МЭИ(ТУ) Физика

A = 2μπ0r I1I2cln ba = 2,8 ×10−6 Дж .

Сила Ампера F, действующая на рассматриваемую сторону, направлена в сторону пе- ремещения рамки (рис. 8.1), следовательно, ее работа положительна.

Задачи

8.1. Квадратная рамка со стороной a = 20 см помещена в однородное магнитное по- ле с магнитной индукцией B = 0,040 Тл. Найти магнитный поток, пронизывающий рам- ку, если нормаль к плоскости рамки составляет угол α =60° с направлением вектора магнитной индукции.

8.2. Обмотка соленоида длиной l = 1,0 м и радиусом r =25 мм содержит n =11 вит-

ков/см, обтекаемых током I = 2,0 А. Считая, что витки плотно прилегают друг к дру-

гу, найти потокосцепление соленоида.

8.3. Обмотка тора (кольцевого соленоида) квадратного сечения со стороной a = 4 см состоит из N = 1000 витков, по которым идет ток I = 2,0 А. Внутренний радиус тора r1 = 8 см. Найти магнитный поток внутри тора.

8.4.По длинному* медному проводу кругового сечения идет ток I = 10 А. Плот- ность тока постоянна, относи магнитная проницаемость меди μ = 1. Найти магнитный поток, приходящийся на единицу длины, в пределах самого провода.

8.5.Ток I = 5 А течет по внутреннему медному проводу длинного* коаксиального кабеля и возвращается по его внешней металлической оболочке. Диаметр внутреннего провода d1 = 2,0 мм, внешней оболочки d2 = 10 мм. Найти магнитный поток, приходя- щийся на единицу длины. Плотность тока во внутреннем проводе постоянна по сече- нию.

8.6.Прямоугольная рамка со сторонами a = 10 см и b = 5 см лежит в одной плоско- сти с длинным* прямым проводом, по которому идет ток I = 10 А. Длинные стороны рамки параллельны проводу, ближайшая сторона находится на расстоянии x1 = 5 см от прямого проводника. Рамка, оставаясь в той же плоскости, перемещается параллельно самой себе, удаляясь от прямого провода так, что кратчайшее расстояние между ними возрастает до x2 = 10 см. Найти изменение магнитного потока, пронизывающего рамку, если ток, обтекающий рамку, по стороне, ближайшей к проводу, направлен: а) так же, как ток I; б) противоположно току I.

8.7.В однородном магнитном поле (B = 2,0 · 10-5 Тл) в плоскости, перпендикуляр- ной линиям индукции, проложены длинные* параллельные шины. Шины соединены подвижным проводником, длина которого l = 0,5 м равна расстоянию между ними. При токе I = 5 А проводник под действием силы Ампера перемещается на расстояние

x= 4,0 см. Найти работу, совершенную силами Ампера при этом перемещении. Ток в цепи считать постоянным.

8.8.Два параллельных достаточно длинных* провода находятся на расстоянии h1 = 2 см друг от друга. По проводам идут токи I1 = I2 = 2,0 А взаимно противоположно- го направления. Какую работу на единицу длины проводов совершают силы Ампера при медленном удалении проводов друг от друга до расстояния h2= 8 см?

8.9.В плоскости, перпендикулярной линиям индукции однородного магнитного поля (B = 3,0 · 10-5 Тл) лежит тонкое* кольцо, радиус которого r = 5 см. По кольцу идет ток I = 1,5 А.

1.Каково должно быть направление тока в кольце, чтобы работа внешних сил при повороте кольца вокруг его диаметра на 180° была положительной?

2.Какую работу совершат внешние силы при этом повороте?

8.10.В однородном магнитном поле с индукцией B = 2,0 · 10-5 Тл помещена квад- ратная рамка со стороной a = 10 см, обтекаемая током I = 1,0 А. Магнитный момент рамки параллелен вектору индукции B. Какую работу совершают силы Ампера при медленном повороте рамки вокруг одной из ее сторон на угол α = 90°? 180°? 360°?

