МЭИ(ТУ) Физика

2.E(r)= Q1 + Q2 , ϕ(r)= Q1 + Q2 .

4πε0r2 4πε0r

3.См. рис. 3.9.

Рис. 3.9.

3.12. 1. D = Dx , E = Ex ; ось x перпендикулярная обкладкам;

E2 = Ud 1+2ε = 38кВм ;

б) D1 = ε0U d = 1,3×10−6 Клм2 ; D2 = ε0εU d = 9 ×10−6 Клм2 ;

E1 = E2 = Ud =150кВм .

3. См. рис. 3.10 а, б, в.

r, см

Рис. 3.10 а, б, в.

3.17. ϕ = ϕ0 r2 + (εεr2-1)r1 = 830 В.

3.18. ϕ = ϕ0 - ε ε-1(ϕ1 -ϕ2 )= 520 В .

4. ЕМКОСТЬ. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Емкость конденсатора можно рассчитать, используя соотношение между его заря- дом и разностью потенциалов между его обкладками (см. пример 4.1).

Энергия электростатического поля заряженного конденсатора может быть выраже- на через его емкость и заряд или разность потенциалов на обкладках.

Если обкладки конденсатора или диэлектрик в промежутке между ними переме- щаются бесконечно медленно под действием приложенных к ним внешних сил, то из- менение энергии конденсатора W равно их работе и работе сил стороннего электриче- ского поля в источнике, если он есть (см. пример 4.2):

Энергия электростатического поля в некотором произвольном объеме может быть рассчитана по известным значениям мнимости энергии поля (см. пример 4.3).

Примеры решения задач

Пример 4.1. Найти емкость плоского конденсатора, наполовину заполненного твердым диэлектриком, граница которого параллельна пластинам конденсатора. Рас- стояние между обкладками d = 4,2 см, площадь пластины S = 300 см2, диэлектрическая проницаемость ε = 7. Искажением поля у краев пренебречь.

Рис. 4.1.

Пусть конденсатор имеет на обкладках заряды Q и – Q (рис. 4.1), тогда емкость C = Q/U. Вычислим разность потенциалов между обкладками, созданную этими заря-

дами

(2)

U = òEdl .

(1)

Интегрирование ведется от обкладки 1 (например, с зарядом Q) до обкладки 2. Напря- женность E в любой точки на траектории интегрирования 1 – 2 в пространстве между

обладает симметрией, достаточной для использования теоремы Гаусса для расчета. Воспользуемся принципом суперпозиции D(A) = D1(A) + D2(A), где индексы 1, 2 соот- ветствуют номеру обкладки. Электрическое смещение поля, созданного зарядом + Q, равномерно распределено по плоскости, т. е. D1, вследствие симметрии, равно D1 = D1x,

Эту же задачу можно решить, используя известную формулу для емкости плоского конденсатора. Допустим, что на границе раздела воздух-диэлектрик имеется электриче- ское поле. При этом конденсатор можно рассматривать как два последовательно соеди-

ненных конденсатора емкостью

соответственно. Это можно сделать, так как разность потенциалов между обкладками складывается из разностей потенциалов на "обкладках" этих половин. Общая емкость

вычисляется по формуле

Пример 4.2. Найти работу, которую нужно совершить, чтобы раздвинуть пластины плоского воздушного конденсатора с расстояния d1 до расстояния d2, если конденсатор заряжен до разности потенциалов U. Площадь каждой пластины S. Рассмотреть два случая: а) конденсатор перед раздвижением пластин отключается от источника; б) кон- денсатор все время подключен к источнику.

При раздвижении пластин внешняя сила направлена против силы взаимодействия пластин (силы притяжения), т. е. совершает положительную работу Aвнеш > 0. Работу внешних сил найдем из уравнения энергетического баланса (4.1):

Aвнеш = DW - Aист .

В первом случае источник ЭДС отсутствует: Aист = 0, емкость конденсатора изме- няется от C1 до C2, заряд Q = C1U не изменяется. Поэтому

Используя выражение для емкости плоского воздушного конденсатора C1 = ε0S/d1 по-

лучаем

так как d2 > d1.

Во втором случае источник ЭДС имеется, при изменении емкости заряд изменяется

(в данном случае уменьшается): Q = Q2 – Q1 = U(C2 – C1). При этом сторонние силы

совершают работу по переносу этого заряда Aист = U Q (при условии, что все про-

цессы происходят так медленно, что ток в цепи практически отсутствует). Уравне-

ние энергетического баланса даст:

Пример 4.3. В вакууме образовалось скопление электронов с постоянной объемной плотностью заряда, имеющее форму шара радиусом r0. Суммарный заряд электронного облака – Q. Найти энергию электростатического поля в пространстве, занятом зарядом, и вне его.

Энергия электростатического поля в произвольном объеме V находится по формуле

W = òwedV ,

поV

где we = 12 ε0E2 – объемная плотность энергии, E – напряженность поля в элементарном

объеме dV.

Распределение заряда обладает центральной симметрией, E = Er(r) –силовые ли- нии, направлены вдоль радиусов-векторов точек, исходящих из центра, и напряжен-

ность зависит только от координаты r по оси вдоль радиуса-вектора. С помощью тео-

ремы Гаусса получаем

Элементарный объем dV должен быть выбран так, чтобы в его пределах плотность энергии, а следовательно, и E, оставались постоянными. Таким требованиям в данном

Рис. 4.2.

случае удовлетворяет очень тонкий полый шар, концентричный с шаровым зарядом и ограниченный сферами радиусов r и r + dr (рис. 4.2, объем dV показан штриховкой).

