МЭИ(ТУ) Физика

(расчет напряженности поля, созданного каждым слоем в отдельности) и принцип су- перпозиции.

Следует заметить, что расчет напряженности для случая 2 и 3 имеет приближенный характер вследствие указанных для этих видов симметрии ограничений. Этот результат

оказывается точным лишь в практически не реализуемых случаях бесконечно длинного цилиндрического слоя и бесконечно большого плоского слоя.

Применение теоремы Остроградского-Гаусса позволяет не только найти значение напряженности в данной точке поля, но и выражение для напряженности как функции координат в определенной области пространства, что позволяет рассчитать потенциал и

разность потенциалов по формулам интегральной связи ϕB = KòEdr и ϕ1 -ϕ2 = ò2 Edl .

На границах проводника и диэлектрика векторы D и E терпят разрыв. На границах диэлектрика и диэлектрика вектор D (точнее, его составляющая, нормальная к эквипо- тенциальной поверхности) не изменяется; вектор E (точнее, его нормальная состав- ляющая) изменяется скачком. Потенциал является непрерывной функцией координат.

Задача 2.1. В однородном электрическом поле с напряженностью E = 0,01 В/м расположены: 1) прямоугольная рамка со сторонами a = 10 см, b = 20 см, плоскость которой составляет угол α = 30° с силовыми линиями поля; 2) полусфера ра- диуса R = 10 см, плоскость основания которой составляет угол β = 60° с силовыми ли- ниями поля. Определить поток вектора напряженности через обе поверхности.

Р е ш е н и е . Рассматривается заданное однородное поле. Согласно определению, поток N вектора Е через любую поверхность может быть рассчитан по формуле

N = òEdS .

(S )

В первом случае однородность поля (E = const) и

постоянство угла (EdS) = π2 -α во всех точках рас-

сматриваемой поверхности позволяют привести ука-

занную формулу к виду

Выразив все величины в СИ, получим

N = 1,0 · 10-4 В/м.

Рис. 2.1.

Во втором случае, как видно на рис. 2.1, угол (EdS) различен в разных точках рас- сматриваемой поверхности (полусферы). Поток вектора напряженности через замкну- тую поверхность S, состоящую из полусферы и площадки, образующей основание по- лусферы, равен нулю, так как эта поверхность не охватывает никаких зарядов, т. е.

N2 + N2' = 0,

где N2 – искомый поток через полусферу, N2' – поток через основание полусферы. Отсюда видно, что N2 = – N2'.

Так как за направление вектора dS принимается направление внешней нормали, то поток N2' < 0, следовательно N2 = |N2'| > 0.

Поверхность основания полусферы плоская, во всех ее точках угол (EdS)= π2 + β

(см. рис. 2.1), следовательно, поток через эту поверхность может быть рассчитан так же, как и в первом случае:

Выразив все величины в СИ, получим N2 = |N2'| = 3,0 · 10-4 В/м.

Задача 2.2. Между внутренней и средней из 3-х проводящих концентрических сфер находится диэлектрик с ε = 5. Заряд внутренней сферы q1 = 6 · 10-10 Кл, внешней – q2 = 5 · 10-10 Кл, радиусы соответственно 2, 4 и 6 см. Найти потенциалы вблизи поверхностей всех сфер (рис. 2.2).

Р е ш е н и е . Поле заряженной проводящей сферы обладает центром симметрии, совпадающим с точкой O. Во всех точках, отстоящих от точки O на одинаковом рас- стоянии r, векторы электрического смещения D численно

равны и направлены радиально, следовательно

совы поверхности в виде цилиндров S1 и S2, основания которых параллельны средней плоскости слоя, симметричны относительно нее и заведомо меньше по площади, чем плоский слой диэлектрика (рис. 2.4). Во всех точках боковых поверхностей цилиндров

ях цилиндров векторы D и dS коллинеарны и DdS = DdS cos 0° = DdS. Так как основа- ния гауссова цилиндра располагаются симметрично относительно заряженного слоя, D1, 2 во всех точках оснований можно считать постоянным. Индексы 1, 2 показывают, что все рассуждения справедливы как для S, так и для S2. Поэтому можно записать:

сит от высоты этого цилиндра. Так как начало оси расположено в центре слоя, то

Ey = Ez = 0.

