МЭИ(ТУ) Физика

напряженности поля применить теорему Остроградского-Гаусса.

Вспомогательные гауссовы поверхности удобно выбрать в виде цилиндрических поверхностей, коаксиальных с рассматриваемым заряженным цилиндром (рис. 1.13). Высота этих поверхностей, естественно, много меньше высоты рассматриваемого ци- линдрического электронного облака. Поскольку по условию задачи требуется опреде- лить напряженность поля в двух точках – внутри электронного облака и вне его, на рис. 1.13 проведены (пунктиром) две поверхности: S1 радиуса r1 и S2 радиуса r2. На рис. 1.13 показано расположение силовых линий (только вне облака) в сечении, нормальном к оси электронного облака.

Сумма зарядов, охваченных поверхностью S1:

Следует отметить, что величина суммарного заряда, охваченного поверхностью S1, проведенной внутри электронного облака, зависит от радиуса этой поверхности.

Поток вектора напряженности через вспомогательные поверхности S1 и S2 следует разбить на три потока: через две торцевые поверхности и через боковую поверхность. Как видно из рис. 1.13, потоки через торцевые поверхности равны нулю. Следователь- но, как для поверхности S1 так и для поверхности S2,

где Sб – боковая поверхность гауссова цилиндра S1 или S2. Во всех точках этих боковых поверхностей векторы E и dS образуют углы, равные π, следовательно,

Последнее равенство справедливо потому, что вследствие симметрии Er = const во всех точках боковой поверхности, a Sб = 2πrh (r – радиус гауссовой поверхности, h – ее высота).

Таким образом, для поверхности S1:

для поверхности S2:

Подставляя (30) в (31) и, соответственно, (32) и (33) в формулу теоремы Остро-

(объемная плотность заряда ρ берется по абсолютной величине, так как в формулах (32) и (33) учитывается направление Е).

Отсюда в точке на расстоянии r1

Er = - ρ r1 = -3,5 ×102 В м ; 2ε0

в точке на расстоянии r2

Er = - ρ R 2 = -4,8 ×102 В м . 2ε0r2

(Отрицательное значение E является следствием того, что φρ < 0).

Очевидно, что первое выражение справедливо для всех точек, находящихся внутри

Соответственно, второе выражение справедливо для всех точек вне электронного

Если ввести линейную плотность заряда (отношение суммарного заряда облака к его длине) τ = Ql = ρπR 2 , выражение примет вид

E = - 2πετ 0r .

Выражения (34) и (35), представляющие собой функциональные зависимости Er(r), позволяют найти разность потенциалов между данными точками по формуле:

ϕ1 -ϕ2 = ò2 Edr = ò2 Er dr cos(Edr),

1 1

При выборе начала отсчета потенциала на оси облака (r = 0) аналитические выражения функции φ(r) изменяются, однако характер зависимо- сти останется прежним. Поэтому график для этого случая может быть получен путем переноса оси абсцисс, как это показано на рис. 1.14 (ось r').

Построенный график φ(r) согласуется с графиком Er(r). При любых значениях r E r = − ∂∂ϕr и потенциал φ является монотонно возрастающей функцией. Точка r = R, в

которой изменяется характер зависимости Er(r), является точкой перегиба на графике φ(r). При r < R (внутри облака) |Er| = E возрастает, на этом участке кривая φ(r) с ростом r идет все более круто. Вне облака |Er| = E убывает, на этом участке кривая φ(r) с рос- том r идет все более полого. Таким образом, график φ(r) можно было построить на ос- новании построенного ранее графика Er(r), не находя аналитических выражений для

φ(r).

Задача 1.9. Тонкий стержень длины l = 8 см равномерно заряжен зарядом Q = = 5 · 10-9 Кл.

Найти напряженность и потенциал в точке, находящейся на продолжении стержня на расстоянии a = 12 см от его середины.

Р е ш е н и е . Рассматривается поле, созданное зарядом, равномерно распределен- ным по телу заданного размера и конфигураций. Последние таковы, что поле не обла- дает симметрией для применения теоремы Гаусса (429), следовательно, напряженность поля, так же как и потенциал, рассчитываются методом суперпозиции.

При использовании принципа суперпозиции целесообразно сначала рассчитывать потенциал.

Стержень (рис. 1.16) разбиваем на элемен- тарные отрезки dx с зарядом dQ. Потенциал поля, созданный некоторым элементом dx с за- рядом dQ в точке C, равен

dϕ = dQ , 4πε0r

где r – расстояние от данного элемента до точки C.

Согласно принципу суперпозиции результирующий потенциал точки C может быть

рассчитан по формуле ϕ = òdϕ . Для расчета следует выбрать систему координат. По-

(Q )

скольку все элементарные заряды dQ и точка C лежат на одной прямой, достаточно од- ной оси x, показанной на рис. 1.16, с началом отсчета O, например, в середине стержня. Положение элемента dQ определяется теперь его абсциссой x и, как видно из рисунка,

r = a – x.

