Глава 5. Производные и дифференциалы

x!0

Согласно (5.1.2)

y = f0(x0) x + "( x) x:

При x ! 0 выражение в правой части этого равенства стремится к нулю, т. е. y ! 0, а это и означает непрерывность функции f в точке x0.

Теорема доказана.

Таким образом, для существования производной в точке необходима непрерывность функции в этой точке. Но это условие не является достаточным.

В самом деле, для приращения функции y := jxj в нуле имеемy = j xj. Следовательно,

Значит, функция jxj не имеет производной в нуле, хотя эта функция и непрерывна всюду.

Заметим, что односторонние пределы отношения приращения функции к приращению аргумента (5.1.4) при x ! 0 существуют. В таких случаях говорят об односторонних производных.

Определение. Если функция f определена в некоторой правой окрестности точки x0 и существует односторонний предел

то этот предел называют правой односторонней производной

то этот предел называют левой односторонней производной функции f в точке x0 и обозначают f0 (x0).

Доказательство свойства 20 аналогично. 30: Имеем

(uv) = u(x + x)v(x + x) u(x)v(x):

Так как u = u(x+ x) u(x), то u(x+ x) = u(x)+ u. Поэтому

При x ! 0 в силу непрерывности функции v имеем v ! 0. Поэтому каждое слагаемое в правой части полученного равенства

40: Сначала рассмотрим случай, когда u(x) 1, т. е. найдём производную дроби 1=v(x).

Так как функция v в точке x непрерывна и v(x) 6= 0, то v не обращается в нуль в некоторой окрестности точки x. Поэтому при достаточно малых приращениях x имеем

Выражение в правой части этого равенства имеет предел приx ! 0. Значит, существует предел выражения в левой части и, таким образом,

Теперь с помощью формулы производной произведения находим производную частного в общем случае:

Теорема доказана.

Отметим, что представление дроби

u(x)

v(x)

в виде произведения

u(x) v(1x);

нередко используется, когда нужно найти производную дроби. Применим теорему 5.1.2 для вычисления производных элемен-

тарных функций.

1): Если функция f равна константе, т. е. при всех x принимает одно и то же значение C, то f = 0 и, таким образом, C0 = 0.

Для произвольной функции u, имеющей в точке x производную, с помощью формулы производной произведения получаем

(Cu(x))0 = Cu0(x):

Конечно, это равенство легко доказать и непосредственно, рассмотрев приращения функции Cu(x).

2): Найдём производную степенной функции с целым показателем, т. е. функции y = xn, когда n – целое число. Покажем, что

где x – любое при n > 1 и x – любое неравное нулю число, если n < 0.

Сначала докажем равенство (5.1.7) для натуральных n, проведя индукцию по n.

При n = 1 имеем y = x и, значит, x0 = 1.

Будем теперь считать равенство (5.1.7) доказанным для показателя n и установим его для показателя n + 1.

По формуле производной произведения

(xn+1)0 = (x xn)0 = xn + x nxn 1 = (n + 1)xn:

Таким образом, равенство (5.1.7) справедливо при всех натуральных n.

Пусть теперь n – целое отрицательное число. Тогда n > 0 и, используя формулу производной частного, получаем для x 6= 0

(xn)0 = 1 0 = nx n 1 = nxn 1; x n x 2n

т. е. равенство (5.1.7) доказано для целых отрицательных показателей.

Так как по определению степенной функции с нулевым показателем x0 1, то (x0)0 = 0. Поэтому формула (5.1.7) имеет место и при n = 0, если считать, что в этом случае правая часть (5.1.7) равна нулю при всех x.

В дальнейшем будет показано, что при x > 0 формула (5.1.7) справедлива для произвольных показателей n.

3): Найдём производную показательной функции y = ax, a > 0, a 6= 1. Так как

то согласно (4.8.5) имеем

Таким образом, при всех x

В частности, если a = e, то

Заметим, что при любой константе C справедливо равенство (Cex)0 = Cex, т. е. y0 = y, если y = Cex. В курсе дифференциальных уравнений будет показано, что равенство y0 = y имеет место только для функций вида y = Cex.

4): Найдём производную логарифмической функции y = loga x, a > 0, a 6= 1.

Так как

В силу равенства (4.8.1) и непрерывности функции cos x получаем

Аналогично вычисляется производная функции y = cos x: