МЭИ(ТУ) Физика
.pdf
Стационарные магнитные поля получают в соленоидах, изготовленных из обычных материалов (медь, алюминий). При этом вся подводимая к соленоиду энергия выделя- ется в виде джоулева тепла и отводится обычно с помощью водяного охлаждения. Ве-
личины подводимых мощностей растут пропорционально квадрату напряженности магнитного поля и могут достигать десятков мегаватт (для сравнения: мощность маги- стрального электровоза составляет ~ 3 мегаватт). Основная техническая проблема в та- ких устройствах – отвод тепла – решается довольно просто при использовании сверх- проводящих соленоидов, так как в них джоулево тепло не выделяется.
Импульсные магнитные поля являются наиболее практичным способом получения сверхвысоких магнитных полей. Энергия, накопленная, например, в батарее конденса- тора, переходит в энергию магнитного поля при разряде конденсаторов через соленоид. Неудобством этого метода является кратковременность существования магнитного по- ля.
Простейшим устройством для получения магнитного поля является цилиндриче- ская проволочная однослойная катушка (соленоид). Такие соленоиды широко приме- няются при изучении магнитных характеристик вещества и в радиотехнике.
Формулировка задачи 1.1
Найти величину индукции магнитного поля B в любой точке на оси однослойного соленоида длины L. Предположим, что проволока распределена плотно и равномерно, так что число витков обмотки на единицу длины соленоида является величиной посто- янной и равно n. В этом предположении можно рассматривать соленоид как совокуп- ность колец с радиусом R, обтекаемых током I.
Решение задачи 1.1
Магнитную индукцию B в произвольной точке A на оси O1O2 соленоида (рис. 1.1) найдем, используя закон Био-Савара-Лапласа и метод суперпозиции. Проведем из точ- ки A к произвольному витку радиус-вектор r, образующий с осью O1O2 угол α. На осно- вании метода суперпозиции ток, текущий по этому витку, создает в точке A магнитное поле, индукция B которого равна
B = |
μ IR 2 |
|
2(R 20+ l2 )3 2 , |
(1.1) |
где l – расстояние от точки A до плоскости витка.
sin
На рис. 1.2 по оси ординат отложено отношение величины магнитной индукции Bx данной катушки к величине B∞ в катушке бесконечно большой длины с тем же количе- ством витков на единицу длины n и с той же силой тока I в каждом витке. По оси X рас- стояние от центра соленоида дано в радиусах катушки.
На графике хорошо видно, что в центре катушки «четыре к одному» магнитное по-
ле весьма близко к магнитному полю бесконечно длинного соленоида и резко падает при приближении к концу катушки.
Формулировка задачи 1.2
Рассмотрим многослойный соленоид (обычно число слоев в нем четное, так как в этом случае токопроводящие концы находятся с одной стороны). Длина соленоида – 2b, внутренний диаметр – 2a1, внешний – 2a2, сила тока в витке – I (направление тока ука- зано на рис. 1.3), общее число витков соленоида – N. Найти индукцию магнитного поля в центре соленоида на его оси X.
Решение задачи 1.2
В соответствии с (1.3) индукция магнитного поля в центре однослойного соленоида
B = μ0 nI cosα , |
(1.7) |
Рис. 1.3.
так как в этом случае cos α2 = cos α, a cos α1 = – cos α.
Обозначив количество слоев обмотки соленоида m, введем величину mdy/(a2 – a1), равную числу слоев, находящихся на малом участке dy соленоида по его вертикальной оси Y (рис. 2.1). Тогда предыдущая формула примет вид
dB = μ |
|
|
nm |
|
I cosαdy . |
||
0 a |
2 |
− a |
|||||
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
||
Из рис. 2.1 видно, что y = b tg α, a dy = bdα/cos2α, отсюда
многовитковых соленоидах без сердечника, имеют следующие предельные параметры: амплитуда магнитной индукции Bmax = 100 Тл при длительности t0 ≈ 5c. При этом мощ- ность, потребляемая из сети импульсной установкой, обычно не превышает 1-3 кВт. В то же время максимальная мощность в импульсе может достигать сотни мегаватт.
Для получения стационарного магнитного поля с индукцией Bmax = 10 Тл в медном соленоиде с радиусом 1 см при водяном охлаждении потребляется мощность 1 мегаватт [8]. Потребляемая мощность может быть уменьшена при охлаждении катушки до тем- пературы ниже 100 К, при этом электропроводность чистой меди (и алюминия) резко возрастает. При 15 К в случае охлаждения жидким водородом электропроводность ме- ди возрастает в 1000 раз.
В настоящее время постоянные магнитные поля до B = 10 Тл создаются в катушках без сердечников сравнительно легко, особенно с появлением недорогих катушек со сверхпроводящими обмотками.
