§ 6.4. Формула Тейлора

Легко видеть, что в точке a разность f(x) P (x) и все её производные до порядка m обращаются в нуль.

Многочлен P (x), заданный формулой (6.4.1), называют многочленом Тейлора порядка m функции f в точке a.

Составим разность функции f(x), имеющей в точке a производные до порядка n 1 включительно, и её многочлена Тейлора порядка n 1:

называют формулой Тейлора порядка n 1 функции f в точке a. Функцию Rn(x) называют остаточным членом формулы Тейлора.

Термин “формула Тейлора” исторически не вполне оправдан. По справедливости следовало бы говорить о формуле Бернулли в честь И. Бернулли, который впервые использовал многочлены (6.4.1), или о формуле Бернулли–Тейлора. Но по устоявшейся традиции будем называть формулу (6.4.2) формулой Тейлора.

Формулу Тейлора при a = 0 нередко называют формулой Маклорена. Мы не будем употреблять это название, так как оно исторически неоправдано.

Покажем, что многочлен Тейлора (6.4.1) даёт в определённом смысле хорошее представление функции f(x).

Следующее утверждение является аналогом теоремы Коши 6.2.3 о среднем для старших производных.

Лемма 6.4.1. Предположим, что функции '(t) и (t) непрерывны на отрезке с концами в точках a и x, во всех внутренних точках этого отрезка имеют производные до порядка m, причём функция и все её производные до порядка m не обращаются в нуль. Пусть, далее, функции ' и имеют в точке a односторонние (со стороны точки x) производные до порядка m 1 и '(a) =

Тогда существует точка , расположенная между a и x, такая, что

'(x) = '(x) '(a) :

(x) (x) (a)

Согласно теореме Коши о среднем существует точка x1, расположенная между a и x, для которой

и, вновь применив теорему Коши о среднем, находим точку x2 между a и x1, а значит, между точками a и x, такую, что

'(x) = '00(x2) :

(x) 00(x2)

Продолжив эти рассуждения, находим точку xm между точками a и x, для которой

'(x) = '(m)(xm) :

(x) (m)(xm)

При = xm получаем формулу (6.4.3). Лемма доказана.

Теорема 6.4.2 (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Пусть функция f(t) непрерывна на отрезке с концами в точках a и x, имеет на интервале с концами в этих точках производную порядка n > 1 и одностороннюю (со стороны точки x) производную порядка n 1 в точке a. Тогда при некотором ; 0 < < 1, справедливо равенство

166 Гл. 6. Свойства дифференцируемых функций

которое называют формулой Тейлора порядка n 1 в точке a с остаточным членом в форме Лагранжа.

Доказательство. Пусть Rn – остаточный член формулы Тейлора (6.4.2) функции f. Функции '(t) := Rn(t) и (t) := (t a)n удовлетворяют условиям леммы 6.4.1 при m = n. Поэтому между a и x существует точка , такая, что

Так как производная порядка n многочлена степени не выше n 1 равна нулю, то Rn(n)( ) = f(n)( ). Поэтому, записав в виде a + (x a), где 0 < < 1, получим

Rn(x) = f(n) a + (x a) n1!(x a)n

и из (6.4.2) вытекает равенство (6.4.4). Теорема доказана.

Отметим, что число в формуле (6.4.4) для каждого n и каждого x своё.

При n = 1 формула (6.4.4) имеет вид

f(x) = f(a) + f0 a + (x a) (x a);

что равносильно формуле конечных приращений Лагранжа.

Из теоремы 6.4.2 следует, что если на некотором промежутке f(n)(x) 0, где n – натуральное число, то функция f(x) является на этом промежутке многочленом степени не выше n 1. При n = 1 это утверждение составляло теорему 6.2.4.

Теорема 6.4.3 (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Пусть функция f(x) имеет в точке a производную порядка n > 1. Тогда при x ! a справедлива оценка

X

n f(k)(a)

f(x) = (x a)k + o((x a)n); (6.4.5) k!

k=0

которую называют формулой Тейлора порядка n в точке a с остаточным членом в форме Пеано.

