = 0,45 · 10-8 Кл/м2 (l = 2 м). Затем, подставив значение постоянной a в формулу (2) и рассчитав Е(x2) =2,43 В/м, убеждаемся, что предположение τ0(y) = ay подтверждается в пределах погрешности измерений.

Если предположение не оправдывается, то, полагая, например, τ0(y) = ay – by3, можно по значениям E(x1) и E(x2) найти a и b, а по результатам измерения в других точ- ках проверить насколько хороша вторая аппроксимация и т. д.

Необходимо обратить внимание студентов на то, что закон Кулона, на котором ос- новывается метод суперпозиции, строго справедлив лишь в электростатике, т. е. для неподвижных и постоянных во времени зарядов. В случае движущегося заряда надо учитывать время распространения электромагнитного поля от заряда до той точки, в которой вычисляется напряженность E. Если скорость v заряда мала, так что он смеща- ется на расстояние vt, где t = x/c – время распространения поля до точки x, в которой определяется напряженность E (c – скорость света), то закон Кулона применим при- ближенно и тем точнее, чем лучше выполняется неравенство vt = vx/c << x, т. е. чем меньше v по сравнению с c.

Если заряд меняется во времени, оставаясь неподвижным, то условие справедливо- сти закона Кулона сводится к требованию, чтобы за время t = x/c заряд не успел сильно измениться, т. е., например, при периодическом изменении τ с периодом T должно быть t << T (даже t << T/4). Подставляя t = x/c и учитывая, что cT = λ, где λ – длина волны, найдем x << λ/4, т. е. законом Кулона можно пользоваться на расстояниях x, малых по сравнению с длиной волны λ. Так для средних длин волн λ = 300 м x << 75 м.

ЗАДАЧА 2. РАСХОДИМОСТЬ ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА [1]

Задачу можно рекомендовать для наиболее успевающих студентов по теме «Тео- рема Остроградского-Гаусса».

1. Постановка задачи

Создание электронных пучков является одной из важных задач в эксперименталь- ной физике. Существуют значительные проблемы в формировании сильноточных элек- тронных пучков, при этом одной из них является подавление расходимости лучка. Для

низкоэнергетических пучков расходимостью можно пренебречь только при малой плотности тока, но и в этом случае в точных экспериментах требуется оценить расхо- димость, чтобы рассчитать объем взаимодействия, например, электронного лучка с системой атомов или электронного пучка с лазерным лучом1.

2. Формулировка задачи

Для исследования сечений столкновения электронов с атомами электронная пушка формирует цилиндрический пучок моноэнергетических электронов с энергией 500 эВ. Плотность однородного по сечению тока в пучке j = 10 мкА/мм2, начальный диаметр пучка 2R0 = 0,3 мм. Описать динамику расходимости пучка из-за электростатического отталкивания.

1 Последняя задача (взаимодействие электронных и фотонных пучков) весьма актуаль- на, так как в настоящее время практически все классические эксперименты по столкно- вению электронов с атомами обобщаются на случай присутствия внешнего электро- магнитного поля большой интенсивности (поле лазерного излучения). Оказывается, что в таких «классических» экспериментах электромагнитное поле излучения лазера при- водит к проявлению квантовых эффектов, связанных с процессами нелинейного по- глощения и испускания нескольких фотонов при столкновении электронов с атомами.