Уровень B = 50 Тл представляется технически достижимым при использовании со- четания сверхпроводящей катушки и соленоида, охлаждаемого водой [3].
Большие надежды в этой связи возлагаются на новые высокотемпературные сверх- проводящие материалы, обладающие высокими критическими полями.
Существенным ограничением для получения сверхсильных магнитных полей в со- леноидах является механическая прочность материала. Механические напряжения, воз- никающие внутри обмотки (пондеромоторные силы), достигают предела прочности ме- ди при B = 20 Тл.
ЗАДАЧА 2. УСКОРИТЕЛИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ [1, 4]
Предлагаемая ниже задача рассматривает движение заряженных частиц в магнит- ном поле с учетом релятивистских эффектов. Методически такое рассмотрение очень полезно, так как задачам, связанным с теорией относительности, уделяется недостаточ- но внимания.
Постановка задачи 2
Магнитное поле в ускорителях частиц служит для создания определенных орбит, по которым частицы движутся. Проектирование ускорителей (циклотронов) заряжен-
ных частиц высоких энергий порядка десятков мегаэлектронвольт и более невозможно без учета законов теории относительности. В частности, период обращения частиц в циклотроне T = 2πm/qB увеличивается вместе с увеличением их релятивистской массы.
Циклотрон (рис. 2.1) состоит из дуантов (два полых металлических полуцилиндра), внутри которых магнитное поле направлено перпендикулярно их основаниям. В зазоре между дуантами действует переменное электрическое поле, которое ускоряет частицы.
Рис. 2.1.
Необходимо, чтобы период изменения электрического поля совпадал с периодом обра- щения частиц в магнитном поле дуантов. Синхронизация может быть достигнута: а) изменением периода (частоты) колебаний электрического поля между дуантами; б) из- менением магнитного поля дуантов таким образом, чтобы период обращения частиц оставался неизменным (m/B = const). Оба способа могут быть использованы одновре- менно.
В данной задаче рассматривается ускоритель (фазотрон) с использованием первого способа синхронизации.
Формулировка задачи 2
Циклотрон ускоряет протоны до значения энергии 76 ГэВ. Магнитное поле одно- родно, постоянно во времени и равно 1,08 Тл. Масса покоя протона m0 = 1,67 · 10-27 кг. Ускоряющее напряжение U = 380 кВ. Найти: 1) радиус R с учетом теории относитель- ности, радиус R0 классической орбиты протона; 2) максимальную скорость vmax, приоб- ретаемую протоном в циклотроне; 3) число оборотов п протона в циклотроне; 4) время τ, в течение которого длится процесс ускорения.
Решение задачи 2
1. Для вычисления классического радиуса движения протона воспользуемся соот-
ношением
m0v2 |
= qvB , R0 |
= |
m0v |
= |
p0 |
, |
|
R 2 |
qB |
qB |
|||||
|
|
|
|
где p0 – импульс |
протона. |
Поскольку кинетическая энергия W |
к |
= p2 |
(2m |
0 |
), то |
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
R0 = W к 2m0 (qB ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R0 |
|
76 ×10 |
9 ×1,6 ×10−19 ×2 ×1,67 ×10 |
−27 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= 36,9 м . |
|
|
|
|
|
|
|
1,6 ×10−19 ×1,08 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь найдем радиус в соответствии с основным законом релятивистской динамики:
d æ |
m0 v |
|
ö |
= q[vB], где |
|
v |
|
||
|
ç |
|
|
|
÷ |
β = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
ç |
1 |
- β |
2 |
÷ |
|
|
c |
|
|
dt è |
|
ø |
|
|
|
||||
Сила Лоренца перпендикулярна скорости v, абсолютная величина скорости не меняет-
ся, поэтому 1- β 2 = const . Тогда уравнение движения примет вид
m0 dv = q[vB]. 1- β 2 dt
Уравнение совпадает с уравнением движения в нерелятивистском случае, но с реляти-
вистской массой
m = m0 
1- β 2 = const .
Поэтому траекторией частицы будет окружность, радиус которой определяется из ус-
ловия
|
|
m0 |
|
|
v2 |
= qvB , |
|
|
|||||
|
|
1- β 2 |
|
|
R |
|
|
||||||
R = |
|
m0v |
|
1 |
|
= |
mv |
= |
p |
, |
(2.1) |
||
|
1- β 2 |
qB |
|
qB |
qB |
||||||||
где p – релятивистский импульс:
p = 1c 
W 2 - m02 c4 , W =W к + m0c2 ,
где Wк – кинетическая энергия частицы.
