МЭИ(ТУ) Физика

вершенно новые перспективы возникают в связи с открытием явления высокотемпера- турной сверхпроводимости. Для создания магнитного поля используются различные методы. Важное место в ряду возможных способов получения магнитных полей зани- мают и будут занимать электромагниты.

В настоящей задаче иллюстрируется принцип, лежащий в основе расчета электро- магнита. Рассматривать эту задачу лучше всего в теме «Магнитное поле в магнетиках».

Формулировка задачи 6

Магнитопровод лабораторного электромагнита изображен на рис. 6.1 (S = 10 x x 10 см2, d = 5 см, a = b = 50 см).

Рис. 6.1.

Катушки электромагнита содержат по 3000 витков каждая. При каком токе индук- ция в зазоре равна 1 Тл?

Решение задачи 6

Система слишком сложна, чтобы можно было провести точный расчет. Поэтому принимают, что индукция в магнитопроводе и зазоре однородна и что вне зазора она практически равна нулю, Из условия òBdS = 0 , примененного к показанной на. рис. 6.1

замкнутой поверхности, вытекает, что индукция в зазоре и в магнитопроводе одинако- ва. Так как B = μ0μH, то ясно, что напряженность магнитного поля в магнитопроводе H1 и в зазоре H2 неодинакова, а именно:

μH1 = H 2 ,

где μ – магнитная проницаемость железа, которую примем равной 600. Теперь, зная, что напряженность постоянна в зазоре и постоянна в магнитопроводе, можно приме- нить закон полного тока для нахождения H. Имеем

òHdl = H 2 d + (4a − d )H1 = åI = NI ,

где N – полное число витков; I – ток в катушках (предполагается, что ток в обеих ка- тушках одинаков). Используя связь H1 и H2, находим

Обсуждение

При обсуждении следует остановиться на том, что в отличие от задач с однород- ным сердечником или «параллельной» неоднородностью (два тороида из разных мате- риалов, сложенные вместе) здесь постоянна индукция, а не H. Если в программу входит рассмотрение граничных условий, то эта задача – удобный случай для их обсуждения.

В технических приложениях формулу для расчета магнитной цепи обычно записы-

вают в виде

где Φ – магнитный поток. В этой форме она аналогична закону Ома, если только сопос- тавить Φ ~ I, IN ~ E. Видно, что «сопротивление» магнитной цепи

Для каждого однородного участка сопротивление пропорционально его .длине, об- ратно пропорционально поперечному сечению и величине μμ0, которая аналогична

* Более точно вместо 4a – d нужно написать 4a – 4l – d, где l = S – поперечный раз-

мер квадратного сердечника, так как таким путем учитывается средняя длина магнит- ной силовой линии.

проводимости. Эта аналогия позволяет рассчитывать сложные магнитные цепи так же, как и электрические. Индукция в этих расчетах аналогична плотности тока.

Следует обратить внимание на приближения, ограничивающие точность расчета, в частности:

а) введение средней длины магнитной силовой линии; б) отождествление эффективного поперечного сечения магнитного потока в зазоре

с s;

в) пренебрежение эффектом гистерезиса.

ЗАДАЧА 7. ВИХРЕВЫЕ ТОКИ В ТРАНСФОРМАТОРНОМ ЖЕЛЕЗЕ

Постановка задачи 7

Явление электромагнитной индукции играет фундаментальную роль в электротех- нике. В частности, оно лежит в основе принципа действия трансформаторов, диапазон применения которых чрезвычайно широк (от различных типов трансформаторов, ис- пользуемых в электронной аппаратуре, до мощных трансформаторов современных энергетических систем). КПД трансформаторов, кроме всего прочего, определяется по- терями, обусловленными возникновением токов Фуко. В системах электропитания са- молетов для уменьшения габаритов и веса аппаратуры используется повышенная час- тота переменного тока (400 Гц вместо 50 Гц). Это приводит к резкому возрастанию по- терь, вызванных индукционными токами. Ниже рассматривается способ оценки выде- ляющейся тепловой мощности. Задача рекомендуется при рассмотрении явления элек- тромагнитной индукции.

