Глава 2. Предел последовательности
§ 2.1. Определение предела последовательности
Напомним определение последовательности элементов произвольного множества A, данное в § 1.7. Если каждому натуральному числу n поставлен в соответствие некоторый элемент xn из множества A, то говорят, что элементы
x1; x2; x3; : : :
образуют последовательность fxng.
В этой главе рассматриваются в основном числовые последовательности. Для краткости будем называть их просто последовательностями.
Определение. Число a называют пределом последовательности fxng, если для каждого положительного числа " существует число N = N(") такое, что при всех n > N выполняется неравенство
jxn aj < ": |
(2.1.1) |
В этом случае пишут
a = lim xn = lim xn = lim xn
n!1 n
или
xn ! a; n ! 1:
Для a = 0 это определение было дано в § 1.7, когда говорилось о последовательностях, сходящихся к нулю.
Неравенство (2.1.1) равносильно двойному неравенству " < xn a < ", а значит, и двойному неравенству a " < xn < a + ", которое показывает, что
xn 2 (a "; a + "):
Определение. Интервал (a "; a + "), где " > 0, называют
"-окрестностью точки a.
50
§ 2.1. Определение предела последовательности |
51 |
С помощью "-окрестностей, определение предела можно сформулировать так: число a называется пределом последовательности, если для каждого положительного числа " все члены последовательности, начиная с некоторого, принадлежат "-окрестности точки a.
Определение. Если последовательность имеет предел, её называют сходящейся. Последовательности, не имеющие предела, называют расходящимися.
Если a является пределом последовательности fxng, то говорят, что последовательность сходится к a. О членах последовательности (числах xn) говорят, что они сходятся или стремятся к a.
Согласно определению условие (2.1.1) должно выполняться для достаточно больших n. Таким образом, сходимость или расходимость последовательности и значение предела, если последовательность сходится, не зависят от её начальных членов.
Теорема 2.1.1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство. Предположим противное – пусть числа a и b являются пределами последовательности fxng и a 6= b, для определённости a < b. Возьмём " := (b a)=2. Это число положительное.
Пользуясь сходимостью последовательности к a, находим число N1 такое, что для всех n > N1
a " < xn < a + ": |
(2.1.2) |
Точно также в силу сходимости последовательности к b существует число N2 такое, что для всех n > N2
b " < xn < b + ": |
(2.1.3) |
При n > N := max(N1; N2) выполняются оба неравенства – и (2.1.2), и (2.1.3). Но
a + " = a + |
b a |
= |
a + b |
; |
b |
|
" = b |
|
b a |
|
= |
a + b |
; |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
поэтому из правого |
неравенства |
(2.1.2) и |
левого |
неравенства |
||||||||||
(2.1.3) следует, что для n > N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
xn < a + " = |
a + b |
= b " < xn; |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
||||||||||
52 |
Гл. 2. Предел последовательности |
и мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
Приведенное доказательство иллюстрирует рисунок:
Мы брали непересекающиеся "-окрестности точек a и b и получили противоречие за счёт того, что все члены последовательности с достаточно большими номерами должны принадлежать каждой из этих окрестностей.
Вдоказательстве теоремы использовались неравенства (2.1.2)
и(2.1.3), из которых первое имело место при n > N1, второе при n > N2. Чтобы выполнялись оба эти неравенства, мы брали n > N = max(N1; N2). Такой приём будет часто использоваться в дальнейшем без пояснений.
§2.2. Свойства пределов, связанные
снеравенствами
Теорема 2.2.1. Если последовательность сходится, то она ограничена.
Доказательство. Пусть последовательность fxng сходится к числу a. Взяв " = 1, находим N такое, что jxn aj < 1 для всех n > N. Тогда при этих n
jxnj = jxn a + aj 6 jxn aj + jaj < 1 + jaj:
Поэтому, положив L := max(jx1j; jx2j; : : : ; jxN j; 1 + jaj), получим jxnj 6 L при всех n, т. е. последовательность fxng ограничена.
Теорема 2.2.2. Если limn xn = a 6= 0, то существует N такое, что при всех n > N
1 jxnj > 2 jaj:
При этом, если a > 0, то xn > a=2, а если a < 0, то xn < a=2.
§ 2.2. Свойства пределов, связанные с неравенствами |
53 |
Доказательство. Найдём для " := jaj=2 такое N, что при
всех n > N
1 jxn aj < 2 jaj:
Тогда
|
1 |
jaj < xn < a + |
1 |
(2.2.1) |
|
a |
|
|
jaj: |
||
2 |
2 |
||||
Если a > 0, то jaj = a и пользуемся левым неравенством (2.2.1). А если a < 0, то jaj = a и пользуемся правым неравенством (2.2.1).
Теорема доказана.
В частности, все члены сходящейся последовательности с достаточно большими номерами положительны, если её предел положителен, и отрицательны, если предел отрицателен.
Теорема 2.2.3. Если последовательности fxng и fyng сходятся и xn 6 yn при всех n, то
lim xn 6 lim yn:
n!1 n!1
Доказательство. Пусть a := lim xn и b := lim yn. Нужно доказать, что a 6 b.
Предположим, что это неравенство неверно и a > b. Возьмём " := (a b)=2. Так как " > 0, то существует N такое, что при всех
n > N |
|
|
|
|
|
|
a b |
|
|
a + b |
|
||
x |
|
> a |
|
" = a |
|
|
= |
|
|
||||
n |
2 |
|
|
||||||||||
и одновременно |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn |
< b + " = b + |
a b |
|
= |
a + b |
: |
|||||||
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
Таким образом,
yn < a + b < xn;
2
что противоречит условию. Теорема доказана.
В этой теореме неравенство xn 6 yn можно требовать не при всех n, а только для всех достаточно больших n, поскольку предел последовательности не зависит от её начальных членов. Подобное замечание можно будет сделать и к некоторым последующим теоремам, но не будем заострять на этом внимание.