8.11.В одной плоскости с длинным* прямым проводом, по которому идет ток I1 = 10 А, находится плоская прямоугольная рамка со сторонами a =10 см, b = 7,5 см. Длинные стороны рамки параллельны прямому проводу, расстояние от него до бли- жайшей длинной стороны рамки x0 = 2,5 см. По рамке идет ток I2 = 1 А. В стороне, ближайшей к прямому проводу, ток I2 направлен противоположно току I1. Рассчитать, какую работу совершат силы Ампера при медленном повороте рамки на угол α = 180°: а) вокруг оси, параллельной прямому проводу и проходящей через середину рамки; б) вокруг оси, совпадающей с длинной стороной, ближайшей к прямому проводу.

8.12.В одной плоскости с длинным* прямым проводом, по которому идет ток I1 = 10 А, находится прямоугольная рамка со сторонами aа = 5 см, b = 10 см. Длинные стороны рамки параллельны прямому проводу и ближайшая отстоит от него на рас- стояние x1 = 5 см. Рамка обтекается током I2 = 3 А, в прямом проводнике и ближайшей

кнему стороне рамки токи натравлены одинаково. Какую работу совершают внешние силы при поступательном прямолинейном перемещении рамки в ее плоскости в на- правлении нормали к проводу? Конечное расстояние от прямого провода до ближай- шей к нему длинной стороны рамки x2 = 10 см.

8.13.В длинный* соленоид вдоль его оси медленно втягивается маленькая* пло- ская рамка. Обмотка рамки состоит из N = 10 витков площадью S = 2,0 см2 каждый. Ток в обмотке рамки I1 = 1,0 А. Обмотка соленоида содержит N = 100 витков/см, по кото- рым идет ток I2 = 5 А. Какую работу совершают силы Ампера при перемещении рамки

из середины основания соленоида в середину его оси, если плоскость рамки нормальна

коси соленоида, токи I1 и I2 направлены одинаково?

8.14.Маленькая* квадратная рамка из мягкой проволоки со стороной a = 3,0 см, обтекаемая током I1 = 0,10 А, медленно втягивается в середину длинного* соленоида. Обмотка соленоида состоит из n = 10 витков/см, ток в соленоиде I =1,0 А. Перемещение рамки происходит вдоль оси соленоида, плоскость ее все время перпендикулярна оси соленоида. Токи в соленоиде и в рамке направлены одинаково. Найти суммарную рабо- ту, совершенную силами Ампера при перемещении рамки из середины основания до середины оси и при деформации рамки, если диаметр соленоида D >> a.

8.15.Два плоских круглых витка радиуса r =10 см каждый расположены парал- лельно друг другу на расстоянии a = 10 см, причем прямая, соединяющая центры вит- ков, перпендикулярна плоскостям обоих витков. По виткам протекают токи взаимопро-

тивоположных направлений, но одинаковые по величине I1 = I2 = 2,0 А. Концентрично первому витку расположен маленький виток площадью S = 0,20 см2. По витку течет ток I = 0,10 А, направленный так же, как ток I1 (рис. 8.2). Какую работу должны совершить

внешние силы, чтобы переместить маленький виток (параллельно самому себе) в сере- дину второго витка?

8.16. Две тонкие катушки с током, векторы магнитных моментов которых коллине- арны и по модулю равны соответственно pm1 = 8 · 10-2 А · м2 и pm2 = 0,12 А · м2, удалены друг от друга на расстояние x1 = 1,0 м. Расстояние между центрами катушек x1 >> l, где l – длина каждой катушки. Найти: а) работу, которую совершат внешние силы, чтобы увеличить расстояние между центрами катушек до x2 = 1,1 м; б) силу взаимодействия катушек на расстоянии x1.

Ответы

8.1.F = Ba2 cosα = 8 ×10−4 Вб .

8.2.Y = μ0πn2r2lI = 6 ×10−3 Вб .

8.7.A = IBlx = 2,0 ×10−5 Дж .

8.9.1. n0 ↑↑ B.

2. A'= 2πBIr2 =1,6 ×10−6 Дж .

8.13.A = μ20 I1I2 NnS = 6 ×10−5 Дж .

Dϕ = 0,020 В.

