МЭИ(ТУ) Физика
.pdf
ком i. Первый проводник прямой, второй согнут в форме полукольца. Найти силы, дей- ствующие на каждый проводник со стороны магнитного поля. Поле направлено пер- пендикулярно плоскости рис. 92 («от нас»).
Анализ и решение. По формуле Ампера сила, действующая на элемент dl провод-
ника, |
|
|
dF = i[dlB]. |
|
|
В данном случае угол (dl, B) для обоих проводников во всех точках равен |
π |
. Поэтому |
|
2 |
|
формула Ампера может быть записана в виде |
|
|
dF = IdlB . |
|
(1) |
1. Силы, действующие на каждый элемент первого проводника, параллельны меж- ду собой и направлены так, как показано на рис. 92, а. Параллельность всех элементар-
ных сил позволяет написать выражение для результирующей силы с учетом равенства
(1)
F1 = òdF = òidlB .
l l
Интеграл следует брать по всему проводнику l. Вынося за знак интеграла постоянные сомножители B и i, получаем
F1 = iBòdl = iBl . |
(2) |
l |
|
2. Для второго проводника все элементарные силы направлены в разные стороны, и следует отдельно искать проекцию результирующей силы на оси x и y, выбранные, как показано на рис. 92, б:
Fx = òdFx ,ü |
|
|
l |
ï |
(3) |
ý |
||
Fy = òdFy .ï |
|
|
l |
þ |
|
Здесь dFx и dFy – проекции элементарных сил соответственно на оси x и y. Интегриро- вание проводится по всему проводнику l.
Из рис. 92, б видно, что |
|
|
dFx = dF s α,ü |
in |
(4) |
ý |
|
|
dFy = dF cosα.þ |
|
|
При переходе от одного элемента полукольца к другому угол α меняется, причем его предельные значения равны π2 .
Для того чтобы провести интегрирование выражений (3), элемент дуги dl надо вы- разить через приращение угла α:
dl = r0dα .
Подставляя выражения (1) и (4) в формулы (3) и производя интегрирование в указан- ных пределах, получаем
π
x = i 0 ò2 sinαdα =F0 , Br
−π2
π
Fy = iBr0 ò2 cosαdα = 2iBr0 .
−π2
Выражая радиус полукольца через его длину и учитывая, что Fx = 0, находим
F|| = 2iB πl .
Тот факт, что результирующая сила будет направлена вдоль оси y и что она ока- жется меньше, чем для прямого проводника, можно было предсказать из качественного анализа.
Выражения для F1 и F2 справедливы в любой системе единиц.
Задача 8
В одной плоскости с бесконечно длинным прямым током I =5 А расположена пря- моугольная рамка, обтекаемая током i = 1 А. Найти силы, действующие на каждую сто- рону рамки со стороны поля, создаваемого прямым током, если
длинная сторона b = 20 см параллельна прямому току и находится от него на рас- стоянии x0 = 5 см; меньшая сторона a = 10 см (рис. 93).
Анализ и решение (СГСМ). Индукция поля бесконечно
длинного прямого тока
B = |
2I |
, |
Рис. 93. |
x |
|
где x – расстояние от прямого тока до точки, в которой рассматри- вается поле. Вектор B этого поля во всех точках рамки направлен перпендикулярно
плоскости рисунка «от нас», поэтому во всех точках рамки угол (dl,B)= π2 . Длинные
стороны рамки расположены параллельно току, поэтому в любой точке сторон 1 и 3 индукция магнитного поля, создаваемого током I, постоянна и направлена перпендику- лярно плоскости рис. 93 («от нас»).
Так как рамка прямоугольная, то стороны 1 и 3 – прямые проводники, и выражение силы Ампера можно записать для всего проводника:
F = B ib,ü |
(2) |
||
1 |
1 |
ý |
|
F3 |
= B3ib.þ |
|
|
Здесь B1 и B2 – значения индукции магнитного поля прямого тока на расстояниях x, равных x0 и x0 + a.
Подставляя выражение (1) в формулы (2) и учитывая указанные значения расстоя-
ния x, получаем |
|
|
|
|
|
F = 2I |
ib = 0,40 дин ; F = |
2I |
ib = 0,13 дин . |
||
|
|||||
1 |
x0 |
3 |
x0 |
+ a |
|
|
|
|
|||
Направления сил F1 и F3, определяемые по правилу левой руки, показаны на рисунке. Вдоль второй стороны рамки индукция поля тока I непрерывно меняется. Рассмотрим некоторый элемент dx стороны 2, находящийся на расстоянии х от
прямого тока (см. рис. 93). Сила dF, действующая на этот элемент, направлена вверх и
равна
dF = Bidx . |
(3) |
Здесь B – текущее значение индукции, находимое по формуле (1).