Тогда W 2 - m02 c4 =W к2 + 2W к m0c2 и p = 1c 
W к2 + 2W к m0c2 . Откуда
|
R = |
W к2 |
+ 2W к m0c2 |
, |
(2.2) |
|
|
cqB |
|||
|
|
|
|
|
|
R = |
(76 ×109 ×1,6 ×10−19 )2 ×2 ×76 ×109 ×1,6 ×10−19 ×1,67 ×10−27 ×9 ×1016 |
= 237 м . |
|||
3 ×108 ×1,6 ×10−19 ×1,08 |
|
||||
|
|
|
|||
2. Максимальную скорость получим, пользуясь следующими формулами:
|
m |
c2 |
|
|
W к = mc2 - m0c2 = |
0 |
|
- m0c2 |
, |
|
|
|||
|
1- β 2 |
|
||
W к 
1- β 2 = m0c2 - m0c2 
1- β 2 ,
(W к + m0c2 )2 
1- β 2 = m0c2 .
Возведем левую и правую части в квадрат:
|
2 |
2 |
æ |
2 |
|
ö |
2 |
4 |
|
|
ç |
vmax ÷ |
|
||||||
(W к + m0c |
|
) |
ç1- |
|
|
÷ |
= m0 c |
|
, |
|
c |
2 |
|
||||||
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
(W к + m0c2 )2 (c2 - vmax2 )= m02 c6 ,
|
|
|
|
|
vmax2 |
|
c2 (W |
к |
+ m |
0 |
c2 )2 |
- m2 c6 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
0 |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(W к + m0c2 )2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vmax = c |
1- |
|
|
m02 c |
4 |
|
, |
|
|
|
|
(2.3) |
||||
|
|
|
|
|
|
(W к + m0c2 )2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
vmax = 3,0 |
×10 |
8 |
1 |
- |
|
|
1,672 |
×10−54 ×34 ×1032 |
|
|
|
= 2,99978 |
×10 |
8 |
м с , |
|||||||
|
(76 ×10 |
9 ×1,67 ×10−19 |
+1,67 ×10 |
−27 |
×9 ×1016 )2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
т. е. скорость протона становится ультрарелятивистской.
3. Число пролетов N протона между дуантами найдем из уравнения
W к = NqU ,
Число оборотов N в два раза меньше числа пролетов, т. е.
n= N 
2 =105 .
4.Считая период обращения на всех витках приблизительно одинаковым (второй способ синхронизации) и пренебрегая шириною ускоряющего промежутка (рис. 3.1), найдем время движения протона в циклотроне (значения R и vmax соответственно берем из п. 1 и 2):
τ= nT = n 2πR = 0,496 с .
vmax
Обсуждение
Значение энергии частицы, равное 76 ГэВ, приведено в данной задаче не случайно. Построенный в 1967 г. ускоритель в Серпухове позволяет увеличивать кинетическую энергию протонов как раз до этого значения (76 ГэВ). Скорость протонов, обладающих такой энергией, отличается от скорости света в вакууме приблизительно на 0,007%. В этих условиях невозможно обойтись без применения законов теории относительности.
Учет релятивистского эффекта привел к возрастанию радиуса движения частицы почти в 6,5 раз. При этом длина окружности магнита должна быть равной ~ 1500 м.
Интересно оценить, как изменяется частота электрического поля, подаваемого на ускоряющие электроды. В начале ускорения m = m0 и ν0 = 1/T0, а так как T0 = 2πm/qB, то
ν0 = |
qB |
= |
1,6 ×10−19 ×1,08 |
=16,5 МГц . |
||
2πm0 |
6,28 ×1,67 |
×10−27 |
||||
|
|
|
||||
В конце ускорения ν = 1/T = v/2πR. Подставляя R из формулы (2.1), получим
|
|
|
|
ν = |
vqB |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2πp |
|
|
|
Поскольку p = Wv/c2, то ν = |
pc2 |
. Тогда |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|||
|
τ = |
pc2 qB |
= |
|
pc2 qB |
, |
|
||||
|
|
|
2πp(W к + m0c2 ) |
|
|||||||
|
2πpW |
||||||||||
ν = |
1,6 ×10−19 ×1,08 ×9 ×1016 |
|
= 0,20 МГц . |
||||||||
6,28× (76 ×109 ×1,6 ×10−19 |
+1,67 ×10−27 ×9 ×1016 ) |
||||||||||
Следовательно, для синхронной работы ускорителя требуется изменить частоту элек- трического поля.
Самый мощный в настоящее время ускоритель – протонный синхротрон – находит- ся в лаборатории Ферми в Батавии (около Чикаго). Он ускоряет протоны до энергии
400 ГэВ.
ЗАДАЧА 3. МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПРИБОР [5, 10]
Постановка задачи 3
В электромеханических измерительных механизмах используется действие маг- нитного поля на ток, поэтому при решении задач по теме «Действие магнитного поля на ток и движущийся заряд» следует рассматривать задачи, касающиеся принципов действия и устройства различных электроизмерительных приборов.