МЭИ(ТУ) Физика

Учитывая выражения (4), (5) и (6), из равенств (3), (2) найдем значения напряжен- ности поля и плотности энергии:

при r ≤ R

при r ≥ R

E = rQ2 ,

Как и следовало ожидать, в обоих случаях плотность энергии зависит только от рас- стояния r от центра пространственного заряда до рассматриваемой точки поля. Поэто- му элементарный объем dV следует выбирать в форме тонкого сферического слоя тол- щиной dr. Тогда

Чтобы найти полную энергию электрического поля во всем пространстве, интеграл в формуле (1) следует разбить на два интеграла в пределах: от 0 до R и от R до ∞:

W = òR ωe1 4πr2dr + ∞òωe2 4πr2dr ,

так как при r = R меняется аналитическое выражение плотности энергии. Подставляя сюда уравнения (7) и (7а) и производя интегрирование, получаем

Объемную плотность ρ пространственного заряда можно выразить по формуле

ρ= 4 Q 3 . 3πR

Подставляя это выражение в первое слагаемое формулы (9), будем иметь окончатель- ный ответ:

После разделения заряда на два равных конечная энергия системы будет

ГЛАВА IV. ПОСТОЯННЫЙ ТОК

§ 1. ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Цель занятия – научить студентов пользоваться обобщенным законом Ома, рассчи- тывать простейшие разветвленные цепи. Применяя обобщенный закон Ома:

iR = ϕ1 −ϕ2 + E ,

следует указать на принципиальное различие между напряжением, разностью потен- циалов и электродвижущей силой. Под разностью потенциалов понимают величину, численно равную удельной работе кулоновских сил и, следовательно, не зависящую от пути интегрирования, а однозначно определяемую начальной и конечной точками уча- стка цепи.

Электродвижущая сила – это скалярная характеристика стороннего поля, численно равная удельной работе сил стороннего поля. В стороннем электрическом поле работа по перенесению заряда зависит не только от начальной и конечной точек участка цепи, но и от пути интегрирования.

Удельную работу результирующего поля – кулоновского и стороннего называют напряжением. Согласно этому определению напряжение должно зависеть от пути ин- тегрирования; это значит, что в параллельных ветвях, содержащих источники тока, на- пряжения, каждое из которых равно произведению iR, различны.

Разность потенциалов на зажимах разомкнутого источника численно равняется его электродвижущей силе. Внутри такого источника всегда существуют и стороннее, и кулоновское поля, направленные обязательно навстречу друг другу.

Вольтметр (токовый), включенный в цепь, фактически показывает напряжение на самом себе, равное разности потенциалов между теми точками, к которым он подклю- чен.

Для расчета разветвленных цепей используются законы Кирхгофа1.

При решении задач с помощью законов Кирхгофа и обобщенного закона Ома же- лательно придерживаться следующего порядка:

1 Если изучение этого раздела курса проходят параллельно с изучением электро- техники, то можно пользоваться и другими методами, излагаемыми в курсе электро- техники.

1)обозначить токи на всех участках цепи; участки, не разделенные разветвлением (узлом), обтекаются равными токами;

2)выбрав направление обхода, составить уравнения на основании II закона Кирх- гофа и обобщенного закона Ома, соблюдая правило знаков: произведение iR берется со знаком плюс, если обозначенное направление тока совпадает с направлением обхода участка; электродвижущая сила E берется со знаком плюс, если направление обхода участка совпадает с направлением стороннего поля: от отрицательного полюса элемен- та к положительному;

3)составить уравнения на основании I закона Кирхгофа.

На занятии, посвященном этой теме, желательно сначала рассмотреть качествен- ные примеры задачи № 1, следя за тем, чтобы все они были соответствующим образом записаны студентами. Анализ этих примеров лучше проводить, не пользуясь никакими формулами.

Задача 1

На рис. 78 приведены участки цепи, содержащие источник. Найти соотношения между электродвижущей силой каждого из источников и разностью потенциалов меж- ду крайними точками соответствующего участка.

Анализ и решение. 1. На участке цепи 1-2 (рис. 78, а) ток равен нулю; стороннее поле источника скомпенсировано кулоновским полем, направленным навстречу, по- этому E = φ2 – φ1.

Напряжение на участке равно нулю.

2. Направление тока, указанное на схеме (рис. 78, б), свиде- тельствует о том, что кулоновское поле, направленное навстре- чу стороннему, оказалось сильнее, поэтому ток (движение по- ложительных зарядов) течет против стороннего поля (вектор напряженности стороннего поля внутри источника всегда на- правлен от отрицательного полюса к положительному).

Следовательно,

Такое соотношение может иметь место только в том случае, если в остальной части цепи существует хотя бы один источник, включенный навстре- чу данному и обладающий большей электродвижущей силой.

