МЭИ(ТУ) Физика

дут действовать на них, если первый стерженек расположен параллельно нити, второй

– перпендикулярно, третий – под углом α к нити? Стержни считать заряженными рав- номерно, их взаимодействием пренебречь. Кратчайшие расстояния от каждого стержня до нити одинаковы. 2. Рассчитать силу, действующую на третий стержень, если его за- ряд q = 5 СГСЭq, длина l0 = 8 см, расстояние от нити до ближайшей точки стерженька x0 = 4 см, угол α = 30°, линейная плотность заряда нити т = 60 СГСЭq/см.

Анализ. 1. Поле нити – плоскорадиальное, напряженность падает обратно пропор- ционально расстоянию до нити. Во всех точках первого стержня величина напряженно- сти одинакова, следовательно, на все элементы первого стержня будут действовать одинаковые силы. На протяжении второго и третьего стержней напряженность поля нити непрерывно меня- ется, причем максимальная напряженность равна той напряжен- ности, которая существует во всех точках первого стержня. Зна- чит, на все элементы второго и третьего стержней, за исключе- нием элемента, расположенного у ближайшего к нити конца, бу- дут действовать силы, меньшие, чем на соответствующие эле- менты первого стержня, и результирующая сила соответственно

2. Для расчета силы, действующей на третий стерженек, рассмотрим его элемент dl (рис. 58), находящийся на расстоянии x от нити и на расстоянии l от нижнего конца

мого элемента. (Здесь необходимо напомнить студентам, что элемент dl настолько мал, что в его пределах поле можно считать постоянным, но, с другой стороны, он должен быть заведомо величиной макроскопической, т. е. большой по сравнению с размерами атомов.)

Решение. Подставляя в формулу (1) выражение для поля нити и для элементарного заряда dq, получаем

При переходе от одного элемента к другому направление элементарных сил меняться не будет, следовательно, результирующая сила может быть найдена непосредственным интегрированием выражения dF по всему стержню. Предварительно следует найти связь между переменными x и l. Как видно из рис. 58,

x = x0 + l sinα , dx = dl sinα ,

отсюда

dl = sindxα .

Подставляя это выражение в формулу (2) и проводя интегрирование в пределах от x0 до x0 + l0 sin α, получаем

До подстановки числовых данных проведем анализ размерностей полученной фор- мулы.

В СИ к основным величинам относятся длина L, масса M, время T, сила тока I. Размерность левой части формулы (3):

dim F = MLT −2 ,

размерность величин, входящих в правую часть формулы:

Можно также провести проверку формулы, пользуясь размерностями единиц изме-

Подставим в формулу (3) числовые данные после перевода их в СИ и вычислим силу:

F = 1,05 ×10−3 Н .

Можно показать, что полученная формула силы годится и для первых двух стер- женьков:

для второго стержня

Задача 10

Заряд Q равномерно распределен по кольцу радиуса R. Найти потенциал относи- тельно бесконечности и напряженность на оси кольца как функции расстояния h от центра кольца. Построить графики зависимостей E и φ от расстояния h.

Анализ. Методом суперпозиции можно найти независимо друг от друга и напря- женность поля, и потенциал. Однако проще этим методом найти потенциал, так как он является скалярной величиной, а напряженность поля вычислить, используя дифферен-

где dφ есть потенциал поля, созданного отдельным элементарным зарядом dQ. Заряд элемента dl кольца равен

Здесь r – расстояние от элемента dl до указанной точки (рис. 60).

Для того чтобы вычислить напряженность поля, введем оси x, y и z и найдем Ex, Ey и Ex – проекции вектора напряженности на эти оси.

Из рис. 60 видим, что z = h, следовательно,

вектор E направлен по оси z и равен найденному значению Ez.

Анализ выражений (4) и (5) показывает, что в центре кольца (h = 0) потенциал име- ет максимальное значение, а напряженность поля обращается в нуль.

Интересно отметить, что график E(h) (см. рис. 61) располагается в 1-й и 3-й четвер- тях, т. е. при h < 0, E < 0. Это значит, что при переходе через центр кольца (h = 0) век- тор E меняет свое направление на противоположное.

График φ(h) располагается в 1-й и 2-й четвертях, т. е. по обе стороны от кольца в точках, лежащих на его оси, потенциал положителен.

На примере этой задачи студентам можно показать, что при изменении начала от- счета потенциала разность потенциалов между двумя любыми точками не меняется, не меняется и весь характер зависимости потенциала от расстояния. Так, если выбрать на- чало отсчета потенциала в центре кольца, т. е. если предположить, что

ϕ(h = 0)= 0 ,

то потенциал любой точки, лежащей на оси кольца, равен

тельному и при перемещении слева направо потенциал будет возрастать от – ∞ до + ∞ (рис. 63).

Необходимо особенно подчеркнуть, что в действительности потенциал не будет обращаться в бесконечность, а будет иметь определенные конечные значения, завися- щие от формы и размеров зарядов диполя.

Решение. Потенциалы точек A и B относительно бесконечности могут быть рас- считаны как алгебраическая сумма потенциалов полей, созданных положительным и отрицательным зарядами диполя. В этом случае

Здесь q – абсолютное значение заряда диполя; l – плечо диполя; r – расстояние от сере- дины диполя до рассматриваемых точек.

Приводя к общему знаменателю каждое из выражений (1) и заменяя произведение

Необходимо отметить, что пренебрежение членами 2lr , по сравнению с единицей дает φA = φB = 0. Чтобы это было понятно, проведем подобные рассуждения совершен-

но строго, не прибегая к ним в дальнейшем. Введя обозначение 2lr = x , разложим

функцию f (x)= 1+1 x в ряд Маклорена:

f (x)= f (0)+ 1x! f '(0)+ x22! f ''(0)+K

ближение и в таком приближении диполь не создает поля.

Отбрасывание всех членов, начиная от x2 = l22 есть первое приближение, которое

2r

обычно используется при расчете поля диполя.

Формулы (2) можно получить, применяя к данному частному случаю общую фор- мулу потенциала поля диполя, если она известна, т. е.

где α – угол между векторами r и pe.

Потенциалы точек A и B могут быть также рассчитаны с помощью интегральной формулы, связывающей потенциал данной точки с результирующей напряженностью поля1:

При нахождении потенциала точки A интегрирование следует проводить вдоль оси диполя от точки A влево; для точки B – вдоль оси диполя от точки B вправо.

Учитывая, что вдоль оси диполя вектор E коллинеарен с вектором pe, т. е. везде на- правлен слева направо, получаем:

1 Если выражение для поля диполя неизвестно студентам, то предварительно сле- дует вывести формулу напряженности поля на оси диполя.