МЭИ(ТУ) Физика

Решение задачи 10

В начале найдем в полубесконечном образце распределение потенциалов от точеч- ного контакта, через который протекает электрический ток I (рис. 10.2). Для однород-

Рис. 10.2.

ных и изотропных проводников справедлив закон Ома в дифференциальной форме

j = γE (10.1)

где j – плотность тока в нашем случае неоднородного поля сферической симметрии в полубесконечном образце, равная

Тогда напряженность поля E можно записать в форме

Полагая φ(r) = 0 при r → ∞, получим значение φ для любой точки, находящейся на рас- стоянии r от зонда:

Теперь рассмотрим случай четырех зондов (точнее двух – 1 и 4, так как через 2 и 3 ток не идет). Применив принцип суперпозиции полей, для любой точки полубесконечного

образца имеем

где r1 и r2 – расстояния от данной точки до крайних токовых зондов 1 и 4; минус в фор- муле (10.3) обозначает, что ток, идущий по зонду 4, направлен противоположно току в зонде 1 (рис. 10.1). Потенциалы внутренних зондов 2 и 3 соответственно равны

Для разности потенциалов φ при условии l1 = l2 = l3 = l получим выражение

Таким образом, расчетная формула для электропроводности полупроводникового мате-

риала в форме слитка имеет вид

Удельное сопротивление есть величина, обратная электропроводности. Следовательно,

для удельного сопротивления ρ имеем

Обычно расчетную формулу для удельного сопротивления полупроводникового материала записывают в форме

где

α = 2πlI .

Обсуждение

Недостатком четырехзондового метода является проявление термоэлектрических явлений, что приводит к систематической ошибке. Точность измерений можно повы- сить, уменьшая величину тока, протекающего через наружные зонды 1 и 4. Так как в серийных зондовых головках расстояние между зондами, как правило, равно 1 мм, то ток принимают равным 0,628 мА. При таких значениях тока практически избавляются от термоэлектрических эффектов в области расположения зондов. В то же время коэф- фициент α в формуле (10.11) равен 10. Это облегчает расчет удельного сопротивления полупроводникового материала по показаниям только вольтметра, измеряющего раз- ность потенциалов между внутренними зондами 2 и 3 (рис. 10.1).

Погрешность метода не превышает обычно трех процентов.

В этой задаче нельзя обойти вниманием аналогию, существующую между электро- статическим полем и полем стационарных токов. В последнем случае плотность элек- трических зарядов в каждой точке пространства не меняется во времени, хотя и проис- ходит движение зарядов: на место уходящих непрерывно поступают новые. Такие за- ряды, как показывают опыт и теория, создают в окружающем пространстве такое же кулоновское поле, что и неподвижные заряды той же плотности. Это значит, что элек- трическое поле стационарных токов есть поле потенциальное. Эта аналогия имеет и более глубокое объяснение, так как вытекает из уравнения Максвелла, а именно из уравнения неразрывности (закон сохранения заряда)

I= òjdS = − ∂∂qt .

Вслучае стационарных токов эти уравнения совпадают с уравнениями электростатики, например, для однородного диэлектрика при отсутствии в нем зарядов

òjdS = òγEdS = γ òEdS = 0 .

ЗАДАЧА 11. НАРУШЕНИЕ ЗАКОНА ОМА

Постановка задачи 11

Современная электроника и радиотехника были бы невозможны, если бы все тела (среды), проводящие электричество, подчинялись закону Ома. Закон Ома нарушается в ионизированных газах, в местах контактов между полупроводниками и между полу- проводниками и металлами и во многих других случаях. При этом нарушается связь между плотностью тока j и напряженностью электрического поля E. (Закон Ома имеет вид j = γE, где γ – удельная электропроводность.)

Формулировка задачи 11

В запаянной трубке имеется азот при давлении P = 106 Па и температуре T0 = 300 К. Внешний источник поддерживает постоянной концентрацию электронов на уровне 10% от концентрации молекул. При этом учитываются столкновения только с нейтральными молекулами. Масса молекул азота M = 4,65 · 10-26 кг. Показать, что при электрических полях, приблизительно равных 102 В/м, наблюдается отступление от за- кона Ома. Считать, что энергия электронов недостаточна для дополнительной иониза- ции атомов газа.