Доказательство. Из существования производной f(n)(a) следует, что все производные до порядка n 1 остаточного члена Rn(x) формулы Тейлора (6.4.2) в точке a равны нулю, а его производная порядка n существует и Rn(n)(a) = f(n)(a). Кроме того, производная f(n 1)(x) существует в некоторой окрестности точки a.

Поэтому для функций '(t) := Rn(x) и (t) := (t a)n выполнены условия леммы 6.4.1 при m = n 1. Значит, между точками a и x имеется точка такая, что

Мы получили отношение приращения функции Rn(n 1) в точке a к приращению аргумента. Отсюда, так как ! a при x ! a, в силу существования производной Rn(n)(a) находим

Умножив обе части этой оценки на (x a)n, приходим к (6.4.5). Теорема доказана.

В теореме 6.4.3 производные можно понимать как односторонние. Тогда оценка (6.4.5) имеет место для x из соответствующей односторонней окрестности точки a.

При n = 1 формула (6.4.5) имеет вид

что равносильно выражению приращения функции через дифференциал.

Заметим, что если производная f(n)(x) непрерывна в точке a, то остаточный член в форме Пеано можно вывести из остаточного члена в форме Лагранжа. В самом деле, в силу непрерывности f(n)(x) в точке a при x ! a имеем

f(n)(a + (x a)) = f(n)(a) + o(1):

Поэтому из (6.4.4) следует (6.4.5).

Отметим ещё, что если производная f(n)(x) непрерывна на некотором отрезке [A; B], то существует функция g(t) такая, что

limt!0 g(t) = 0 и для всех точек a отрезка [A; B] остаточный член формулы (6.4.5) не превосходит g((x a)n).

В самом деле, в этом случае производная f(n)(x) равномерно непрерывна на [A; B]. Значит, для каждого " > 0 существует такое> 0, что если jx aj < , то при всех 2 (0; 1)

f(n)(a + (x a)) f(n)(a) < ":

Поэтому наше утверждение вытекает из (6.4.4).

Указанное свойство называют равномерностью оценки (6.4.5) относительно точек a из [A; B].

В главе 9 будут получены другие представления остаточного члена формулы Тейлора.

Остаточный член формулы Тейлора зависит от n и от x a. Обычно формулой Тейлора пользуются, когда x фиксировано, а n ! 1, или когда n фиксировано и x a ! 0.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано представляет собой оценку вида

при соответствующих значениях коэффициентов k.

Покажем, что если для некоторой функции справедлива оценка (6.4.6), то коэффициенты k в ней определяются единственным образом.

Действительно, если наряду с (6.4.6) имеем

Так как согласно определению степенной функции (x a)0 1, то при переходе в (6.4.7) к пределу при x ! a, получим 0 = 0. Поэтому в (6.4.7) можно опустить слагаемое, соответствующее

k = 0:

n

X

( k k) (x a)k = o (x a)n ; x ! a:

k=1

Если n > 1, то разделив левую и правую части на x a, нахо-

дим

n

X

( k k) (x a)k 1 = o (x a)n 1 ; x ! a:

k=1

Вновь переходим к пределу при x ! a и получаем 1 = 1. Продолжив этот процесс, видим, что k = k при всех k 6 n.

Таким образом, если для функции выполняется оценка (6.4.6), то коэффициенты k в этом представлении определяется однозначно.

Выясним, какие производные имеет функция, если для неё имеет место оценка (6.4.6) при n > 1.

Переходя в (6.4.6) к пределу при x ! a, находим 0 = f(a). Таким образом, из (6.4.6) следует, что

k=1

Отсюда вытекает оценка

n

f(x) f(a) = X k(x a)k 1 + o (x a)n 1 ; x ! a: x a

k=1

Переход к пределу при x ! a показывает, что f0(a) = 1. Значит,

k=2

Таким образом, если для функции f справедлива оценка (6.4.6) при n > 1, то f имеет в точке a первую производную.

Но при n > 2 вторая производная функции f в точке a может не существовать. Действительно, для функции

имеем f0(x) = o(x2), x ! 0. Вместе с тем, первая производная f00 существует только при x = 0 и функция f0 не имеет вторую производную.