Используя интегральную связь между напряженностью и разностью потенциалов, найдем:

где xA – координата произвольной точки вне слоя.

Рис. 2.6. Рис. 2.7.

Для построения графиков Dx(x) и Ex(x) используем выражения (46), (47), (48) и (49) (рис. 2.5 и 2.6). График φ(x) можно построить по графику Ex(x). Предположим, что φ = 0

на средней плоскости слоя (x = 0) (рис. 2.7). Во всей области x > 0 E x = - ∂¶ϕx > 0 , сле-

довательно, φ(x) убывает с ростом |x|. Во всей области x < 0 E x = - ∂¶ϕx < 0 , ∂¶ϕx > 0 ,

следовательно, φ(x) убывает с ростом |x|. Таким образом, кривая φ(x) симметрична от-

рыв, на графике φ(x) соответствуют точки излома, и график φ(x) идет круче касатель-

ной, так как в точке x £ d2 Ex меньше, чем в точке x ³ d2 .

Задача 2.5. В плоском конденсаторе разность потенциалов между пластинами 100 В. Все пространство между пластинами заполнено диэлектриком, для которого ε = 3. Как велика поверхностная плотность заряда, связанного на поверхности диэлектрика? Расстояние между пластинами 1 см.

Р е ш е н и е . Так как диэлектрик плотностью заполняет пространство между пла-

стинами (рис. 2.8), то E = εεσ0 , где σ – поверхностная плотность свободных зарядов на поверхности пластины. Возникающие на поверхностях диэлектрика

Используя связь между разностью потенциалов и напряженностью U = Ed, имеем U = εεσ0 d , отсюда σ = Uεεd 0 , а

III. ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Электроемкость уединенного проводника

где Q – заряд, φ – потенциал уединенного проводника.

Емкость конденсатора

где U = φ1 – φ2 – разность потенциалов между обкладками конденсатора после сообще- ния им зарядов Q и – Q. Взаимная емкость двух проводников зависит от их формы, размеров и взаимного расположения и от диэлектрических свойств среды, окружающей проводники.

При параллельном соединении конденсаторов общая емкость равна:

где Ci – емкость i-го конденсатора.

При смешанном соединении конденсаторов общая емкость находится с помощью формул (52) и (53).

Энергия заряженного конденсатора W = CU2 2 , где С – емкость конденсатора, U =

φ1 – φ2 – разность потенциалов обкладок. Учитывая, что C = UQ , получим

Объемная плотность энергии электростатического поля w, т. е. энергия единицы объема равна:

Если электрическое поле неоднородно, то пространство, в котором сосредоточено электрическое поле, можно разбить на элементарные объемы dV и считать в пределах бесконечно малого объема dV это поле однородным. Поэтому энергия поля, заключен- ная в объеме dV, будет dW = wdV. Полная энергия электростатического поля может

быть представлена в виде

Уравнение энергетического баланса при внешних воздействиях на конденсатор, при которых изменяется емкость конденсатора, для двух случаев записывается:

1) конденсатор перед воздействием был отключен от источника:

где W = W2 – W1 – изменение энергии конденсатора, A' – работа внешних сил, A – ра- бота сил поля;

2) если конденсатор соединен с источником, уравнение энергетического баланса

имеет вид

где Aист – работа, совершаемая источником.

Aист = QU,

где Q = Q2 – Q1 – заряд, протекший через источник и равный изменению заряда на об- кладках конденсатора.

Задача 3.1. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектрика: стекла толщиной d1 = 1 см и парафина толщиной d2 = 2 см. Диэлектрические проницаемости стекла ε1 = 7, парафина ε2 = 2. Площадь пластин S = 1 · 10-3 м3. Разность потенциалов между обкладками U = 3000 В.

Найти разность потенциалов на каждом слое диэлектрика и емкость конденсатора. Р е ш е н и е . Поле между пластинами в пределах каждого диэлектрика однородно и направлено перпендикулярно к пластинам (рис. 3.1). Граница раздела диэлектриков

перпендикулярна вектору D. Следовательно,

где D1n, D2n – проекции векторов электрического смещения D1 и D2 в 1-м и 2-м диэлек- трике на направление нормали n к границе раздела сред, проведенной из первой среды