Подставляя полученные значения E = | Er| и dV, получим для энергии поля W1 внутри шара (при интегрировании по объему шара r изменяется от 0 до r0):

Энергия поля W2 вне шара (при этом r изменяется от 0 до ∞) равна

Задачи

4.1.Чему равна емкость земного шара? Его радиус rЗ = 6,4 · 106 м.

4.2.На два последовательно соединенных конденсатора емкостью C1 = 100 пФ и C2 = 200 пФ подана постоянная разность потенциалов U = 300 В.

1. Найти разности потенциалов U1 и U2 на конденсаторах и их заряды. 2. Какова емкость C системы?

4.3. Конденсатор емкостью C1 = 100 пФ заряжен до разности потенциалов U1 = 90 В. Конденсатор отключают от источника и соединяют параллельно с другим конденсатором, незаряженным. Конечная разность потенциалов на конденсаторах

U2 = 30 В.

1.Найти емкость второго конденсатора.

2.Найти изменение энергии системы.

4.4.Конденсатор емкостью C1 = 0,20 мкФ, заряженный до разности потенциалов U1 = 320 В, соединили параллельно с конденсатором, заряженным до разности потен- циалов U2 = 450 В. После этого на батарее конденсаторов установилась разность по- тенциалов U = 400 В. Найти емкость второго конденсатора.

4.5.Вывести формулу для емкости плоского конденсатора, площадь пластин кото- рого S, а расстояние между ними d. Краевыми эффектами пренебречь. Рассчитать зна- чение емкости при S = 200 см2, d = 5 мм.

4.6.Вывести формулу для емкости сферического конденсатора, радиус внутренней обкладки которого r1, а внешней – r2.

1. Рассчитать значения емкости при r1 = 15 см, r2 = 30 см.

2. Показать, что емкость тонкого сферического конденсатора (т. е. с малым рас- стоянием между обкладками) можно вычислять по формуле емкости плоского конден- сатора.

4.7.Вывести формулу для емкости цилиндрического конденсатора длиной l, радиу- сом внутренней обкладки r1, внешней r2). Концевыми эффектами пренебречь.

1. Рассчитать значение емкости при l = 10 м, r1 = 2,0 мм, r2 = 1,0 см.

2. Показать, что емкость тонкого цилиндрического конденсатора (т. е. с малым рас- стоянием между обкладками) можно вычислять по формуле емкости плоского конден- сатора.

4.8.Плоский воздушный конденсатор подключен к источнику с постоянной ЭДС

ε= 300 В. Пластины конденсатора сближаются с постоянной скоростью v = 1,0 мм/с.

1.Какой ток будет идти по подводящим проводам в тот момент, когда расстояние между пластинами x = 2,0 мм? Площадь каждой пластины S = 400 см2. Разность потен- циалов на обкладках конденсатора все время считать постоянной и равной ε (U = ε).

2.Какую силу надо приложить к движущейся пластине, чтобы скорость ее остава- лась постоянной?

3.Чему равна эта сила для x = 2,0 мм?

4.9.Найти емкость плоского конденсатора, наполовину заполненного твердым ди- электриком, если граница диэлектрик-воздух перпендикулярна пластинам конденсато- ра. Расстояние между обкладками d = 4,0 мм, площадь пластин S = 300 см2, относи- тельная диэлектрическая проницаемость ε = 7. Искажением поля у краев пренебречь.

4.10.Между пластинами плоского конденсатора, заряженного до разности потен-

циалов U = 600 В, находятся два слоя диэлектриков: стекло (ε1 = 7) толщиной d1 = 7,0 мм и эбонит (ε2 = 3,0) толщиной d2 = 3,0 мм. Площадь каждой пластины кон- денсатора S = 400 см2. Найти: 1) емкость конденсатора; 2) величины электрического смещения и напряженности поля в каждом слое; 3) плотности энергии электрического поля в каждом из диэлектриков.

4.11.Радиусы обкладок сферического конденсатора r1 = 3,0 см, r1 = 9,0 см. Про-

странство между обкладками заполнено двумя концентрично расположенными слоями диэлектрика толщиной = 3,0 см каждый. Диэлектрическая проницаемость первого слоя, прилегающего к внутренней обкладке конденсатора ε1 = 4, диэлектрическая про- ницаемость второго слоя ε2 = 6. Найти емкость конденсатора.

4.12.Коаксиальный кабель состоит из центральной жилы радиуса r1 = 2,0 мм и оп- летки радиусом r2 = 10 мм. Пространство между ними заполнено двумя слоями диэлек- трика. Диэлектрическая проницаемость первого слоя, примыкающего к жиле, ε1 = 4,

диэлектрическая проницаемость второго слоя ε2 =7. Радиус границы раздела r0 = 5,0 мм. Найти емкость кабеля на единицу его длины.

4.13.Радиусы обкладок сферического конденсатора r1 = 3,0 см, r2 = 5,0 см. Про- странство между обкладками заполнено наполовину парафином. Границу диэлектрик- воздух можно считать плоской и искривлением силовых линий на границе можно пре- небречь. Рассчитать емкость конденсатора, если диэлектрическая проницаемость пара-

фина ε = 2,0.

4.14.В плоский конденсатор емкостью C0, заряженный до разности потенциалов U0, вводят параллельно его обкладкам медную пластину той же площади, что и обклад- ки. Толщина пластины в n раз меньше начального расстояния между обкладками.

1. Найти изменение емкости конденсатора.