3.Если неизвестна остальная часть цепи, то по схеме (рис. 78, в) нельзя даже уста- новить, в какой точке (1 или 2) потенциал больше, т. е. нельзя предсказать направление кулоновского поля1. Если предположить, что в остальной части цепи нет источников, то потенциал будет больше во 2-й точке (во внешней цепи ток идет от большего потен- циала к меньшему), т. е. кулоновское поле по-прежнему будет направлено навстречу стороннему. Направление тока совпадает с направлением вектора напряженности сто- роннего поля; следовательно, это последнее сильнее кулоновского, и тогда

ϕ2 -ϕ1 < E .

4.Судя по направлению тока I2 (рис. 78, г), потенциал точки 2 больше, чем точки 1, причем стороннее поле второго источника слабее кулоновского.

Направление тока I2 говорит о том, что внутри первого источника кулоновское по- ле слабее стороннего, следовательно,

E 2 < ϕ2 -ϕ1 < E1 .

Напряжения на участках цепи различны, т. е.

I1r1 ¹ I2r2 .

Задача 2

К участку цепи, изображенному на рис. 79, подходит ток I = 1 А. Сопротивления r1 = r2 = 10 Ом; r3 = 3 ом. ЭДС источника E = 20 В; внутренним сопротивлением его

Рис. 79.

можно пренебречь. Найти силы токов в разветвлении и разность потенциалов между узлами A и B.

Анализ и решение. Для нахождения сил токов в параллельных участках цепи можно применить законы Кирхгофа. Предположим, что токи имеют направления, пока- занные на рис. 79. Применяя II закон Кирхгофа к контуру Ar1Er2Br3A и I закон к одному из узлов (например, B), получаем

1 Это положение надо особенно подчеркнуть, чтобы было ясно, что разность по- тенциалов между двумя любыми точками определяется параметрами всей цепи.

Подставляя сюда числовые значения величин и решая совместно уравнения (1), нахо-

дим

i1 = 1А , i2 = 0 .

Находя разность потенциалов, надо рассмотреть участки Ar3B или Ar1Er2B и запи- сать соответственно:

i2r3 = ϕA -ϕB = 0 ,

i1(r1 + r2 ) = ϕA -ϕB + E ,

откуда

ϕA -ϕB = i1(r1 + r2 )-E = 0 .

Результаты расчета кажутся на первый взгляд парадоксальными и их необходимо тща- тельно обсудить.

На сопротивлении r1 потенциал падает на величину, равную произведению i1r1 = 10 В. При переходе через источник за счет стороннего поля происходит скачок потенциала вверх на величину E = 20 В; на сопротивле- нии r2 потенциал вновь падает на величину i2r2 = 10 В. В итоге потенциалы точек A и B оказываются одинаковы- ми. Рассуждения эти станут более наглядными, если по- строить график зависимости потенциала от сопротивле-

ния для участка Ar1Er2B (рис. 80).

Нижняя ветвь цепи представляет собой проводник, соединяющий две точки, находящиеся при одинаковом потенциале; ток через этот про- водник идти не будет. Очевидно, что при замене сопротивления r3 любым другим в це- пи ничего не изменится.

Изменение сопротивлений верхнего участка изменит и значения токов в ветвях, и разность потенциалов между узлами. Если суммарное сопротивление верхней ветви будет больше 20 Ом, то суммарное падение потенциала на этих сопротивлениях воз- растет и окажется больше, чем скачок потенциала, даваемый источником. Потенциал точки B станет меньше, чем потенциал точки A. Через сопротивление r3 пойдет ток в направлении, указанном на схеме.

Если сделать сопротивление r1 + r2 < 20 Ом, то потенциал точки B будет меньше, чем потенциал точки A; через сопротивление r3 пойдет ток обратного направления (при решении величина i2 получится отрицательной).

Задача 3

Два элемента с электродвижущими силами E1 = 1,8 В и E2 = 1,4 В соединены по- следовательно и замкнуты на некоторое внешнее сопротивление R. Вольтметр с боль-

Анализ. Показания вольтметра, как известно, равны разности потенциалов между точками присоединения вольтметра. Оговорка, сделанная в условии задачи, показыва- ет, что в первом случае (рис. 81, а) потенциал точки 2 больше, чем точки 1. Разность потенциалов φ2 – φ1 будет меньше, чем E2, на величину, равную произведению i1r2 (здесь i1 – сила тока, r2 – внутреннее сопротивление второго элемента). При переклю- чении полюсов второго элемента направление тока в цепи не изменится, так как E1 > E2, но теперь ток через второй элемент будет идти от "+" к "–". Это значит, что в схеме (рис. 81, б) потенциал точки 1 будет больше, чем точки 2, и кулоновское поле бу- дет сильнее стороннего, т. е. разность потенциалов φ1 – φ2 будет больше, чем E2. Сле- довательно, при переключении полюсов второго элемента придется переключить и вольтметр, и показания V2 будут больше величины E2. Разность между показаниями вольтметра и электродвижущей силы элемента будет равна произведению i2r2 (здесь i2

– сила тока во второй схеме). Так как в этом случае элементы включены навстречу друг другу, i2 < i1 и разность между показаниями вольтметра и электродвижущей силой эле- мента будет меньше, чем в первом случае.

