МЭИ(ТУ) Физика

Легко видеть, что суммарная работа, совершаемая первым и третьим элементами, равна сумме количества теплоты, выделяющегося во всей цепи, и работы, совершаемой против стороннего поля второго элемента, т. е.

A1 + A3 = −A2 + Q .

§ 2. ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ПРОВОДИМОСТИ. КОНТАКТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Задачи настоящего параграфа охватывают вопросы классической теории электро- проводности, термоэлектронной эмиссии и контактных явлений. Главная цель занятий

– закрепить в памяти учащихся основные формулы этой теории, показать на примерах порядок величин, с которыми приходится иметь дело в электронной теории металлов. Если на лекциях вводились элементы зонной теории и статистики Ферми, то следует каждый раз качественно указывать, чем будут отличаться полученные результаты при применении квантовой теории металлов.

Задача 1

По медной проволоке с поперечным сечением S = 1 мм2 идет ток i = 1 А, при этом температура проволоки t = 57°С. Считая, что электронный газ подчиняется распределе- нию Максвелла, найти величины средних тепловой и направленной скоростей свобод- ных электронов.

Анализ и решение. Если электронный газ подчиняется распределению Максвелла, то средняя тепловая скорость vT может быть рассчитана по формуле

Здесь j – плотность тока, текущего по проволоке; n0 – концентрация свободных элек- тронов; e = 1,6 · 10-19 Кл – заряд электрона.

Из условия задачи находим плотность тока:

j = Si =100 Асм2 .

Концентрацию электронов можно оценить из следующих соображении: плотность меди D ≈ 9 г/см3, ее молекулярный вес μ ≈ 63 г/моль; следовательно, в 1 см3 содержится при-

мерно 1/7 грамм-моля. Медь – элемент первой группы, обладает одним валентным электроном, поэтому концентрация свободных электронов

n0 » N70 » 1023 см−3 ,

где N0 – число Авогадро.

Подставим полученные значения j, e и n0 в формулу (2) и произведем вычисления: vнапр = enj0 = 0,6 ×10−4 мс .

Полученные результаты наглядно показывают, что направленная скорость пренеб- режимо мала по сравнению со средней тепловой. В действительности, электронный газ подчиняется статистике Ферми. Это значит, что энергия свободных электронов дис- кретна, на каждом энергетическом уровне может находиться одновременно только два электрона и даже при T = 0 К электроны обладают энергией, причем максимальная энергия, так называемая энергия Ферми (εФ), имеет величину порядка 10 эВ. Поэтому средняя тепловая скорость, рассчитанная по Ферми, окажется больше вычисленной

Задача 2

Найти коэффициент теплопроводности серебра при T = 300 К, если при этой тем- пературе его удельное сопротивление ρ = 1,7 · 10-8 Ом · м.

Анализ и решение. Согласно закону Видемана-Франца, отношение коэффициента теплопроводности K к электропроводности σ прямо пропорционально абсолютной тем- пературе, т. е.

Здесь a – постоянная, одинаковая для всех металлов.

Если рассматривать свободные электроны металла как идеальный газ, то электро-

где l – средняя длина свободного пробега электронов, vT – средняя тепловая скорость электронов, n0 – концентрация электронов, e и me – соответственно заряд и масса элек- трона.

Коэффициент теплопроводности, как и для любого идеального газа, может быть

рассчитан по формуле

K = 13 lvT men0cV .

Здесь cV – "удельная" теплоемкость электронного газа. Так как его частицы обладают тремя степенями свободы, то

Приравнивая квадрат средней тепловой скорости среднему квадрату скоростей и заме-

Если коэффициент теплопроводности выразить в СИ в Дж/(град · м · с), а электро- проводность – в Ом-1 · м-1, то размерность постоянной a будет

При расчете по формуле (6) постоянную Больцмана следует брать в дж/град, заряд электрона e – в кулонах, тогда

Подставляя полученное значение a в выражение (1) и учитывая, чтоσ = ρ1 , где удель-

ное сопротивление серебра ρ = 1,6 · 10-8 Ом · м, находим

Как было показано при выводе выражения (6), отношение σK прямо пропорционально

абсолютной температуре вследствие того, что согласно классической теории cV ~ const ; vT2 ~ T .