Формулировка задачи 7

Сердечник трансформатора имеет площадь поперечного сечения s = 2 см2 и сред- нюю длину L = 20см (рис. 7.1, а). В одном случае он изготовлен из трансформаторного ленточного железа с шириной' ленты h = 2 см и толщиной b = 0,1 мм (рис. 7.1, б), а в другом – из пластин толщиной 1 мм. Найти мощность потерь на вихревые токи в обоих случаях, если индукция в железе меняется по синусоидальному закону

B = B0 sin(2πνt),

а) не учитывалось магнитное поле, создаваемое токами Фуко, т. е. оно считалось малым по сравнению с внешним;

б) форма контура индукционного тока у краев ленты неизвестна. Это должно при- водить к ошибке, однако величина ее мала (порядка L/h).

ЗАДАЧА 8. ИНДУКТИВНОСТЬ КОАКСИАЛЬНОГО КАБЕЛЯ

[9, 12]

Постановка задачи 8

Электромагнитные сигналы и электромагнитные поля при частотах от нескольких килогерц до нескольких тысяч мегагерц передаются обычно по коаксиальным линиям. Естественно, при расчетах линий передач необходимо учитывать индуктивность ис- пользуемых кабелей.

Рис. 8.1.

Простейший коаксиальный кабель состоит из центрального проводника и внешнего тонкостенного цилиндра, ось которого совпадает с осью внутреннего проводника (рис. 8.1). По проводникам течет ток в противоположных направлениях. Магнитное по- ле существует только внутри кабеля. Вне кабеля магнитное поле равно нулю.

Формулировка задачи 8

Коаксиальный кабель состоит из внутреннего сплошного проводника радиуса a и наружной проводящей тонкостенной трубки радиуса b (рис. 8.1). Найти индуктивность L единицы длины кабеля, считая, что ток равномерно распределен по сечению внут- реннего проводника. Магнитная проницаемость среды равна единице.

Решение задачи 8

По определению L – коэффициент пропорциональности между полным магнитным потоком и током L = Φ/I. Индуктивность L можно рассчитать, используя выражения

для энергии

W = LI2 2 .

Обсуждение

Чем тоньше центральный провод (больше отношение b/a), тем меньшую роль игра- ет его магнитное поле. Если a << b, то магнитным полем внутреннего провода можно

пренебречь и тогда

L = 2μπ0 ln ba .

Итак, индуктивность единицы длины коаксиального кабеля определяется его гео- метрией. В качестве примера рассчитаем индуктивность кабеля КГП-1-90. Этот кабель предназначен для буксирования в водной среде, управления и энергоснабжения глубо- ководных аппаратов. У него a = 0,69 мм, b = 7,35 мм. Индуктивность единицы длины

такого кабеля

При выводе формулы индукции магнитного поля в точке A предполагалось, что ток по сечению проводника распределен равномерно. Это справедливо лишь для постоянного тока. При переменном токе, для передачи которого в основном и служат коаксиальные кабели, плотность тока по сечению оказывается не одинаковой. При больших частотах наблюдается скин-эффект (ток существует только в тонком поверхностном слое про- водника); в этом случае полем внутри центральной жилы можно пренебречь, и тогда формула (8.3) будет иметь вид

L = 2μπ0 ln ba .

Полезно обсудить (если позволяет время) один из способов опытного определения ин- дуктивности, например, тот, который изложен в одной из наших лабораторных работ.

Рис. 8.3.

Схема определения L изображена на рис. 8.3. Значения L находят по формуле

L = U L R U 0 2πν ,

жду осями параллельных проводов с противоположными направлениями токов к силе тока в этих проводах

L = ΦI .

Рассмотрим магнитное поле одного левого провода (рис. 9.1).

Считая внутренний провод тонким, можно пренебречь его магнитным полем. В об- ласти a < x индукция магнитного поля имеет вид

B = 2μπ0xI .

Следовательно, магнитный поток через площадь между проводами

Так как токи в обоих проводах противоположны по направлению, то направления магнитных полей, создаваемых обоими проводами, совпадают. Это значит, что полный магнитный поток Φ, создаваемый обоими проводами, будет в два раза больше потока от одного провода:

Φ = 2Φ1 = μπ0 Il ln d a− a .

Отсюда индуктивность единицы длины двухпроводной линии

L = ΦIl = μπ0 ln d a− a .

Обсуждение

Ввысоковольтных линиях могут возникать условия, способствующие появлению в них резонансных процессов, для расчета которых необходимо знать значения C и L.

Внашем лабораторном практикуме имеется работа по изучению электромагнитных волн в двухпроводной линии. Строгое рассмотрение происходящих в линии явлений также требует знания значений емкости и индуктивности на единицу длины линии.