МЭИ(ТУ) Физика

Ответы

11.1.1. T = 2π LC = 6,28 ×10−7 с .

2.λ = 2πc LC =188 м .

11.2.1. Q = CU0 cos(t LC ).

2.Im = U0 CL = 2,0 А .

11.4.Dλ = 2πc L( C1 - C2 )= 250 - 500 м .

11.5.См. рис. 11.2 а, б.

Рис. 11.2 а, б. 2. Qmax = 2εC = 5 мкКл , Umax = 2ε = 20 В .

3. См. рис. 11.3.

11.9.а) Bm = ε0εμ0μ Em =1,2 ×10−6 Тл . б) v = (ε0εμ0μ)−12 = 1,5 ×10−8 мс . в) Sm = (ε0εμ0μ )−12 Em2 = 210 Втм2 .

2.Fмагн = v = 0,1.

Fэл c

11.12.v = c ε =1,4 ×108 мс .

11.20.I = Stpc = 6 ×108 Дж м2 ×с .

ГЛАВА III. ЭЛЕКТРОСТАТИКА

§ 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Задачи данного параграфа охватывают следующие темы: закон Кулона; вычисле- ние напряженности поля (методом суперпозиции и с помощью теоремы Гаусса); дейст- вие электрического поля на заряженные тела; потенциал.

Первая тема является, по существу, вводной. При работе над ней следует научить студентов рассчитывать взаимодействие заряженных тел конечных размеров (путем интегрирования).

Основной упор должен быть сделан на понятие поля, на расчет его характеристик – напряженности, потенциала. При вычислении напряженности электростатических по-

лей различных конфигураций следует подчеркивать важность принципа суперпозиции и использовать его при рассмотрении полей, созданных не только точечными заряда- ми1, но и зарядами, распределенными по поверхности и объему. При решении задач с помощью теоремы Гаусса следует каждый раз подчеркивать выводы, полученные на основании симметрии зарядов, создающих поле; тогда студенты смогут правильно вы- брать вспомогательную поверхность для интегрирования. Теорема Гаусса справедлива при любой конфигурации зарядов, но надо отметить, что только симметричное распре- деление зарядов позволяет применить эту теорему для нахождения вектора E напря- женности электрического поля.

При рассмотрении действия поля на заряд особенно существенно заметить, что формула F = Eq в общем случае справедлива для точечных заряженных тел и только в однородном поле применима для тел любых размеров и любой формы, несущих заряд q. При анализе подобных задач надо обязательно оговаривать, что заряды q, вносимые в электрическое поле, независимо от формы и размеров заряженного тела, настолько малы по величине, что они не искажают поля, т. е. не вызывают перераспределения за- рядов на заряженных телах, создающих поле. Эта оговорка отпадает, если источник по- ля – точечный заряд.

Задачи на потенциал, приведенные в данном параграфе, носят расчетный характер. Их цель – научить студентов находить потенциал и разность потенциалов по заданной

1 Термин "заряд" вместо "заряженное тело" используется, как правило, для кратко-

сти.

конфигурации зарядов. При этом в некоторых случаях удобнее сначала найти напря-

женность поля, а затем, воспользовавшись интегральной формулой ϕ1 -ϕ2 = ò2 Edl 1, ис-

1

кать разность потенциалов или потенциал какой-либо точки. В некоторых случаях и потенциал, и напряженность следует находить методом суперпозиции либо искать век- тор напряженности электрического поля по потенциалу, найденному на основании ме- тода суперпозиции.

Первое занятие по разделу рекомендуется начать с разбора систем единиц СИ и СГСЭ, причем главный упор должен быть сделан на СИ. Рассматривая основные еди- ницы этой системы, не следует давать полного определения ампера. Единицу заряда 1 кулон (Кл = А · с) надо получить из соотношения Q = It, известного студентам из школьного курса физики. В СИ принята рационализованная форма записи уравнений, согласно которой коэффициент пропорциональности k в законе Кулона должен содер-

жать множитель 41π . Следовательно, закон Кулона будет иметь вид

где ε0 – электрическая постоянная, или диэлектрическая проницаемость вакуума. Находя из опыта силу взаимодействия двух зарядов, величина которых известна и

которые находятся на заданном расстоянии друг от друга, и подставляя эти данные в формулу (2), можно вычислить величину ε0. Если расстояние измеряется в метрах, за- ряды – в кулонах, сила – в ньютонах, то

1 Такая запись формулы (без знака минус) соответствует определению: разность потенциалов между двумя точками есть величина, численно равная работе, совершае- мой силами поля при перенесении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

Следует сразу же оговорить, что размерность электрической постоянной приводит-

ся к виду Фм , где φ – сокращенное обозначение единицы электроемкости – фарады. Но

минается, так как выводится непосредственно из закона Кулона.

Соотношение между кулоном и единицей СГСЭ заряда легко получить из опреде- ления последней. В системе СГСЭ за единицу заряда принимается точечный заряд, ко- торый на равный ему заряд, помещенный в вакууме на расстоянии r = 1 см, действует с силой F = 1 дин.