С точки зрения теории Ферми

cV ~ T ; vT ~ const ,

поэтому закон Видемана-Франца остается справедливым.

Задача 3

Найти силу тока насыщения в электронной лампе с вольфрамовым катодом, если длина нити накала l = 3 см, диаметр d = 0,1 мм, температура нити T = 2700 К. Для вольфрама работа выхода Aвых = 4,5 эВ, постоянная B = 60 А/(см2 · град2).

Анализ и решение. Плотность j тока насыщения при термоэлектронной эмиссии вычисляется по формуле Дешмена-Ричардсона:

где S – площадь поверхности катода. Предполагая, что катод имеет форму прямой нити длиной l и что эмиссия происходит только с боковой поверхности, получаем

Расчет дает

i ≈ 0,1А .

Надо обратить внимание студентов на то, что изменение плотности тока насыщения [см. формулу (1)] с изменением температуры практически определяется только экспо- нентой, изменение степенного сомножителя можно не учитывать. Действительно, при

T = 2700 К

T 2 = 7,3×106 , e− Aвых kT » 5,5 ×10−9 ;

при уменьшении температуры, например в 10 раз, т. е, при T = 270 К,

T 2 = 7,3×104 , e− Aвых kT » 10−83 .

Как видно, уменьшение степенного сомножителя на два порядка практически не сказы- вается на значении результата.

Задача 4

Оценить отношение концентрации свободных электронов в термопаре никель- платина, если электродвижущая сила такой термопары, соответствующая разности температур спаев в 1°, равна E = – 15 · 106 В/град.

Анализ и решение. Величина термо-ЭДС определяется соотношением

В условии задачи дана электродвижущая сила, возникающая при разности темпе- ратур T = 1°, Следовательно,

ln nNi = E e = -0,17 , nPt k

откуда

nNi = 0,85.

nPt

То, что концентрация электронов никеля меньше, чем пластины, можно было опреде- лить сразу по знаку электродвижущей силы (ENi-Pt < 0). Значит, в контактном слое ни- кель заряжается отрицательно, т. е. отдает меньше электронов, чем получает; платина заряжается положительно: отдает электронов больше, чем получает.

Задача 5

Термодинамически термопара представляет собой "тепловую машину", так как за счет подводимой теплоты совершается работа по перенесению зарядов.

Если не учитывать отдачи теплоты в окружающую атмосферу при прохождении тока по соединительным проводам, то можно считать, что термопара работает с двумя тепловыми резервуарами, температуры которых определяются температурами горячего

и холодного спаев. В этом случае коэффициент полезного действия может быть рассчи- тан, как для машины Карно, по формуле

где T1 и T2 – абсолютные температуры соответственно нагревателя и холодильника.

Тогда

Интересно отметить, что количество электричества, проходящее через термопару, в идеальном случае не зависит от сопротивления цепи, величина которого определяет скорость прохождения заряда, т. е. величину силы тока.

В реальном случае от сопротивления проводов будут зависеть тепловые потери и, следовательно, величина коэффициента полезного действия термопары, а тем самым и количество электричества, проходящее через теромопару.

ГЛАВА V. МАГНЕТИЗМ

§ 1. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Задачи настоящего параграфа охватывают следующие темы: а) нахождение поля по заданной конфигурации токов методом суперпозиции и с помощью закона полного то- ка; б) действие магнитного поля на ток и на движущийся заряд; в) работа магнитного поля.

За исходное явление при изучении электромагнетизма следует считать взаимодей- ствие токов и, следовательно, в качестве силовой характеристики магнитного поля бе- рется индукция B поля. Напряженность H магнитного поля вводится значительно позд- нее, при изучении магнетиков.

Индукция поля вычисляется как величина, численно равная отношению макси- мальной силы, действующей па элемент dl тока i, внесенный в данную точку поля, к произведению idl, т. е.