Решение задачи 11

Согласно элементарной классической теории электропроводности электроны под действием электрического поля приобретают упорядоченное (дрейфовое) движение, которое накладывается на их хаотическое тепловое движение. Будем предполагать, что в результате соударений с молекулой (атомом, ионом) электрон полностью утрачивает свое упорядоченное движение. Беспорядочное движение непосредственно не влияет на величину тока (все направления хаотического движения равноправны).

Под действием электрического поля электрон движется с ускорением qE/m, и к

концу пробега скорость направленного движения достигает значения umax = qEm τ ,

где q, m – заряд и масса электрона; τ – время между столкновениями электрона с моле- кулой. Скорость электрона изменяется за время пробега линейно, поэтому ее среднее

значение за пробег

u = 21 umax = qE2mτ .

Введем экспериментально определяемую величину – подвижность заряда μ, кото-

рая связана со временем τ соотношением

μ = qτ 2m .

Тогда скорость направленного движения можно выразить через подвижность u = μE .

Запишем выражение для плотности тока, введя концентрацию n носителей заряда:

Данная формула представляет собой закон Ома в дифференциальной форме, где γ = qμn

– удельная проводимость среды. Этот закон соблюдается при условии, что n и τ не за- висят от E (по данным задачи n = const).

Рассмотрим более подробно столкновение электрона с молекулой. Поскольку мо- лекулу (M >> τ) можно считать практически неподвижной, так как скорость молекулы много меньше скорости электрона, то электрон отскакивает, сохраняя величину своей полной скорости |u + v|, где v – средняя скорость хаотичного движения (так как u << v, то модуль полной скорости можно заменить модулем скорости беспорядочного движе-

Чем больше средняя энергия электрона W до удара, тем больше он теряет при ударе. В стационарном состоянии убыль энергии электрона компенсируется работой сил элек-

трического поля

В электрическом поле электроны приобретают энергию, и их средняя энергия возраста- ет. Это можно рассматривать как «разогрев» электронов, т. е. электроны как бы приоб- ретают другую температуру Tэ, которая равна Tэ = T0 + T. Величину T найдем из со-

где

α =1+ Mq22τ 2 . 12m kT 0

При малых электрических полях Mq2E2τ2/(12 m2) << kT0 и поэтому Tэ ≈ T0, т. е. тем- пература электронов не отличается от температуры атомов.

Введем «новую» подвижность μ. Рассмотрим отношение μ/μ0 (μ0 – «старая» под- вижность при T0). Допускаем, что длина свободного пробега электрона l = vτ не изме-

нилась, но изменилась скорость электрона, следовательно, изменилась величина τ. То- гда отношение μ/μ0 примет вид

Считая отклонения Tэ от T0 небольшими, формулу (11.4) можно упростить, воспользо- вавшись следующим приближением:

где

Mμ2

α= 3 kT00 .

Из формулы (11.5) видно, что подвижность μ, является функцией E, а следовательно, при некоторых значениях напряженности поля E (т. е. при αE2/2 близких к единице) за- кон Ома (11.1) нарушается.

Обсуждение

Проведем численные оценки.

При T = 300 К, v0 = 105 м/с из формулы n = p/kT находим

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Детлаф А. А., Яворский Б. М., Милковская Л. Б. Курс физики. Т. 2. М.: Высш.

шк., 1977.

2.Парселл Э. Курс физики. Т. М.: Наука, 1971.

3.Кнопфель Г. Сверхсильные импульсные магнитные поля. М.: Мир, 1972.

4.Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 2. М.: Наука, 1978.

5.Демидова-Панферова Р. М., Малиновский В. Н., Солодов Ю. С. Задачи и примеры расчетов по электроизмерительной технике. М.: Энергия, 1977.

6.Урусов И. Д. МГД генераторы. М.: Наука, 1966.

7.Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т, 3. М.: Наука, 1977.

Рекомендуемая

8.Нестерин В. А. Оборудование для импульсного намагничивания. М.: Энерго- атомиздат, 1986.

9.Калашников С. Г. Электричество. М.: Наука, 1985.

10.Малиновский В. Н. Электрические измерения. М.: Энергоиздат, 1985.

11.Драхсел Р. Основы электроизмерительной техники. М.: Энергоиздат, 1982.

12.Иродов И. Е. Основные законы электромагнетизма. М.: Высш. шк., 1983.

l3. Смит Р. Полупроводники. М.: Мир, 1982.

14. Кацнельсон А. А. Введение в физику твердого тела. М.: Изд-во Моск. гос.

ун-та, 1984.