Нетрудно видеть, что это выражение справедливо и для элементов, лежащих в от- рицательной области. Потенциал в точке C равен

Так как под интегралом две переменные dQ и x, то заряд следует выразить через переменную x:

dQ = Ql dx .

Поскольку заряд распределен по стержню равномерно, отношение Ql = τ есть ли-

нейная плотность заряда.

При интегрировании по всему стержню переменная x изменяется от − 2l до + 2l .

Следовательно,

Подстановка числовых значений дает:

φC = 310 В.

В выражении (39) a – расстояние от начала координат до рассматриваемой точки, т. е. координата этой точки. Очевидно, это выражение справедливо для любых значе- ний a < l/2 (под знаком логарифма не может стоять отрицательное число). Следова- тельно, выражение для потенциала любой точки, лежащей на оси x на продолжении стержня, может быть записано так:

Это выражение позволяет найти напряженность поля, используя дифференциаль- ную связь между напряженностью и потенциалом (26):

Для точки x = a = 12 см

Ex = 2,8 · 103 В/м.

В точке C (рис. 1.6) вектор E направлен по оси x. Следовательно, искомая величина

E = Ex.

II. РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В СРЕДЕ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТЕОРЕМЫ ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА

В проводниках при внесении их в электрическое поле происходит перераспределе- ние зарядов, приводящее к тому, что внутри проводника поле отсутствует (E = 0), а по- тенциалы всех точек проводника равны.

На границе диэлектриков, находящихся в электрическом поле, возникают связан- ные заряды, поле которых ослабляет поле свободных зарядов. Это приводит к тому, что напряженность результирующего поля в диэлектрике E = Eсвоб + Eсвяз меньше, чем на- пряженность электрического поля, образованного теми же свободными зарядами в ва- кууме.

Поток вектора напряженности через произвольную поверхность

где вектор dS направлен по нормали к элементарной площадке dS.

Если конфигурация зарядов, создающих электрическое поле, обладает симметрией, то и созданное ими поле оказывается достаточно симметричным. Для нахождения на- пряженности поля может быть использована обобщенная теорема Остроградского- Гаусса:

где D – вектор электрического смещения, åQi – алгебраическая сумма свободных за-

рядов, охваченных поверхностью интегрирования. Интеграл в левой части (41) означа- ет поток вектора смещения через замкнутую поверхность S: вектор dS направлен по внешней нормали к площадке dS.

По найденным с помощью теоремы (41) выражениям для вектора D можно найти

напряженность поля из формулы

где ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды. Следующие виды сим- метрии позволяют рассчитывать напряженность поля с помощью теоремы Остроград- ского-Гаусса:

1)Заряженное тело имеет форму шара или сферического слоя (предельный част- ный случай – точечный заряд). Заряды либо распределены равномерно по поверхности, либо распределены по объему так, что объемная плотность заряда ρ постоянна или яв- ляется функцией только расстояния от центра сферы (центра симметрии). К такому же виду симметрии относится и система концентрических сферических заряженных слоев.

Вэтом случае силовые линии поля радиальны. Поверхности интегрирования (гауссовы поверхности) следует брать в виде сфер, концентричных с заряженными телами.

2)Заряженное тело имеет форму цилиндра или цилиндрического слоя (предельный случай – заряженная нить), причем длина цилиндра много больше его радиуса. Заряды либо распределены равномерно по поверхности, либо распределены по объему так, что

объемная плотность заряда ρ постоянна или является функцией только расстояния от оси цилиндра (оси симметрии). К такому же виду симметрии относится и система коак- сиальных (соосных) заряженных цилиндрических слоев. В этом случае в точках, нахо- дящихся вблизи заряженного тела, но достаточно удаленных от его торцов, силовые линии радиальны. Гауссовы поверхности следует брать в виде цилиндрических по- верхностей, коаксиальных с заряженными телами. Высота гауссова цилиндра обяза- тельно должна быть много меньше длины заряженных тел, так как вблизи торцов поле неоднородно;

3)заряженное тело имеет форму плоского слоя (предельный случай – очень тонкая пластина), причем толщина слоя много меньше линейных размеров, ограничивающих его плоскости. Заряды либо распределены равномерно по поверхности, либо распреде- лены по объему так, что объемная плотность заряда ρ постоянна или является функци- ей только расстояния от середины слоя (плоскость симметрии). В этом случае в точках,

находящихся вблизи заряженного слоя и достаточно далеко от торцов слоя силовые линии – параллельные прямые – перпендикулярны слою. Гауссовы поверхности следу- ет брать в виде цилиндрических поверхностей, оси которых перпендикулярны заря- женному слою, а основания находятся на одинаковых расстояниях от плоскости сим- метрии, причем радиус этих оснований должен быть много меньше линейных размеров слоя.

Приведенными тремя видами симметрии практически ограничивается область применения теоремы Остроградского-Гаусса для расчета напряженности электростати- ческого поля. В некоторых случаях (например, система параллельных плоских заря- женных слоев) можно рассчитать напряженность поля, комбинируя теорему Гаусса