В качестве «индикатора» магнитного поля можно брать элементарную рамку пло- щадью S, обтекаемую током i, тогда индукция поля определится как величина, числен- но равная отношению максимального вращающего момента, действующего на рамку, к произведению iS, т. е.

Эта единица носит название тесла и обозначается "Тл".

Единицы измерения основных магнитных величин в СИ и в системе СГСМ вводят- ся на основании формулы взаимодействия параллельных токов. Согласно закону Био- Савара-Лапласа

= idl sinα , dB k r2

где значение коэффициента k зависит от выбора системы единиц.

В общем виде индукция поля бесконечно длинного прямого тока

B = k 2xI ,

где x – расстояние от точки, в которой рассматривается поле, до прямого тока. Сила взаимодействия параллельных токов,

В системе единиц СИ принята рационализованная форма записи уравнений, поэто-

му коэффициент k должен содержать в качестве сомножителя 41π . Тогда формула (3)

примет вид

Здесь μ0 – магнитная постоянная, или магнитная проницаемость вакуума, размерность и величина которой вычисляются из формулы (4), если единицы измерения всех осталь- ных величин, входящих в формулу, заданы.

В СИ единица силы тока определяется по взаимодействию параллельных токов: ампер – это сила тока, который, протекая по двум бесконечно длинным параллельным проводникам бесконечно малого кругового сечения, находящимся в вакууме на рас- стоянии 1 м один от другого, обеспечивает между ними силу взаимодействия F = 2 · 10-7 Н. на каждый метр длины. Из этого определения автоматически вытекает,

что магнитная постоянная вакуума

μ0 = 4πrF = 4π ×10−7 Н А2 . 2I1I2l

Следует сразу же оговорить, что размерность магнитной проницаемости вакуума легко приводится в виду Гнм , где Гн – сокращенное обозначение генри.

В системе СГСМ коэффициент пропорциональности k = 1; формула (3) имеет вид

Единицы измерения расстояния и силы определены (единица расстояния – 1 см; едини- ца силы – 1 дин). Следовательно, единица силы тока будет производной и должна быть найдена на основании соотношения (5). Это значит, что в системе СГСМ за единицу силы тока (1 СГСМI) следует принять силу тока, который, протекая по двум бесконечно длинным параллельным проводникам бесконечно малого кругового сечения, находя-

щимся в вакууме на расстоянии 1 см один от другого, обеспечивает между ними силу взаимодействия F = 2 дин на каждый сантиметр длины.

Найдем соотношение между 1 СГСМI и 1 А. Для этого выразим силу тока из фор- мулы (4), считая I1 = I2 = 1 СГСМI, и подставим значения F = 2 · 10-3 H, l = r = 10-2 м:

I 2 = 4πrF =102 А2 ,

2μ0l

отсюда

I =1СГСМi =10 А .

Согласно определению величины B [см. формулу (1)] получим единицу измерения

Установим соотношение между единицами индукции в обеих системах:

Все остальные единицы приведены в табл. 1 Приложения. Знакомить с ними студентов следует постепенно, по мере прохождения материала.

В табл. 3 Приложения даны некоторые наиболее часто встречающиеся формулы электромагнетизма, записанные в обеих системах.

При нахождении индукции магнитного поля методом суперпозиции с использова- нием либо непосредственно закона Био-Савара-Лапласа, либо формул, выведенных ра- нее из этого закона, следует каждый раз подчеркивать, что этот закон справедлив толь- ко для линейных токов, т. е. для проводников, поперечные размеры которых пренебре- жимо малы по сравнению с расстоянием от проводника до заданной точки поля. Отсут- ствие каких-либо данных о поперечных сечениях проводников в условии задачи явля- ется неявным указанием на линейность тока.

При использовании закона полного тока так же, как и теоремы Гаусса, надо тща- тельно оговаривать, какие выводы делаются на основании симметрии токов. Сущест- венно, что в законе полного тока фигурирует индукция результирующего поля, созда- ваемого всеми токами, поэтому, применяя этот закон, следует тщательно анализировать конфигурацию токов, создающих поле, не забывая о подводящих проводах.