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И МИРОВОЗЗРЕНЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ В ОБЩЕМ КУРСЕ ФИЗИКИ

(часть 2: ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ)

1. Введение

Данная работа посвящена разработке методических указаний для преподавателей по изложению методологических и мировоззренческих вопросов в следующих разделах курса физики - электростатика, постоянный электрический ток, электромагнетизм, колебания и волны, волновая оптика и квантовая природа излучения.

Обращается особое внимание на мировоззренческие вопросы теории электромагнетизма, при становлении которой зарождалась электродинамическая картина мира. Обсуждается дальнейшее развитие этой картины и условия, при которых начали складываться первые элементы новой, квантово- полевой картины мира.

Под физической картиной мира понимается "физическая модель природы, включающая в себя наиболее общие понятия, принципы и гипотезы физики и характеризующая определенный исторический этап ее развития" [1]. В физической картине мира происходит конкретизация философских представлений о материи и движении, пространстве и времени, взаимосвязи и взаимодействии.

Первой физической картиной мира была механическая. Она сформировалась во времена Галилея и Ньютона и просуществовала свыше двух столетий. На всем протяжении этого времени, несмотря на то, что в физике накапливались новые опытные факты и возникали новые теории и понятия, физическая картина мира почти не менялась. Сохранялось общее представление о мире, как о механической системе, обладающей корпускулярной структурой.

Второй физической картиной мира была электродинамическая. Она возникла в последнее десятилетие XIX века, хотя основы ее, как известно, были заложены еще М. Фарадеем. Электродинамическая картина мира способствовала появлению таких физических теорий, как электродинамика Максвелла, электронная теория Лоренца и теория относительности Эйнштейна. В этой физической картине Вселенная мыслилась в виде всеобъемлющей электродинамической системы, в основе которой лежит единое универсальное электромагнитное поле [2], а также, конечно, гравитация.

Следует подчеркнуть, что объединение элементов физической картины в единое целое представляет собой сложный творческий процесс, в котором важную роль играют мировоззренческие и

философские взгляды исследователей. Физическая картина мира является как бы промежуточным звеном между философией и физическими теориями, через которое философия влияет на эти теории. Конечно, не любые философские идеи могут играть положительную роль в построении физических картин мира. В процессе развития физики происходит опробование и отбор наиболее плодотворных философских идей, новые физические данные способствуют возникновению новых философских представлений.

Механическая картина мира сыграла сложную роль в становлении теории электромагнетизма. Сначала, в руках Фарадея, грубая механическая модель электромагнитного поля, основанная на механике сплошных сред, оказалась весьма эффективным орудием, обладающим большой эвристической силой. Очень важно, упоминая Фарадея, подчеркнуть, что как всякий крупный экспериментатор, он имел определенную теоретическую концепцию. Об этом хорошо сказал известный английский физик Джон Тиндаль: "Основные исследования Фарадея... связаны между собой невидимой нитью умозаключений. Теоретические идеи всегда были истинной основой его интеллекта - источником, из которого он черпал силы как экспериментатор ... Да так и должно быть всегда: великий экспериментатор всегда обязан быть по складу теоретиком, вне зависимости от того, выражает ли он формально свои теории" [3]. Более усложненная механическая модель натолкнула Максвелла на открытие тока смещения.

Вместе с тем механическая картина мира вызвала много неудачных попыток уложить все многообразие явлений электродинамики в рамки ньютоновской механики. Было затрачено много усилий для построения механической теории электрических и магнитных явлений. Однако для представления различных свойств поля потребовались разные модели, противоречащие друг другу, и все усилия построения непротиворечивой механической теории электромагнетизма потерпели неудачу.

Они убедили физиков последующих поколений в принципиальной невозможности механической картины мира.

Интересно отметить, что сам Максвелл хорошо понимал, что между механическими и электромагнитными явлениями нет полной тождественности. Максвелл рассматривал метод аналогий как подсобное средство исследований, по существу как некие мысленные эксперименты, которые должны были обосновать новые физические представления [4]. Максвелл хорошо понимал значение и роль философского поиска в процессе формирования новых физических идей. Он, как верно отмечает Больцман, был не только выдающимся физиком-теоретиком, но и крупным творцом в теории познания, ясно излагавшим новые для своего времени методы познания в физике [5].

История создания электродинамики особенно наглядно показывает, что существенно новая

теория не может быть построена на несоответствующем ей фундаменте и построению принципиально