Величину этого заряда можно выразить в кулонах, если в формулу (2) подставить значения: F = 10-5 Н, r = 10-23 м; тогда

q2 = 4πε0Fr2 = 10−8 Кл2 .

9

Отсюда

[q]=1СГСЭq = 3×1109 Кл 1

Соотношения между всеми производными единицами могут быть легко выведены. Например, напряженность электрического поля по определению численно равна отно- шению силы, действующей на точечный заряд, к величине этого заряда, т. е.

E = Fq ;

следовательно, единица измерения напряженности в СИ равна 1 КлН , в системе СГСЭ –

1 СГСЭдин q , отсюда

Внешний вид формул электромагнетизма зависит от выбора системы единиц (см. таб- лицу 2 Приложения).

1 Можно считать, что указанное соотношение есть результат опыта, а значение ε0 тогда получится из расчета. Но такой способ, во-первых, сложнее для понимания, во- вторых, он не позволяет полностью ввести систему СИ до изложения системы СГСЭ.

Задачу можно было решить, не задавая заранее направления сил, считая, что знак заряда определит и знак, т. е. направление, силы. Однако этот метод уже не будет го- диться при взаимодействии зарядов, расположенных не на одной прямой.

Задача 2

Точечный заряд q = 5 СГСЭq расположен в центре полукольца радиуса r0 = 5 см. По полукольцу равномерно распределен заряд Q = 3 · 10-7 Кл. Найти силу, с которой это полукольцо действует на точечный заряд.

Анализ. Найти силу, с которой полукольцо действует на точечный заряд q, непо- средственно из закона Кулона нельзя, так как полукольцо заведомо не представляет со- бой точечного заряда. Но можно определить эту силу как ре- зультирующую элементарных сил, действующих на заряд со стороны достаточно малых равных элементов dl полукольца.

Следует обязательно оговорить, что элемент dl очень мал и его можно рассматривать как точечный, но, с другой стороны, элемент dl должен быть велик по сравнению с размерами мо- лекул, т. е. должен быть элементом макроскопическим. По-

Рис. 49. скольку заряд Q распределен по полукольцу равномерно, то элемент dl будет обладать зарядом

Элементарная сила, с которой поле действует на точечный заряд, направлена по пря- мой, соединяющей заряд q и элемент dl (рис. 49), и согласно закону Кулона равна

При переходе от одного элемента полукольца к другому числовое значение эле- ментарных сил dF не будет меняться, но будет меняться их направление. Поэтому сле- дует отдельно искать проекции результирующей силы на оси координат. В данной за- даче все элементарные векторы dF лежат в плоскости рисунка (точнее, в плоскости по- лукольца), поэтому можно ограничиться двумя осями, направив их из соображений симметрии так, как показано на рисунке.

Решение. Чтобы найти проекции результирующей силы F на оси, будем интегри- ровать соответствующие проекции элементарных сил по полукольцу:

В обоих случаях интеграл берется по полукольцу, что соответствует изменению угла α в пределах от 0 до π. Следует приучить студентов, чтобы в подобных случаях прямо под интегралом они подписывали, по какому телу ведется интегрирование. Подставляя формулы (1) и (2) в выражения (3) и (4) и учитывая, что dl = r0dα, находим

Направление результирующей силы F по оси x и равенство нулю проекции резуль- тирующей силы на ось y можно было предсказать из соображений симметрии и не про- водя интегрирования.

Так как задача решается в СИ, то прежде чем подставлять в окончательную форму- лу числовые значения заданных величин, их надо перевести в данную систему и затем проверить формулу (5) по размерностям единиц. Величины, стоящие в правой части формулы, имеют следующие размерности:

следовательно,

[F]= Кл2 ×2Н× × м2 2 = Н .

Кл м Используя полученный результат, можно показать, что на точечный заряд, поме-

щенный в центр равномерно заряженного кольца, поле действовать не будет.

Задача 3

Тонкий стержень длиной l0 = 10 см. равномерно заряжен положительным зарядом Q = 10-7 Кл. Найти силу, действующую на точечный заряд q = 6 СГСЭq, расположенный

на продолжении стержня на расстоянии x0 = 20 см от него. Найти напряженность поля в точках, лежащих на продолжении стержня, как функцию расстояния x до стержня.

Анализ. Как и в предыдущей задаче, искомую силу можно найти как результи- рующую элементарных сил dF, действующих на точечный заряд со стороны полей от-

Рис. 50.

дельных малых равных элементов dl стержня (рис. 50). Согласно закону Кулона,

где dQ – заряд элемента dl, x – расстояние от элемента dl до точечного заряда.

Ввиду равномерного распределения заряда Q по стержню заряд dQ можно выра-

зить формулой

Все элементарные силы направлены в одну сторону, поэтому результирующая сила

Решение. Чтобы провести интегрирование, введем ось ξ, как показано на рис. 50. Длина введенного элемента dl = dξ, положение его определяется координатой ξ, а рас- стояние от этого элемента до рассматриваемой точки, как видно из рис. 50, равно

При интегрировании по стержню переменная ξ меняется от 0 до l0, следовательно,

Выражая заданные величины в СИ и производя подстановку числовых значений,

находим

F = 3×10−5 Н .

Согласно определению, напряженность поля в точке x0