При переходе от одного элемента стороны 2 к другому направление элементарных сил остается неизменным, поэтому
F2 = òdF .
|
по a |
|
|
|
Подставим сюда выражения (3) и (1): |
|
|
|
|
|
|
x0 +a dx |
|
|
F = 2Ii |
ò |
x |
. |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
Получаем окончательный ответ:
F2 = 2Iiln x0 + a = 0,11дин . x0
Очевидно, что сила F4, действующая на сторону 4, равна вычисленному значению F2 и направлена в противоположную сторону.
Задача 9
В однородном магнитном поле в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, расположена круглая плоская рамка, состоящая из N = 10 витков площадью S = 100 см2 каждый. В обмотке рамки идет ток i = 3 А. Каково должно быть направление тока в рамке, чтобы при повороте ее на 180° вокруг одного из диаметров поле совершило по- ложительную работу? Какова величина этой работы? Индукция поля B = 1,8 · 10-5 Тл.
Анализ. Так как в начальный момент плоскость рамки перпендикулярна линиям индукции, то независимо от направления тока, обтекающего рамку, вращающий мо- мент M = [pmB], на нее действующий, будет равен нулю (здесь pm – вектор магнитного момента рамки, направленный перпендикулярно к ее плоскости; в зависимости от на- правления тока угол (pm, B) будет равен либо 0, либо π).
Работа сил магнитного поля будет положительна, если в конечном положении рам- ка будет находиться в положении устойчивого равновесия, в начальном – в положении неустойчивого равновесия. При неустойчивом равновесии вектор pm должен быть ан- тиколлинеарен вектору B. Это условие и определяет направление тока в рамке. При по- вороте на 180° вектор pm будет совпадать по направлению с вектором B.
Вопрос об устойчивости равновесия лучше всего пояснить с помощью рис. 94.
Рис. 94.
На рис. 94, а рассматриваемая рамка находится в начальном положении: плоскость ее перпендикулярна линиям индукции, вектор pm направлен навстречу полю. При не- большом отклонении от этого положения (изображено пунктиром) возникающая пара сил стремится увести рамку от ее начального положения. На рис. 94, б рамка занимает конечное положение: вектор pm направлен по полю. При небольшом отклонении от этого положения (изображено пунктиром) возникающая пара сил возвращает рамку в исходное положение. Необходимо указать студентам, что в положении устойчивого
равновесия силы, действующие на рамку, растягивают ее, в положении неустойчивого равновесия – сжимают.
Анализ устойчивого и неустойчивого равновесия рамки можно выделить как само- стоятельную качественную задачу.
Решение. Работа, совершаемая магнитным полем, может быть рассчитана по фор-
муле
A = (F2 - F1 )i .
Здесь Φ1, Φ2 – потоки сцепления через рамку в начальном и конечном положениях. Очевидно, что поток Φ2 положителен, поток Φ1 равен по модулю Φ1, но отрицателен.
Поэтому
A = 2iF2 .
Однородность магнитного поля позволяет сразу найти величину потока:
F2 = BSN ,
поэтому
A = 2iBSN =1,08 ×10−5 Дж .
При решении этой задачи надо обязательно указать, что приведенная формула ра- боты справедлива только в случае постоянства тока i. Однако вращение рамки в маг- нитном поле вызовет появление в ней электродвижущей силы индукции. (Если этот ма- териал еще не прочитан на лекциях, он в достаточной мере известен из школьного кур- са.) Чтобы изменение силы тока можно было не учитывать, возникающая ЭДС индук- ции должна быть пренебрежимо мала. Это может быть достигнуто при бесконечно медленном движении рамки. А для этого на рамку помимо сил поля должны действо- вать внешние силы, практически равные силам поля, но направленные в противопо- ложную сторону. В этом случае силы поля будут совершать работу против внешних сил, и рамка не будет приобретать кинетической энергии – движение ее будет происхо- дить бесконечно медленно.
Задача 10
Используя условия задачи № 8, найти работу, которую надо совершить, чтобы: 1) перенести рамку параллельно самой себе вправо на расстояние a; 2) повернуть рамку на 180° вокруг стороны 3. Токи в рамке и в прямом проводнике считать постоянными.
Анализ. Прежде чем решать задачу, следует обратить внимание студентов на по- следнюю оговорку. Постоянство токов предполагает обязательно крайне медленное