Чтобы найти, где потенциал выше, рассмотрим действие силы Лоренца на электроны проводимости. Она направлена вдоль радиуса к центру, где создается избыток поло-

жительных зарядов, т. е. в центре потенциал ниже.

| φ| можно вычислить также с помощью закона Фарадея-Максвелла, учитывая, что поток через заметенную "проводником" поверхность есть поток однородного магнит-

ного поля через площадь сектора S = ωtr2 2 . Тогда

Пример 9.2. В одной плоскости с длинным* прямым проводом, по которому идет ток I, находится прямоугольная рамка со сторонами a и b, рамка движется поступа- тельно и прямолинейно со скоростью в направлении, перпендику-

мент времени. В данном случае магнитный поток зависит от времени, так как зависит от времени положение рамки в неоднородном поле. Воспользовавшись результатом расчета магнитного потока в примере 8.1, для рассматриваемого случая запишем

откуда

ε= μ0 Iab .

i2πt(b + vt)

Втот момент, когда vt = x0, εi = μ0Iabv/[2πx0(b + x0)]. Направление индукционного тока Ii = εi/r > 0 согласовано с dS, т. е. по часовой стрелке.

Пример 9.3. В цепь, состоящую из источника постоянной ЭДС ε, длинной* катуш- ки сечением S, длиной l, с числом витков N и сопротивлением R1, быстро подключают добавочное сопротивление R2, размыкая ключ К (рис. 9.3). Найти закон изменения тока со временем.

В электрической цепи до размыкания ключа К идет ток I0 = ε/R1, поскольку сопротивление R2 закорочено. При размыкании К ток в цепи пойдет через оба сопротивления R1 и R2, так как катуш- ка обладает индуктивностью L, в ней возникает ЭДС самоиндук-

Для нахождения силы тока в цепи разделим переменные в этом уравнении: LdI/dt = ε – I(R1 + R2), dt/L = dI/[ε – I(R1 + R2)]. Поскольку ε, R1, R2, L – постоянные вели- чины, то после интегрирования по t и I, получим выражение ln[ε – I(R1 + R2)] = – t/L + + ln C, где ln C – произвольная постоянная интегрирования. Потенцируя последнее вы- ражение, получим ε – I(R1 + R2) = C exp[– (R1 + R2)t/L]. Величину C найдем из начально- го условия: до размыкания ключа К (t = 0) ток в цепи был I(0) = I0 = ε/ R1, откуда

После преобразований получим, что в момент времени t ток в цепи равен

Рассчитаем теперь необходимую для ответа индуктивность длинной* катушки. Ко- гда в ней протекает ток I, то магнитная индукция в ней примерно одинакова во всех точках оси и по сечению: B = μ0IN/l, магнитный поток однородного поля через катушку потокосцепление) Ψ = BSN = μ0IN2S/l, отсюда индуктивность

Задачи

9.1. В однородном магнитном поле, линии индукции которого вертикальны, а B = 0,010 Тл, соскальзывает с наклонной плоскости металлическая палочка длиной l = 1,0 м. Найти разность потенциалов на концах палочки через время τ = 0,5 с после начала ее движения, если угол наклона плоскости к горизонту α = 30°.

9.2. В однородном магнитном поле B = 0,05 Тл в плоскости, перпендикулярной ли- ниям индукции, расположен стержень длины l = 0,5 м. Стержень вращается вокруг оси, проходящей через один из его концов и параллельной линиям индукции, с постоянной угловой скоростью ω = 6,4 рад/с.

1.Найти ЭДС индукции, возникающую в стержне.

2.Найти разности потенциалов между осью и серединой стержня, между середи- ной стержня и вторым его концом.

9.3.Медный диск радиусом r = 250 мм вращается вокруг оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр, делая n = 20 об/с. Найти разность потенциа- лов φ между краем и точкой на середине радиуса диска, возникшую при помещении диска в однородное магнитное поле, линии индукции которого направлены так же, как вектор ω, индукция B = 0,010 Тл.

9.4.В центре витка радиусом r = 10 см, по котором идет ток I = 10 А, расположен маленький* круговой контур радиуса r0 = 0,5 см. Контур этот вращается вокруг своего диаметра, лежащего в плоскости большого витка, делая n = 10 об/с. Найти максималь- ную ЭДС εmax, возникающую в контуре.

9.5.В однородном магнитном поле, индукция которого B = 0,020 Тл, находится плоская прямоугольная рамка, со сторонами a = 10 см, b = 20 см. Рамка вращается во- круг оси, перпендикулярной линиям индукции и совпадающей с одной из длинных сто- рон рамки, делая n = 50 об/с (рис. 9.4). Обмотка рамки состоит из N = 50 витков.

1. Найти максимальное значение ЭДС индукции, возникающей в рамке.