Согласно сказанному выше в первом случае

ϕ1 -ϕ2 = -V1 ,

Произведя соответствующую подстановку и беря отношение уравнений (1), получаем

Здесь åR – суммарное сопротивление всей цепи, одинаковое в обеих схемах. Разде-

лив уравнения (4) одно на другое, найдем

Подставив равенство (5) в соотношение (3) и произведя расчет, найдем

V2 = 1,5 В .

Задача 4

Два элемента с электродвижущими силами E1 = 3,0 В, E2 = 2,0 В и с внутренними сопротивлениями r = 0,5 Ом каждый соединены параллельно и замкнуты на некоторое внешнее сопротивление R. Найти внешнее сопротивление и силу тока во всех участках цепи, если показания вольтметра V, подключенного к узлам, равны: 1) 1,8 В; 2) 2,0 В; 3) 2,2 В.

Анализ. Независимо от значения внешнего сопротивления ток по нему может идти только от точки B к точке A; следовательно, φB > φA (рис. 82) и показания вольтметра

E2. При условии, что внутреннее сопротивление элемента не равно нулю, это равенство может иметь место только, если i2 = 0. В последнем случае φB – φA > E2, т. е. кулонов-

ское поле сильнее стороннего, и ток через второй элемент будет идти от "плюса" к "минусу" (i2 < 0).

Решение. Применим обобщенный закон Ома к каждому из участков цепи, учиты- вая, что сила тока через внешнее сопротивление равна алгебраической сумме сил токов в первом и втором элементах, т. е.

I = i1 + i2 .

На участке AE1B:

i1r = ϕA −ϕB + E1 ,

откуда

i1 = E1 r−V .

Согласно условию для трех значений V получим: 1) i1 = 2,4 А; 2) 2,0 А; 3) 1,6 А. Аналогично для участка AE2B находим

i2r = ϕA −ϕB + E 2 ,

откуда

i2 = E 2 r−V ;

соответственно для трех случаев получим

i2 = 4 А; 0; − 0,4 А .

Сила тока через сопротивление R равна

I = i1 + i2 ; I = 2,8 А; 2 А;1 А,2.

Внешнее сопротивление можно вычислить, используя закон Ома для участка BRA:

R = Vl ; R = 0,64 Ом;1,0 Ом;1,8 Ом .

Задавая значения внешнего сопротивления и применяя законы Кирхгофа, можно сначала найти силы токов, а затем разность потенциалов между узлами. В этом случае весь качественный анализ должен быть проведен после решения задачи.

Задача 5

Три гальванических элемента с электродвижущими силами E1 = 2,5 В, E2 = 2,2 В и E3 = 3,0 В и с внутренними сопротивлениями по 0,2 Ом каждый включены, как показа- но на схеме рис. 83. Внешнее сопротивление R = 4,7 Ом. Найти силы токов во всех уча- стках цепи, разность потенциалов между узлами, количество джоулевой теплоты, вы- деляющееся во всей цепи, и работу каждого элемента за время τ = 1 с.

Решение. Выберем направление токов так, как показано на рис. 83. Применяя II за- кон Кирхгофа к контурам AE3RBE1A и AE3RBE2A и I закон к одному из узлов, получаем следующую систему уравнений1:

Совместное решение этих уравнений дает результат:

Знак минус перед током i1 означает, что выбранное направле- ние его ошибочно, в действительности ток i1 течет от A к B.

Разность потенциалов между узлами можно найти, применяя обобщенный закон Ома к любому участку.

На участке BE1A:

i1r = ϕB -ϕA -E1 , ϕB -ϕA = E1 + i1r = 2,36 В.

На участке BRE3A:

- I(R + r)= ϕB -ϕA -E3 , ϕB -ϕA = E3 - I(R + r)= 2,36 В.

До вычисления разности потенциалов между узлами только из направлений токов можно предсказать, что искомая разность потенциалов должна быть больше, чем E2 (ток i2 идет от положительного полюса элемента к отрицательному, следовательно, стороннее поле внутри второго элемента слабее кулоновского), и меньше, чем E1 (ток i1 идет от "–" к "+" элемента, следовательно, стороннее поле внутри первого элемента сильнее кулоновского).

Количество джоулевой теплоты, выделяющееся за 1 с во всей цепи,

Q = I 2 (R + r)+ i12r + i22r = 0,31Дж .

Работа, совершаемая первым и третьим элементами, положительна и соответствен- но равна:

A1 = -i1E1 =1,70 Дж ; A3 = -i2E 2 = 0,39 Дж .

Работа, совершаемая вторым элементом, отрицательна и равна

A2 = -i2E 2 = -1,78 Дж .

1 При использовании II закона Кирхгофа следует рассматривать контуры, содер- жащие хотя бы один участок цепи, не входящий в другие контуры, поэтому контур AE1BE2A в решении задачи не рассматривается.